Многогранники. Пирамида
план-конспект занятия по геометрии (10 класс) на тему

Многогранники. Пирамида

Рассмотрим многоугольник А1А2...Аn, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А1, А2, А3, … Аn. Получим n треугольников: А1А2Р, А2А3Р и так далее.

Определение. Многогранник РА1А2…Аn, составленный из n-угольника А1А2...Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …РАnАn-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

 Пример пирамиды 

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Рис. 2

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Sполн = Sбок + Sосн

Определение. Пирамида называется правильной, если:

• ее основание – правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа.

 Свойства правильной пирамиды 

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

 Задача 1 

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,

АВСD – квадрат,

r = 3 м,

РО – высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти:  Sбок . См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение.

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда,  м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

         Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то  (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

 (м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ: 60 м2.

 Задача 2 

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен  м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R =  м,

Sбок = 18 м2.

Найти: . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

 м.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

 м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда:

Ответ: 4 м.

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

Задания