Решение задач по теме: «Тела вращения
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

Константинова Татьяна Николаевна – учитель математики высшей квалификационной категории

урок геометрии в 11 «А» классе

по теме «Решение задач по теме: «Тела вращения»

Цели урока: 

• систематизировать знания учащихся;
• обобщить изученный материал;
• рассмотреть задачи на комбинацию тел;
• проверить умения и навыки при решении задач на нахождение объемов тел вращения и вычисление площадей боковой и полной поверхности конуса и цилиндра

Оборудование: компьютер; проектор; электронный учебник; слайдовая презентация; бланки ответов; индивидуальные тесты; тела в ращения (конус, цилиндры), таблицы по стереометрии (15, 21, 25, 39, 40, 46, 47, 48).

Ход урока

1. Организационный момент (слайд №1)

2. Вступление

Учитель: Ребята, осталось совсем немного времени до завершения вашей школьной жизни. И вы распрощаетесь со всеми учителями и школьными предметами. Впереди большая и сложная жизнь. В ней придет осознание многих вещей и в частности отношение ко всему тому, чему учителя учили в школе. Многие знания пригодятся вам в жизни, и я уверена, что очень часто вы будете вспоминать именно геометрию, когда будете делать ремонт в квартире, строить свой собственный дом, разбивать клумбу на своем участке. Это совсем не значит, что каждый из вас станет строителем или архитектором, а просто любому человеку необходим минимум геометрических знаний для повседневной жизни.

III. Историческая справка

Учитель: Ребята, давайте вспомним первый урок геометрии в 7 классе. А что значит само слово «геометрия» в переводе с греческого языка?

Ученики: Ребята, «Гео» - земля; «метрео» - измеряю

Учитель: Ребята, геометрия, как и всякая другая наука, возникла из практических способностей человечества. Уже в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии, Греции были известны многие геометрические факты и разработаны правила геометрических измерений.

Древний греческий ученый Платон был резок в своих суждениях и убеждениях, не затерялось в веках его выражение: «Не знающий геометрию да не войдет в Академию».

Начало первого периода в развитии геометрии установить очень трудно – оно теряется в глубине веков и только известно, что самые древние , дошедшие до нас работы по геометрии относятся к XVII веку до нашей эры. Этот период характеризуется накоплением фактов и установлением первых простейших зависимостей между геометрическими образами. В конце первого периода (примерно VI век до н. э.) начальные сведения из Египта и Вавилона были перенесены в Грецию, где постепенно они начали оформляться в стройную систему строго доказываемых фактов. Большой вклад в систематизацию знаний по геометрии внес Фалес Милетский (слайд №2).

Во втором периоде (VI век до н. э. – XVII век нашей эры) краеугольным камнем геометрии как математической науки явились «Начала» Эвклида, которые выдержали уже сотни изданий и переведены на все основные языки мира. В этой фундаментальной научной работе, составляющей 15 книг и написанной Евклидом около 300 лет до н.э.; геометрия была систематизирована и изложена так, как её в основном представляют и теперь, ограничиваясь, конечно, лишь элементарной геометрией.

В началах Эвклида геометрия развита в логической последовательности на основании четко сформулированных основных положений – аксиом и основных пространственных представлений: точка, прямая, линия, плоскость, геометрическое тело (слайды №3 и №4).

На протяжении двадцати столетий второго периода геометрия Евклида обогащалась новыми фактами и методами, сохранив свои основные принципы до наших дней.

Началом третьего периода в развитии геометрии можно считать XVII век. С этого времени после введения в геометрию в 1637 году метода координат и перемещений величины геометрия развивается особенно бурно. Появляются такие разделы геометрии как аналитическая, дифференциальная, начертательная, проективная и целый ряд других. На этом этапе своего развития геометрия использует уже существенно-новые методы исследования, позволяющие глубоко изучать гораздо более общие геометрические образы.

Четвертый период развития геометрии начинается со времени открытия Н.И. Лобачевского в 1826 году новой геометрии, содержащей в себе, как частный случай, геометрию Евклида. Известно, что пятый постулат Евклида, не может быть логически выведен из остальных его аксиом. Тщетные попытки доказать его продолжались многие сотни лет. Выдающийся русский ученый Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), избрав принципиально новый подход в этой сложной проблеме, открыл и строго логично изложил основные идеи современно новой неэвклидовой геометрии, развитой в дальнейшем и другими математиками и играющей большую роль, как для самой геометрии, так и для других наук. Геометрия Лобачевского основывается на замене известного из школьного курса геометрии пятого постулата (аксиомы) Евклида (через точку вне прямой на плоскости можно провести лишь одну прямую, параллельную данной) более общей аксиомой: через точку вне прямой на плоскости можно провести хотя бы две прямые, параллельные данной прямой (слайд 5).

        Курс геометрии средней школы в своей основе является упрощенным и сокращенным курсом геометрии Евклида. Он состоит из двух основных разделов: планиметрия и стереометрия (слайд 6).

На протяжении последних двух лет обучения в школе мы изучаем стереометрию, что в переводе с греческого означает стерео – пространственный и метрио – измеряю) – раздел геометрии, содержащий учения о пространственных телах и фигурах и о взаимном положении линий, плоскостей, поверхностей и тел в пространстве (слайд 7).

        Для успешного усвоения курса геометрии, его изучение в школе сопровождается решением большого количества задач. Только при этом условии мы приобретаем высокий уровень логического мышления и хорошие пространственные представления. На основании целого ряда таблиц мы сумеем предположить, что темой сегодняшнего урока и объектом особого рассмотрения станут тела вращения и их комбинации (слайд 8).

IV. Повторение пройденного материала

Учитель: Ребята,

• Какие тела вращения вам известны?
• В результате вращения каких планиметрических фигур получаются: шар; конус; цилиндр.
• Что такое шар?
• Что такое цилиндр?
• Что такое конус?
• Какие комбинации тел мы видим на представленных таблицах?
• Дайте определения некоторых из них (из представленных шести комбинаций охарактеризовать три из них).

VI. Работа с электронным учебником («Стереометрия, 10-11 класс»)

Учитель: Ребята, на протяжении двух лет обучения нашим верным спутником оставался электронный учебник по геометрии, который помогал нам плыть по океану школьной стереометрии. Вот и сегодня он окажет нам неоценимую услугу, поможет нам подготовиться к контрольной работе.

1) Работа у доски

А) Решение задачи №1 из темы: «Объем шара и его частей»

• Найти объем шара, вписанного в цилиндр с объемом 36.

Решение:

Ответ: 24 – проверяем на электронном учебнике.

Б) Решение задачи №2 из темы: «Площадь сферы и ее частей»

• Площадь сферы равна 40. Найти площадь полной поверхности описанного около этой сферы цилиндра.

Решение:

Ответ: 60 – проверяем с помощью электронного учебника.

В) Самостоятельная работа (2 человека работают у доски справа)

а) задача №1 по теме: «Площадь сферы и её частей»

- Площадь сферы, вписанной в куб со стороной 6, равна… П?

Решение:

1. R = а/2 = 6/2 = 3
2. Vш = 4/3 * 33 = 4 * 32 П = 36 П

Ответ: 36 – проверим с помощью компьютера.

б) задача №4 по теме: «Площадь боковой поверхности цилиндра и конуса»

- Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания 4 равна 200. Найти объем цилиндра.

Решение:

1. Vц = 2ПRH = 200; 2П * 4Н = 200; 8ПН = 200; ПН = 25; Н = 25/П.
2. V = ПR2Н = П * 42 * 25/П = 16 * 25 = 400.

Ответ: 400 – проверяется на компьютере.

VII. Решение задач практической направленности

1. Задача по теме: «Сечение конуса» (лист 1), таблица №25.

- Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности, его объем.

Решение:

1)  AMB, AM = MB = 18 см,  А =    B = 600, значит     М = 600, т.е.         АМB –

Равносторонний и AB = 18, а АО = R = 9

2. SAMB = a2√3/4 = 81√3 (см2)
3. Sбок = 162 П (см2)
4. Sосн = 81 П  (см2)
5. Sп = 243 П (см2)                                                                                                            
6. V = 243 √3 П  (см3)
7.      АМО,       О = 900, по т. Пифагора МО = Н = 9√3  (см)    

2) Решение задачи практического содержания.                                                                                                      

- Вычислить вес сена в стоге, если один кубический метр сена весит 84 кг.

Решение:

1. Vц. = R2H = 224 = 16   (П3)
2. Vк. = 221 = 221 =     = =  
3. Vс. = Vц.+ Vк. = 16 +  =   = 51 + 1 = 52 м3
4. m = 54

Ответ:

VIII. Тестирование по теме «Многогранники», «Тела вращения

Учитель: Ребята, на протяжении II полугодия вы занимались творческой работой по разработке и составлению тестов различных направлений. Тест №1 предполагал вставить пропущенное слово, тест №2 – ответить на вопрос, тест №3 предполагал из четырех предложенных ответов выбрать правильный. Лучшие из тестов по теме «Многогранники» и предлагаются вашему вниманию, у каждого из вас - различного уровня тесты по трем направлениям. Вы заполняете бланки ответов по восьми вопросам.

IX. Взаимоконтроль тестирования

- Выполнив задание, учащиеся меняются бланками и по готовым ответам оценивают тесты по следующим критериям: если все верно, то «5»; если 1-2 ошибки, то «4»; если 3-4, то «3»; если более 4х ошибок, то «2».

- Передача заполненных бланков для оценок.

Учитель: Ребята, поднимите руки, кто получил «5», «4», «3» и «2».

X. Практическая работа

1) по вычислению объемов тел: конусов и цилиндров и определению их боковой и полной поверхности по готовым представленным моделям.

2) по определению площади поверхности палатки (таблица №12)

XI. Домашнее задание (слайд 9)

XII. Подведение итога урока (слайд 10)

Учитель: Ребята, древнегреческий ученый и философ и мыслитель Гомер шутливо относясь к геометрии, сказал такие слова: «Малой она родилась, но взрослея, росла с каждым часом, Ныне идя по земле сотрясает собой целый мир».

- Как вы думаете, почему он так сказал?

Учитель: Ребята, в ноябре месяце мы с вами побывали в Санкт-Петербурге и любовались творением рук человеческих, особенно в старинной части города.

Учитель: Практически завершая изучение геометрии, мне хотелось бы вам пожелать чтобы вы оставили свой след на земле в виде красивых построенных вами домов, которые бы радовали глаз будущих поколений.

XIII. Рефлексия

Учитель: Ребята, покидая стены кабинета математики, мне бы хотелось, чтобы вы оценили свое состояние на сегодняшнем уроке: красный цвет, если вы работали на «5», все знали и умели; оранжевый цвет, если на «4», что-то не знали, в чем-то затруднялись; зеленый цвет, если на «3», то есть было трудно и многое непонятно.

Спасибо за урок, желаю всем счастья.

Известный древнегреческий ученый Пифагор вывел правило счастья, он изрек: « Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом», а Платон еще добавил: «Стараясь о счастье других, мы находим свое собственное». Помните это!

Уходя с урока, проголосуйте «ладошками» и оцените урок

Учитель: До свидания!