Геометрия. Урок одной задачи
методическая разработка по геометрии (9, 11 класс) по теме

Урок одной задачи

Хочу поделиться с коллегами удачным, на мой взгляд, опытом проведения урока на повторение планиметрии. Назвать данный материал методической разработкой можно с натяжкой, ведь задача решалась по принципу «Найди то, не знаю что». Темой повторения были описанные и вписанные многоугольники. Обучающимся была предложена лишь ситуация, развитие которой они должны были придумывать сами – было дано условие без вопроса. Задача взята из книги «Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи и повторяем теорию» (авт. Вольфсон Б.И., Резницкий Л.И., изд.  «Легион» 2013)

Задача    В окружность вписан четырёхугольник ABCD, в котором AB=BC=12 см, CD=DA=5 см. Найдите, что возможно найти.  (Рис. 1)

(В книге: Найдите площадь этого четырёхугольника и диаметр описанной окружности. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, и найдите её радиус.)    

Конечно, первое, что пришло в головы обучающимся, можно найти периметр.

Затем появилась идея, что BD – диаметр этой окружности (Рис.2). Доказав равенство треуголь-ников ABD и BCD (попутно повторили, не записывая, и другие признаки равенства треугольни-ков, доказали, например, равенство треугольников ABK и CBK (Рис.3), а также поговорили о свойствах и признаках равнобедренных треугольников, смежных углах, перпендикулярности прямых) и припомнив свойство вписанного четырёхугольника, убедились, что это так, а дальше, повторив свойства вписанных углов, убедились, что треугольники ABD и BCD прямоугольные, что позволило:                                                                  

найти BD по теореме Пифагора, 

найти радиус окружности, припомнив попутно, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, длину окружности и площадь круга,

найти площади  треугольников ABD и BCD и площадь самого четырёхугольника.

Дальше обучающиеся предложили найти площадь сегмента (Рис.4), для чего пришлось вспоминать, как найти площадь сектора, а для её нахождения – способы нахождения угла треугольника (соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, теорема синусов, теорема косинусов), а также мне пришлось напомнить (учащиеся сами об этом, к сожалению, не вспомнили), что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, что позволило найти площади треугольников AOB и AOD. Вычисление площади сегмента осталось обучающимся в качестве домашнего задания.

К сожалению, то, что не было изображено на рисунке, а именно, вписанная окружность, никому в голову не пришло. Поскольку целью урока было повторение описанных и вписанных многоугольников, пришлось задать наводящий вопрос, чтобы перейти к рассмотрению вопроса о вписанной в четырёхугольник окружности. Убедившись, что окружность вписать можно, и не без труда вспомнив связь между площадью, периметром и радиусом вписанной окружности для любого многоугольника, мы нашли её радиус, длину и площадь вписанного круга.

Т.о. на одной картинке мы смогли увидеть применение очень большого количества различных утверждений и формул, что для многих было удивительно, даже вечно скучающие на математике люди участвовали в решении этой задачи. Кроме того, обучающиеся фактически сами поставили себе те самые задачи, которые были предложены авторами книги для подготовки к экзамену.

Поскольку темой я всё же выбрала именно связь между окружностями и многоугольниками, мы не рассмат-ривали, например, отрезки пересекающихся хорд, хорду, перпендикулярную диаметру, пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, подобие треугольников и т.п., что тоже можно на этой картинке успешно повторить.