Урок одной задачи - 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

                                       Урок одной задачи   -   8 класс

Цель: Формирование личности, способной думать и отстаивать свое мнение.

           Воспитание самостоятельности и умения самовыражения себя и понимания других.

           Закрепить ранее полученные знания и восполнить пробелы.

   Сегодня на уроке мы научимся решать всего одно уравнение, но несколькими способами.

                                   Уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0

1 способ;  по  общей формуле:    

2 способ:  по  формуле с четным коэффициентом:

3 способ:  по теореме Виета:

                                                     3х2 + 2х – 1 = 0 ,  разделим на 3

                                                       х2 + 2/ 3 х  - 1/3  = 0,

                                                       х1  +  х2  = - 2/3   ,

                                                       х1 *  х2   =  - 1/3  

                                                       х1 = - 1,        х2 = 1/3      .

4 способ: Из условия: если а + с = в, то х1 = = 1,           х2  =  - с/а

                       3х2 + 2х – 1 = 0, где а = 3, в = 2, с – 1, тогда      х1 = - 1,   х2 =  1/3   /

5 способ: выделение полного квадрата

                                       3х2 + 2х – 1 = 0 ,  разделим на 3  

                                         х2 + 2/3 х – 1/3 = 0,

                                      ( х2 + 2*х*1/3 + 1/9 ) – 1/9 – 1/3 = 0,

                                      ( х + 1/3 )2 – 4/9  =  0,

                                      ( х + 1/3 – 2/3 ) ( х + 1/3 + 2/3 ) = 0,

                                       ( х – 1/3 ) ( х + 1 ) = 0,

                                        х – 1/3 = 0        или       х + 1 = 0,

                                        х = 1/3,                          х = - 1.

6 способ: метод переброски старшего коэффициента

                                    3 х2 + 2 х – 1 = 0,  умножим на 3

                                    9 х2 + 6 х – 3 = 0,

                                    (3х)2  + 2*3х – 3 = 0,

                                 Пусть 3х = у, тогда у2 + 2у – 3 = 0,

                                 Но а + в + с = 0, значит, у1 = 1, у2 = с/а, т.е. у2 = - 3.

                                                 Вернемся к подстановке:

                              3х = 1,        х = 1/3,

                              3х = - 3,      х = - 1

7 способ: приведение к виду [ f ( x ) ]2 = [d ( x ) ]2

                                  3x2 + 2 х – 1 = 0,

                                  4 х2 = х2 – 2х + 1,

                                  ( 2х2 ) = ( х – 1 )2,    I 2х I = I x – 1 I,

                                  2х = х – 1            или            2х = 1 – х,

                                  2х – х  = - 1,                          2х + х = 1,

                                   х = - 1                                    3х = 1  разделим на 3

                                                                                  х = 1/3.

8 способ:  разложение на множители способом группировки:

                                 3 х2 + 2х – 1 = 0,

                                 3х2 + 3х – х – 1 = 0,

                                 ( 3х2 + 3х )* ( х + 1 ) = 0,

                                 3х ( х +  1 ) – ( х + 1 ) = 0,

                                 ( х + 1 )*( 3х – 1 ) = 0,

                                 х + 1 = 0      или 3х – 1 = 0,

                                 х = - 1,                3х = 1  разделим на 3,

                                                              х = 1/3

9 способ:     уменьшение степени уравнения

                                 3х2 + 2х – 1 = 0

                      подбором находим, что х = - 1     -    корень данного уравнения

                     Разделим 3х2 + 2х – 1 = 0 на ( х – х1 )

                     ( 3х2 + 2х – 1 ) : ( х + 1 ) = 3х – 1

                     Данный трехчлен разложим на множители:

                     3х2 + 2х – 1 = ( х + 1 )*( 3х – 1 )

                     ( х + 1 )*( 3х – 1 ) = 0

                      х1 = - 1,               х2 = 1/3

10 способ:      графический

                    3х2 + 2х – 1 = 0    разделим на 3,

                    х2 + 2/3х – 1/3 = 0,

                    х2 = - 2/3х + 1/3

                    Построим графики двух функций: у = х2   и   у = -2/3 х + 1/3

                    Получим две точки пересечения графиков: А (0, 1/3 ) и В ( - 1, 1 )

                    Х1 = - 1,          Х2 = 1/3

Итог:                Сколько способов мы теперь  знаем?

                          А какие способы узнали только сегодня на уроке?

          Кубическое уравнение можно тоже решать несколькими способами:

1. способ группировки,
2. выделение формул: ( а + в )3 ,      ( а – в )3,
3. выделение формул: а3 + в3 ,       а3 – в3,
4. уменьшение степени уравнения путём деления на ( х – х1 ), где х1 найден среди делителей свободного члена и проверен подстановкой в уравнение
5. графический,
6. метод переброски старшего коэффициента.

Решить кубические уравнения:

                         х3 – 3х2 – х + 3 = 0,

                         х2 ( х – 3 ) – ( х – 3 ) = 0,

                         ( х – 3 )*( х2 – 1 ) = 0

                         х – 3 = 0      или     х2 – 1 = 0

                         х = 3,                      х2 = 1,

                                                        х = - 1,    х = 1.   Ответ: - 1, 1, 3.

                         6х3 + 7х2 – х – 2 = 0,

                         у(-1) =  - 6 + 7 – 1 = 0,

                         Разделим 6х3 – 3х2 – х + 3  на (х + 1) и получим 6х2 + х – 2

                         6х2  + х – 2 = 0,

                         Решим данное уравнение и получим: х1 = - 2/3,  х2 = 1/2      

                         Ответ: - 1, - 2/3, 1/2