Творческая работа по планиметрии " Вневписанная окружность"
творческая работа учащихся по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей Автор: Ражева Анастасия , Ученица 10 «А» класс , ГБОУ лицей-интернат «ЦОД» Руководитель: Каткова Г.Г..

Слайд 2

Содержание История треугольника и вневписанной окружности. Задачи , приводящие к понятию вневписанной окружности Вневписанная окружность ,ее свойства и ее связь с основными элементами треугольника Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач Заключение

Слайд 3

Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах можно найти в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий. История треугольника

Слайд 4

Вневписанная окружность Задача: вписать в данный треугольник окружность –имеет единственное решение. Изменим условие: построить окружность , касающуюся трех различных прямых АВ, ВС, АС- и однозначность решения пропадет.

Слайд 5

Вневписанная окружность В итоге получаем четыре окружности с центрами О, О а , O b , O c , касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

Слайд 6

Вневписанная окружность Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Слайд 7

Вневписанная окружность Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей. Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

Слайд 8

Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника Теорема. Пусть K 1 - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка AK 1 равна полупериметру треугольника АВС.

Слайд 9

Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника Доказательство: 1 ) Пусть точки К 2 и К 3 — точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. 2) СК 1 = СК 3 , ВК 2 = ВК 3 , АК 1 = АК 2 ( по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки). 3) Р = АС + СВ + АВ = = АС + СК 3 + ВК 3 + АВ = = АС + СК 1 + ВК 2 + АВ = = АК 1 + АК 2 = 2АК 1 Значит, АК 1 = Р : 2

Слайд 10

Основные обозначения a , b , c — длины сторон BC , CA и AB ; α , β , γ - величины углов при вершинах A , B , C ; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности;

Слайд 11

Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей

Слайд 12

Формулы , выражающие связь с основными элементами треугольника

Слайд 13

Решение задач Задача 1. Две непересекающиеся окружности с радиусами R 1 и R 2 касаются стороны прямого угла с вершиной A . Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках B и C . Найти площадь треугольника ABC . Решение: так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник ABC , а другая вневписанной. Пусть R 1 ∝ R 2 , где R 1 и R 2 – соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружностей (рис. 1). Если O – центр вневписанной окружности, а точки K и M – её точки касания со сторонами угла A , легко доказать, что AKOM – квадрат со стороной R 2 . По теореме 2 . Но так как AK = R 2 , то p – R 2 . А R 1 = . Отсюда следует, S = R 1 x p, S = R 1 x R 2 . Ответ: S = R 1 x R 2 . A C B K M O Рис. 1

Слайд 14

Решение задач Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D (рис. 2). Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N . Продолжим прямые АВ и С D . До их пересечение в точке К. Тогда окружность с центром O 2 является вписанной в треугольник MNK , а окружность с центром O 1 – вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK – a и его периметр – p . Тогда (по т.2) AK=p и BK=p-a. Значит, AB=a , то есть AB=MN. Аналогично CD=MN. C N A M D K O 1 O 2 Рис. 2

Слайд 15

Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малы треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника. Решение: Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. По теореме 2: AM = , BM = , BQ = , QC= , CN = , AN = . Из этого следует, что P = . Значит , AB = Ответ: 18. Решение задач O C P D N L E M K F B Q A Рис. 3

Слайд 16

Задача из журнала «Квант» Задача: Докажите, что середина высоты треугольника, центр вписанной в него окружности и точка касания стороны, на которую опущена высота, с соответствующей вневписанной окружностью лежат на одной прямой. А D H C K M Q B I F Рис. 4

Слайд 17

Задача из журнала «Квант» Решение: Рассмотрим треугольник АВС, в котором АН – высота, точка D – её середина, точки I и Q – центры вписанной и вневписанной ( касающейся стороны ВС) окружностей соответственно, К и М – точки касания этих окружностей со стороной ВС (рис. 4). Проведем KF – диаметр вписанной окружности, тогда точки A , F и M лежат на одной прямой. Так как KF || AH , то медиана MD треугольника AMH проходит через середину отрезка KF, то есть содержит точку I.

Слайд 18

Задача из ГИА

Слайд 19

Решение задач Задача . Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей. Решение. Пусть AQ = y . Тогда AS = y , QC = CT = b - y , BS = BT , а поэтому c + y = a +( b - y ), Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.

Слайд 20

Заключение Геометрия начинается с треугольника, а треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. К сожалению, в школьной программе вневписанной окружности уделяется незначительное время и внимание, но при более подробном знакомстве можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать её как подспорье в решении геометрических задач.

Слайд 21

Литература http://rgp.nm.ru/knigi/kulanin5.html http://www.geometr.info/geometriia/treug/radiusy.html http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm Атанасян Л . С ., Бутузов В . Ф ., Кадомцев С . Б ., Киселева Л . С ., Позняк Э . Г . Геометрия . Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, 2000. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант №7, 1987. Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989. Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе №3, 1989. Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе №5, 1987. О свойствах центра вневписанной окружности // Квант №2, 2001. Шарыгин Н. Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С.138-140.