Статья "Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач"
статья по математике

Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач

        Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

        Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.

Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности

1 свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (∠A) и биссектрис двух внешних углов (∠B и ∠C).

2 свойство вневписанной окружности:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. 

3 свойство вневписанной окружности:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

4 свойство вневписанной окружности:

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности

5 свойство вневписанной окружности:

где r, ra, rb, rc –соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей

6  свойство вневписанной окружности:

7  свойство вневписанной окружности:

8 свойство вневписанной окружности :

9 свойство вневписанной окружности

Определение: Ортотреугольник это треугольник

∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.

Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника  ∆abc.

Свойство 9 :

Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.

Свойство 10 :

Свойство 11 :

Доказательство всех свойств можно посмотреть по ссылке http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti 

Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ 

Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле

rarbrc = rp2, где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.

r  = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =

Тогда    rarbrc =     

Ответ:

Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите  произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

 S=, тогда   abc=S·4R.    4R=ra+rb+rc-r;  S = rarbrc/p;  

р2 = rarb+rarc+rbrc;         p²=9·18+9·21+18·21=27²;     S=9·18·21/27=126;  

4R = ra + rb + rc - r;    r = ra·rb·rc/p²;         r  = 9·18·21/27² = 14/3;

4R =  9+18+21- 14/3 = 130/3;     abc = 126·130/7=5460

Ответ: 5460.

Задачи повышенной сложности

Задания Д11 C4 № 500964

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. 

Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC 

− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. 

Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p.

Четырехугольники NOcMC   и   KOaQC — квадраты, поэтому     значит, ra < rc.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи:

1. Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
2. либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда

Следовательно,  

Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2) 

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой.

Следовательно,

Ответ: 26 или

Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.  

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h —  высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p —  полупериметр треугольника, a —  сторона, которой касается окружность.

Таким образом,

б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому

Так как R=h,  то r= .  Тогда CO 2 =3r.  Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=

Тогда  

Откуда получаем

О твет: а) R=h  ч.т.д    

б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1

Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.

Список используемой литературы:

1. Березин  В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике   – Москва: Просвещение, 1985 год.

2. Гнеденко  Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

3.

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин  Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, -  Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)

 Список интернет ресурсов:

1. Сайт президентского лицея № 239 СПб http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
2. Сайт «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/ 
3. Видеоуроки и лекции: Твоя-школа.рф www.ege-1.ru
4. Онлайн-школа Фоксфорд https://foxford.ru/wiki/matematika/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika 
5. Подготовка школьников к ЕГЭ «Учебные материалы Резольвента»    https://www.resolventa.ru/