Конспект урока на тему: Могла ли математика спасти Пахома, или Площадь.
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Автор

Камелягина Инна Таеровна,

Место работы

МБОУ СОШ №52 г. Брянска

Должность

Учитель математики

Тема урока

Могла ли математика спасти Пахома, или Площадь.

Тип урока

Практическое занятие применения математических знаний при решении прикладных задач.

Цели урока

Образовательные:

1. Закрепить знания по теме «Площадь четырехугольников»,
2. обобщить и систематизировать изученный материал,
3. формирование умений применять математические знания к решению практических задач.

Развивающие:

1. Развитие умения анализировать, делать выводы,
2. развитие познавательной активности, творческих способностей.

Воспитательные:

1. Воспитание интереса к предмету,
2. воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Доска

Учитель

Ученик

Человек воспринимает, познаёт мир двумя противоположными способами — рассудочным и образным, рациональным и эмоциональным, «мыслью и сердцем». Это приводит к условному делению большинства людей на «физиков» и «лириков». Литература и математика - что может объединять эти далекие друг от друга области знаний? Литературу, с ее интересом к духовному миру человека, поисками нравственных ценностей, смысла жизни, и математику, предпочитающую строгий научный подход и абстрактную форму интуиции. Может быть, сегодня на уроке мы сумеем дать ответ на этот вопрос.

Доска

Учитель

Ученик

Для того, чтобы успешно справиться с этой задачей, нам необходимо повторить пройденный материал.

 (фронтальное решение задач на готовых чертежах)

Начнем урок с выполнения устных математических задач.

Слайд 2                                           

Найдите площадь трапеции АВДС.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть S=1/2(6+10)*7= 56 кв. ед.

Слайд 3                                                     

АВСД – квадрат. Найдите площадь четырехугольника АВСК.

Четырехугольник АВСК – прямоугольная трапеция.

Основание АВ=5, основание СК=1, высота ВС=5. S= ½(5+1)*5= 15 кв. ед.

Слайд 4                                           

Найдите площадь прямоугольника АВДС, если его периметр равен 30, а одна из сторон 6.

Периметр равен 30, значит, полупериметр, то есть сумма смежных сторон, равна 15. Одна из сторон прямоугольника равна 6, значит, смежная с ней сторона равна 15-6=9. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то есть 6*9= 54 кв. ед.

Слайд 5                                           

Найдите периметр квадрата МРКN, площадь которого равна 49 кв. ед.

Площадь квадрата равна 49, значит, сторона квадрата равна 7. Периметр квадрата Р=4*7= 28.

Слайд 6                                           

Найдите площадь треугольника АВС.

Катет АС====12

SАВС=1/2*12*5=30.

Слайд 7                                           

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции, график которой изображен на рисунке.

Унаибольшее=3

Унаименьшее- не существует

Слайд 7                                           

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции, график которой изображен на рисунке.

Унаибольшее- не существует Унаименьшее=-4

Слайд 8                                           

( на слайде портрет Л. Н. Толстого)

Кто изображен на этом портрете?

Лев Николаевич Толстой.

Верно, один из величайших писателей, мыслитель, философ – Лев Николаевич Толстой.

Слайд 9                                           

Сейчас, на уроках литературы, вы изучаете творчество этого великого русского писателя. На последнем уроке вы познакомились с рассказом Льва Николаевича «Много ли человеку земли нужно?». Какую фактуальную информацию содержит это произведение?

В рассказе отражены события жизни и смерти мужика Пахома, мечтающего приобрести землю.

А какую подтекстовую информацию несет в себе этот рассказ?

Благое дело может привести к беде, если душой овладевают темные страсти.

Какие темные страсти лишили Пахома разума и не позволили осуществиться его мечте, привели его к трагической гибели?

Зависть и жадность.

Вас не удивляют мои вопросы?

Содержит ли рассказ математические факты?

Мы с вами продолжим работать с рассказом Льва Николаевича Толстого, но отвлечемся от  мрачной развязки этой истории и остановимся на ее геометрической стороне. Посмотрим на эту ситуацию не затуманенным страстями взглядом математика и попробуем выяснить, мог ли Пахом избежать такого трагического финала.

Слайд 10                                           

Могла ли математика спасти Пахома, или Площадь четырехугольника. 

Тема нашего урока: Могла ли математика спасти Пахома, или Площадь четырехугольника.

Доска

Учитель

Ученик

                Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и пошел в степь.
Верст пять прошел. Взглянул на солнышко, рано еще заворачивать. "Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать стану". Пошел еще напрямик.
      "Ну, - думает Пахом, - в эту сторону довольно забрал; надо загибать". Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто влево.

      Прошел еще и по этой стороне много, загнул второй угол.

            Пошел третью сторону. Посмотрел на солнце - уж оно к полднику подходит, а по третьей стороне всего версты две прошел. И до места все те же верст семнадцать. "Нет, думает, хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать". Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану.

 Перед вами отрывок из рассказа «Много ли человеку земли нужно?» Можно ли, по данным рассеянным в этом рассказе установить, сколько верст прошел Пахом и какова площадь земельного надела, который он обошел? В рассказе содержаться все необходимые данные для расчета. Внимательно перечитайте отрывок и попробуйте начертить план обойденного Пахомом земельного участка и нанесите на этот чертеж те данные, которые содержаться в рассказе.

Несомненно, Л. Н. Толстой имел перед глазами чертеж наподобие этого, когда писал свой рассказ.

Слайд 11                                           

Задача 1.

Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции АВСД, с прямым углом Д, если большее основание трапеции равно 10 верст, меньшее основание 2 версты, а большая боковая сторона 17 верст.

Задача 1.

Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции АВСД, с прямым углом Д, если большее основание трапеции равно 10 верст, меньшее основание 2 версты, а большая боковая сторона 17 верст.

                                     Дано: АВСД – прямоугольная трапеция,

        АД=10, ВС=2, АВ=17.

                                                    Найти: РАВСД-? SАВСД-?

                            Н

                              Решение:

1. ВН┴АД.
2. АН=10-2=8.
3. ВН====15
4. Р=АВ+ВС+СД+АД

Р=17+2+15+10=44

Слайд 12                                           

Верста́ — русская единица измерения расстояния,      равная 1,067 км.

В роковой для своей жизни день Пахом прошел 44 версты, идя по сторонам трапеции. Много ли это? Что за единица измерения верста?

S=1/2*(АД+ВС)*СД

S=1/2(10+2)*15=90

Округлив до целых, будем считать, что 1 верста составляет 1 км. И найдем площадь трапеции.

Первоначальное намерение Пахома было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета и жадности Пахома. Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае он должен был получить большую площадь земли?

Слайд 13                                           

Задача 2.

Периметр прямоугольника равен 44 км. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Я предлагаю рассмотреть следующую задачу:  Периметр прямоугольника равен 44 км. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

   А                           В   Дано: АВСД – прямоугольник,

                                             Р=44 км, S – наибольшая.

                                             Найти: АД и АВ.

    Д                              С

Решение:

Пусть АВ=х

Площадь прямоугольника зависит от длины и ширины. Обозначим одну из сторон прямоугольника, например, АВ за х.

Пусть АВ=х, х>0

Как вы думаете, какие значения может принимать х?

Положительные.

Пусть АВ=х, х>0, тогда АД=22-х.

Выразите смежную с ней сторону АД, чему она равна?

22-х.

Пусть АВ=х, х>0, тогда АД=22-х. S=х*(22-х).

А площадь прямоугольника?

S=х*(22-х).

S=-х2+22х

Раскроем скобки в правой части получившегося равенства. Уравнение S=-х2+22х, где х – независимая переменная, а S – зависимая от х переменная, задает квадратичную функцию.

График – парабола, а=-1, а>0 – ветви вниз.

Хв=- в/2а

Хв= -22/(-2)=11

Sв=-112+22*11=-121+242=121

Схематично построим график:

              121          

                       11

Sнаибольшее=121 при х=11.

По условию задачи, S принимает наибольшее значение. Найдем, при каких значениях х, функция S(х) принимает наибольшее значение.

(обратить внимание, что х=11>0)

Итак, чему равно наибольшее значение площади?

121

АВ=11 км

Что мы обозначали за х?

Длину одной из сторон прямоугольника, стороны АВ.

АД=22-11=11км.

Найдите длину смежной с ней стороны АД.

АД=22-11=11.

Какая фигура получилась в результате?

Квадрат.

Итак, из всех прямоугольников с периметром 44 км, какой прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Квадрат.

Действительно, квадрат имеет наибольшую площадь из  всех прямоугольников с таким же периметром.

Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 31кв. км больше, чем он сумел охватить.

Слайд 14                                           

Свойства квадрата:

1)  из  всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Более того, из  всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Слайд 14                                           

Свойства квадрата:

1. из  всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
2. из всех четырехугольников с одинаковыми площадями, квадрат имеет наименьший периметр.

Как вы думаете, из всех четырехугольников с одинаковыми площадями, какой четырехугольник имеет наименьший периметр?

Квадрат.

Слайд 15                                           

Задача 3.

Зная, что √10≈3,2,  найдем приближенное значение периметра квадрата, площадь которого равна 90 кв. км.

Проверим это предположение.

Зная, что √10≈3,2,  найдем приближенное значение периметра квадрата, площадь которого равна 90 кв. км.

    В                      С              Дано: АВСД – квадрат,

                                             S=90 кв. км, √10≈3,2

                                             Найти: Р-?

   А                      Д

Решение:

1. S=90 кв. км →а=√90=√9*10=3*√10≈3*3,2=9,6 (км)
2. Р=4*а

Р≈4*9,6=38,4(км)

Периметр квадрата, площадь которого равна площади трапеции, почти на 6 км меньше периметра трапеции.

Замечательные свойства квадрата Пахому были неизвестны. Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить участок наибольшей площади без смертельного напряжения сил.

Доска

Учитель

Ученик

Чему учит нас этот рассказ? Каков его концептуальный уровень?

Правильность жизненного выбора определяется волей, умом, душевными качествами.

Я еще добавлю – и знаниями. И на уроке литературы и, сегодня, на уроке математики мы исследовали проблему – почему произошла трагедия и как ее можно было избежать. Если бы Пахома не ослепила жадность, если бы он сохранил здравый смысл и был бы вооружен знаниями, то сумел бы достичь своей мечты и избежать трагедии.

Что нового узнали сегодня на уроке?

Могут ли знания, полученные сегодня на уроке пригодиться в современном мире?

Литература ищет гармонию между человеческой душой и природой. Математика же создала методы математического описания законов природы.

И сегодня большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или как часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи. Как, располагая определёнными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – над такими вопросами приходится сегодня думать каждому.

Доска

Учитель

Ученик

Слайд 16                                           

I уровень: № 515(а), 518(а),

II уровень: № 515(б), 518(б), 505.