теорема Менелая
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему
теорема Менелая в задачах
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 применение теоремы Менелая к задачам | 1.29 МБ |
| kopiya_teorema_menelaya.pptx | 1.29 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:
В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение
Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .
Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого
Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого
Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая
Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.
Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая
Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то
Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая
Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .
В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.
1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.
Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.
Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .
Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD . ~ , тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :
Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .
4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.
Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S
Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О
Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите
Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .
Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .
Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .
Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1
Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :
Ответ : 162 : 35.
Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T - точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.
Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:
C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .
Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.
Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .
В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи
Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану АМ на три равные части. Найдите АС, если РТ=3. В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причем точки М и К делят соответственно стороны АС и ВС в отношении АМ:МС=3:4 и ВК:КС=2:7. Найдите площадь четырехугольника СМРК, где Р – точка пересечения отрезков ВМ и АК. На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р такие, что АМ:МВ=ВК:КС=СР:РА=2:1. Отрезки СМ и ВР пересекаются в точке А1, АК и СМ - в точке В1, АК и ВР – в точке С1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А1В1С1 равна 1.
Теорема Менелая проста в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий. Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена. Заключение
1.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002 2. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть I . 3. Володурин В.С. и др. Пособие по элементарной геометрии. Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педвузов. — Оренбург, 1991. 4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996. 5. Б . Орач .Теорема Менелая . Квант № 3, 1991. Список литературы
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:
В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение
Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .
Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого
Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого
Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая
Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.
Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая
Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то
Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая
Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .
В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.
1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.
Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.
Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .
Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD . ~ , тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :
Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .
4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.
Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S
Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О
Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите
Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .
Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .
Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .
Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1
Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :
Ответ : 162 : 35.
Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T - точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.
Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:
C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .
Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.
Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .
В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи
Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану АМ на три равные части. Найдите АС, если РТ=3. В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причем точки М и К делят соответственно стороны АС и ВС в отношении АМ:МС=3:4 и ВК:КС=2:7. Найдите площадь четырехугольника СМРК, где Р – точка пересечения отрезков ВМ и АК. На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р такие, что АМ:МВ=ВК:КС=СР:РА=2:1. Отрезки СМ и ВР пересекаются в точке А1, АК и СМ - в точке В1, АК и ВР – в точке С1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А1В1С1 равна 1.
Теорема Менелая проста в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий. Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена. Заключение
1.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002 2. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть I . 3. Володурин В.С. и др. Пособие по элементарной геометрии. Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педвузов. — Оренбург, 1991. 4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996. 5. Б . Орач .Теорема Менелая . Квант № 3, 1991. Список литературы
Спасибо за внимание!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности ге...
Теорема Чевы. Теорема Менелая
Урок геометрии в 10 профильном классе по теме "Теорема Чевы. Теорема Менелая"...
Теорема Менелая при решении задач ОГЭ и ЕГЭ
Цель работы – изучить теорему Менелаяи рассмотреть ее применениек решению планиметрических задач.Задача работы - выявление эффективности применения теоремы Менелая по сравнению...
Планиметрия для отличников. Теорема Менелая.
Данное пособие позволит учащимся самостоятельно изучить теоретический материал и приобрести первоначальные навыки решения практических задач по данной теме....
Проект по теме: "Теорема Менелая и Чевы.Практическое значение в школьном курсе."
Теорема Менелая и Чевы в школьном курсе по программе в некоторых учебниках не изучается.В работе изложена теория в доступной форме и рассмотрены задачи.Данная работа будет полезной для учеников интере...