Тема 24. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

Тема 24. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи алгебраических методов. В основе такого подхода лежит метод координат, впервые систематически примененный великим французским математиком Рене Декартом (1596-1650).

Направленный отрезок  в котором считаем точку - началом, а точку - концом, называют вектором. Векторы называют коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Векторы называют компланарными, если они расположены на прямых, параллельных некоторой одной плоскости. Будем считать, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат , и каждой точке  поставлена в соответствие тройка чисел - координаты точки. Рассмотрим две точки пространства  и . Координаты вектора  находятся по формулам:

В частном случае, радиус-вектор  начинающийся в начале координат - точке  имеет такие же координаты, как и точка  Базисными векторами будем считать векторы  Модуль (или длина) вектора  и определяется формулой

Эта же формула, естественно, позволяет вычислять длину отрезка   или расстояние между точками  и  Заметим, что   

Теперь определим операции над векторами. Сложение векторов  осуществляется следующим образом.

Для того чтобы умножить вектор на положительное число, надо умножить на это число его длину и сохранить направление. Чтобы умножить вектор на отрицательное число, его длину умножают на модуль числа и меняют направление на противоположное. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются; при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число:

Каждый вектор  может быть выражен через базисные векторы с помощью этих операций  Данную формулу называют разложением вектора по базису.

Скалярным произведением векторов   и   называют число, обозначаемое  равное

где - угол между векторами  и  . Если векторы заданы координатами  то скалярное произведение выражается формулой

Используя скалярное произведение, находим угол между векторами:

Векторы  и   перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение  Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов  и   является существование такого числа  что  Через координаты векторов это условие коллинеарности

имеет вид

В заключение этой теоретической части нашего урока отметим, что все перечисленные формулы пригодны для векторов на плоскости  Надо лишь «убрать» в этих формулах третью координату.

Решим вместе несколько примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра , модуль вектора   не превосходит модуль вектора

Решение. Найдем модули данных векторов:    Из условия задачи получаем неравенство  Решением этого неравенства является

Ответ:

Пример 2. Вычислить  если

Решение. Найдем координаты вектора  Получим

 Отсюда .

Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и  Найти угол между векторами  и

Решение. Найдем координаты вектора  Получим

 Теперь можем найти угол между векторами:

 Следователь

Ответ:

Пример 4. При каких значениях параметров  векторы  будут коллинеарными.

Решение. Из условия коллинеарности следует:  Тогда

Ответ:

Пример 5. В треугольнике с вершинами в точках    найти координаты точки пересечения медиан.

Решение. Пусть известны координаты точек  Координаты точки  делящей отрезок в известном отношении  определяется формулой

Воспользовавшись этой формулой вначале найдем середину  стороны  Координаты этой точки, делящий отрезок  в отношении  равны    Медиана  делится искомой точкой в отношении  считая от точки  Таким образом,   

Ответ:

Пример 6. Даны три вершины параллелограмма    . Найти координаты вершины  противоположной вершине

Решение. Обозначим через - координаты точки  Векторы  и  равны, и, следовательно, имеют одинаковые координаты. Отсюда:   Итак,

Ответ: