Элективный курс "Задачи на построение"
элективный курс по геометрии (9 класс) по теме

Министерство образования Российской Федерации

Департамент образования Иркутской области.

Управление образования Администрации г. Усть-Илимска.

МОУ СОШ №11

«Решение задач на построение»

Программа элективного курса

по математике для учащихся 9 класса

                                Разработал:    Губарь Оксана Михайловна,                                                учитель математики,

                                                        первая квалификационная категория.

г. Усть-Илимск. 2006г.

Особенности курса

Актуальность

Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений о мире в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. Так же в процессе построений ученики убеждаются в правильности многих математических утверждений.

           Задачам на построение в школьном курсе геометрии уделяется недостаточное внимание. Поскольку данные задачи составляют базу для работы, развивающей навыки построения, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обуславливает недостаточное развитие пространственного мышления ученика, низкий уровень его графической культуры.

           Поэтому назначением данного курса является обеспечивание повышенного уровня изучения учебного материала по данной теме, а так же пропедевтика к изучению стереометрии в 10 – 11 классах. Так как на первых этапах изучения стереометрии ученик не умеет читать чертеж «изнутри», не видит взаимосвязи между отдельными элементами той или иной фигуры. Это представляет определенные трудности, как со стороны учителя, так и со стороны ученика. Отдельные учащиеся, оканчивая школу, и поступая в высшие учебные заведения, испытывают трудности при изучении начертательной геометрии, технического черчения и других наук.

           Поэтому так важно выработать практические навыки в решении задач на построение. В этом прагматическая функция предлагаемого девятиклассникам курса по выбору. Но по содержанию материала и методам работы с ними, налицо и его развивающая функция.

Литература для учителя

Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии» М. Наука 1986г.

Фридман «Как научиться решать задачи» 1989г.

Литература для учащихся

Александров А. Д. «Геометрия для 8-9 классов» учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики

Атанасян Л. С. «Геометрия 7-9 класс» М. Просвещение 2002г.

журнал «Математика в школе».

Шарыгин И. Ф. «Сборник задач по геометрии. Планиметрия»

Цели курса:

1. оценить учащимися свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы; уточнить готовность и способность осваивать данный материал на повышенном уровне;
2. получить учащимися опыт работы на уровне повышенных требований, что способствует развитию учебной мотивации;
3. развить интеллектуальные умения: логически и аналитически рассуждать, находить различные пути решения, исследования;
4. развить творческие способности, умения работать самостоятельно и в группах, вести дискуссию, аргументировать свою точку зрения и слушать другого.

Учащиеся должны иметь представление:

1. о структуре и содержании курса и его месте в общеобразовательной программе;
2. о различных методах решения задач на построение;
3. о практическом применении данных задач.

Учащиеся должны знать:  

4. свойства фигур и отношений;
5. методы решения задач и их сущность
6. структуру процесса решения задач.

Учащиеся должны уметь:

1. классифицировать предложенные задачи по методам их решения;
2. различать заданные элементы и их характеристики;
3. анализировать и исследовать решения задач.

Учащиеся должны владеть:

графическими навыками.

Структура курса 

Содержание курса и учебная деятельность:  (16 часов)

Ожидаемые результаты:

В процессе обучения учащиеся приобретают умения разбираться в типах и  методах решения задач, анализировать, исследовать, находить пути их решения, выработать практические навыки в решении задач на построение.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Входная диагностика
2. Структура решения задач на построение
3. Алгоритм самостоятельной работы по выполнению реферата
4. Темы рефератов
5. Итоговый зачет
6. Конспект урока по теме: «Метод подобия»

Приложение

Входная диагностика:

1. Разделить отрезок пополам.
2. Построить биссектрису угла.
3. Построить угол с вершиной в данной точке, с данной стороной угла, по указанную сторону от нее и равный данному.
4. Построить треугольник по трем сторонам.
5. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
6. Построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней.
7. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе, или по катету и острому углу, или  по гипотенузе и острому углу.
8. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
9. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне этой окружности.

Итоговый  зачет:

1.  Построить прямоугольный треугольник, если заданы катет и сумма другого катета     и    гипотенузы.
2.  Построить треугольник по основанию  и медианам боковых сторон.
3.  Построить треугольник, если даны разность сторон а - в и два угла. А и В.
4.  Дана прямая и две точки: А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой точку N такую, чтобы сумма AN + BN была наименьшей.
5.  Найти геометрическое место точек, которые являются вершинами треугольников с данным основанием и с данной медианой, проведенной к этому основанию.
6.  Дана окружность инверсии радиуса R. Определить фигуру инверсную окружности радиуса R1, концентрической с окружностью инверсии.
7.  В треугольник АВС вписать квадрат MQPN так, чтобы две его вершины Q и P лежали на основании ВС, а две другие – на боковых сторонах.
8.  Построить треугольник по отношении его сторон а:в,  по высоте и углу С.                                

Структура решения задач на построение:

1. анализ задачи;
2. поиск способа решения;
3. осуществление решения задач;
4. исследование задачи;
5. анализ решения.

Алгоритм самостоятельной работы по выполнению реферата:

1. постановка проблемного вопроса;
2. аргументация;
3. выводы;
4. математическое содержание работы;
5. грамотное изложение;
6. оформление.

Темы рефератов:

1. «Практическое применение задач на построение»
2. «Три задачи древности»
3. «Трисекция угла»

Разработка урока по теме: «Метод подобия»

Цели:

1.    выработать умения работать с условием задачи;
2. находить пути решения;
3. анализировать и исследовать решение задач.

Ход урока:

1 этап – подготовительный.

   Цель данного этапа – сформировать у учащихся умения выделять данные,     определяющие единственную фигуру. Выделять данные, определяющие форму фигуры, множества пар подобных между собой фигур, переходить от построенной фигуры к искомой.

     Задача 1

       Построить треугольник по 2-м углам.

1. Сколько решений имеет задача?
2.  Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

     Задача 2

 Назовите подобные треугольники на рисунке 1

Задача 3

  Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1 на рисунке 2? Чему равен коэффициент подобия?

Какие треугольники определяют форму треугольников на рисунке 2?

Можно ли определить размеры одного из треугольников на рис.2, если известны:

1. углы при основании треугольников
2. высота треугольника
3. сторона и углы при основании?

2 этап - ознакомительный

Цель данного этапа – разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

  Задача 1

Построить треугольник по двум данным углам и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

 Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает вопросы:

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?
2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?
3. Сколько треугольников можно построить по двум углам?
4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?
5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки.

Далее составляется план построения и выполняется само построение. 

Учитель обращает внимание учащихся на то, что, выполняя построения, они выполняли следующий алгоритм:

3 этап – формирующий умения

  Цель данного этапа – формирование умений решать задачи данного типа. Основная форма деятельности на этом этапе – индивидуально-поисковая. Сначала учащиеся сопровождают каждую операцию объяснением того, какой пункт алгоритма выполняется. Далее их деятельность становится самостоятельной. Пример работы по алгоритму:

Задача 2

Даны отрезки а, в, с. Постройте треугольник АВС так, чтобы выполнялись условия АВ:АС = а:в и АВ = ВС = с .

Данные, определяющие форму треугольника, должны совпадать с условием одного из признаков подобия треугольников. Величины углов искомого треугольника неизвестны, значит, должно быть известно отношение трех сторон. Из условия задачи следует, что для треугольника А1В1С1,подобного данному, должно выполняться : А1В1 : А1С1 = а : в   и    А1В1 = В1С1. Следовательно,

 А1В1 : В1С1 : А1С1 = а : в : с.

1. Данные, определяющие размеры искомого треугольника: АВ = с, ВС = с.
2. Построить треугольник А1В1С1 (по трем сторонам а, в, с), подобный искомому.
3. Отложить от точки В1 отрезок В1С = с.
4. Построить искомый треугольник: провести через точку С прямую параллельно А1С1, построить точку А.
5. Треугольник АВС искомый.

4 этап – совершенствующий знания

Цель данного этапа – перенос сформированного умения на более сложные задачи.

Цель данного этапа – перенос.        Задача 3

В данный угол ABC                                  Вписать окружность, которая проходила бы через данную внутри этого угла точку М

Актуализация имеющихся знаний.

Цели:

Изучение

новых знаний.

Цели:

Контроль и

Закрепление.

Цели:

Проверить знания и умения учащихся выполнять элементарные построения, применять имеющиеся знания к решению более сложных задач.

Расширить представления о методах решения задач.

Выработать умение работать с условием задачи, находить различные способы решения, исследовать и анализировать решения задач, работать с дополнительной литературой.

Проверить              усвоение нового материала

С

В

А

Д

Д1

С1

В1

А1

А

С

В

А1

С1

Д

Д1

Р1

N

N2 1

Р2

M

M1

Р1

N1 1

Д1

Д2

Рис. 1

    Рис. 2

    Рис. 3

План построения:

1. построить треугольник А1В1С1 по двум  данным углам А1 и В1;
2. построить биссектрису угла С1 в треугольникеА1В1С1;
3. построить СN = d;
4. через точку N провести прямую l,   параллельную А1В1;
5. l пересекает стороны А1С1 и В1С1 в точках А и В;
6. треугольник АВС искомый.

А1

В1

А

С1 = С

В

Д1

N

Выделить из условия задачи данные, определяющие форму фигуры

Полученная фигура является искомой

Построить фигуру указанной формы и размеров, используя подобную

Построить отрезок, определяющий размеры фигуры

Построить фигуру указанной формы, подобную искомой

Выделить данные, определяющие, размеры фигуры (линейный элемент)

В1=В

А1

С1

С

А1

Решение:

1. проведем биссектрису BL угла ABC и прямую BM;

2. построим  вспомогательную окружность, вписанную в угол ABC. Ее центр лежит на биссектрисе BM;

3. при пересечении окружности с прямой BM получим две точки P  и Q. соединим точки P и Q  с центром O;

4. проведем через точку M прямые

 MO1 || PO  и MO2 || QO;

55. точки O1  и O2- центры искомых окружностей.

В

А

L

C

M

O11

O2

O

Q

P