Рабочая программа элективного курса по математике «Геометрические построения» 11 класс.
рабочая программа по математике (11 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6» г. Югорска

Рабочая программа элективного курса по математике

Геометрические построения

11 класс

34 часа (1 час в неделю)

Составитель: Череватый Б.В.

учитель математики

высшей квалификационной категории

Пояснительная записка

Геометрические построения - приемы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперед заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений). В связи с этим типом геометрических построений возникли классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

 Решение некоторых геометрических задач при помощи различных инструментов (линейки, циркуля и др.), которые предполагаются абсолютно точными. В зависимости от выбора инструментов определяется цикл задач, которые могут быть разрешены этими средствами. Основным набором инструментов для Г. п. являются циркуль и линейка. Задача на построение разрешима при помощи циркуля и линейки, если координаты искомой точки могут быть записаны в виде выражений, содержащих конечное число операций сложения, умножения, деления и извлечения квадратного корня, примененных к координатам заданных точек. Если таких выражений не существует, то задача не может быть решена при помощи циркуля и линейки. К этим задачам относятся, напр.,  удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. Любая задача на построение, разрешимая при помощи циркуля и линейки, может быть решена при помощи и других наборов инструментов: одним циркулем - так наз. Мора - Маскерони построения (G. Mohr, 1672; L. Mascheroni, 1797); линейкой с двумя параллельными краями, которая может быть заменена угольником (A. Adler, 1890); линейкой и окружностью, заданной в плоскости чертежа с отмеченным центром,- Понселе - Штейнера построения (V. Poncelet, 1822; J. Steiner, 1833).

  Цели курса:  

- ввести понятие конструктивной геометрии;

- дать некоторые сведения из истории геометрических построений;

- научить учащихся решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Основные задачи курса «Геометрические построения»:

• обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися математическими знаниями и умениями,
• формирования интереса к математике,
• развитие творческих и практических возможностей,
• систематизация повторения геометрического материала,
•  развитие конструктивного и логического мышления, геометрической интуиции.

Курс состоит из 6 разделов:

1. Введение
2. Система аксиом
3. Методы решения задач на построение
4. Основные задачи на построение
5. Построение заданных отрезков
6. Решение других задач методом геометрических построений

Данный курс ориентирован на профессии строительного, машиностроительного и дизайнерского профилей.

Требования к знаниям и умениям учащихся

В результате изучения курса по математике учащиеся должны

знать:

• место геометрических построений в окружающем мире;
• механизм выполнения геометрических построений;
• основные методы геометрических построений;
• систему аксиом циркуля и линейки;
• основные задачи на построение.

уметь:

• применять методы решения задач на построение на практике;
• использовать навыки решения основных задач на построение при решении более сложных задач;
• строить заданные отрезки;
• выполнять геометрические построения другими средствами;

• логически рассуждать и анализировать имеющиеся данные;

• выстраивать и пользоваться алгоритмами решения.

применять:

• комплекс имеющихся геометрических знаний в новой ситуации.

Содержание курса

11 класс

(34 часа. 1 час в неделю)

Литература

1. А. Адлер. «Теория геометрический построений».
2. С.Зетель «Геометрия линейки и геометрия циркуля.
3. А. Астряб и А.Смогоржевский «Методика решения геометрических задач на построение».
4.  Л.Лоповок « Сборник позиционных задач на построение»
5. Б.Аргунов и М. Балк «Геометрические построения на плоскости.
6. П.Цюльке  «Построение на ограниченном куске плоскости».
7. Н.Четверухин «Геометрические построения и приближения»
8. И.Тесленко « Алгебраический метод решения конструктивных задач».

Тематическое планирование

Приложение

Элементарные построения:

1) деление отрезка пополам;

2) деление угла пополам;

3) построение на данной прямой, отданной точки отрезка, равного данному;

4) построение угла с вершиной в данной точке по указанную от данной прямой сторону равный данному углу;

5) построение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данной прямой;

6) построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой;

7) построение треугольника по трем данным сторонам;

8) построение треугольника по двум данным сторонам и углу между ними;

9) построение треугольника по данной стороне и двум прилежащим к ней углам;

10) построение прямой, касательной к данной окружности и проходящей через данную точку;

11) построение прямоугольного треугольника по : а) двум катетам;

Б) катету и гипотенузе; в) катету и острому углу; г) гипотенузе и острому углу.

Если инструменты специально не указаны, то считается, что построение выполняется классическим набором инструментов: линейкой (односторонней) и циркулем. Например, в данной задаче, построение классическим набором инструментов сводится к построению прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой п откладыванию отрезка, равного данному.

для успешного обучения школьников решению задач на построение их целесообразно изучать по схеме:

1. Аксиомы линейки и циркуля.

Односторонняя линейка позволяет:

• построить отрезок, соединяющий две данные точки;

• построить прямую, проходящую через две данные точки;

• построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.

Циркуль позволяет:

• построить окружность с данным центром и радиусом;

• построить дуг если даны центр и концы дуги.

2. Основные построения, непосредственно вытекающие из аксиом линейки и циркуля.

Основные построения:

• построить точку пересечения двух данных прямых;

• построить точку пересечения данной прямой с данной окружностью:

• построить точки пересечения двух данных окружностей;

• взять на прямой, на окружности или вне их произвольную точку:

• провести на плоскости произвольную прямую.

Обратим внимание на некоторые особенности задач на построение.

1) Заданные элементы искомой фигуры в задачах на построение часто фактически не задаются, а лишь называются с указанием их характеристик. Именно поэтому кроме непосредственного осуществления построения, необходимо установить условия, при которых это построение возможно.

2) Во всякой задаче на построение требование состоит не просто в построении какой-либо геометрической фигуры, а в построении геометрической фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами. Поэтому естественно, что после того как произведено построение искомой фигуры, нужно убедиться, что она обладает всеми указанными свойствами.

З. Этапы решения задач на построение.

Исходя из особенностей задач на построение, их решение должно содержать четыре этапа.

1. Этап анализа. Выясняется, какие свойства заданных и искомых фигур нужно использовать и каким методом можно осуществить построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру. Анализ можно проводить устно, ограничившись при необходимости схематическим чертежом как бы уже построенной фигуры. На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Полезно учесть следующие замечания, помогающие при проведении анализа:

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения уже имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели и перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречается зависимость между элементами, о которых говориться в условии рассматриваемой задачи.

4) В ходе анализа рассуждения связываются с выполненным чертежом-наброском. Поэтому тот способ решения. к котором можно прийти на основе такого рассуждения может оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы полученный способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в более общем виде.

5) Если задача является элементарной, то этап анализа можно опустить.

2. Выполнение построений и их описание. Задачи на построение занимают много времени, так как требуют поэтапной записи. Запись решения должна быть максимально краткой, но точно поясняющей выполненные построения.

3. Этап доказательства имеет своей целью показать, что построенная фигура обладает всеми указанными свойствами. Ход доказательства зависит от способа построения, что не всегда понимают учащиеся. доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения может быть выполнен.

4. Этап исследования должен ответить на вопрос: всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно. Нередко, учащиеся и даже учителя проводя исследование, произвольно выбирают те или иные соотношения между данными. Причем не ясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным так же, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи вовсе не будут рассмотрены.

Поэтому необходимо проводить исследование по ходу построения, перебирая последовательно все его шаги и устанавливая относительно каждого шага всегда установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.

Решения классических элементарных задач на построение обусловлены аксиомами циркуля и линейки. Например, отмечал точку. ученик должен осознавать в результате каких пересечения каких линий она получается или на основании какой аксиомы планиметрии она выбирается. Учащиеся часто проводит <засечки> циркулем не понимая, что он на самом деле строит. Учитель должен помочь учащимся осознать это с помощью конкретных вопросов.

Умение выполнять элементарные построения должны быть доведены до автоматизма, особенно это касается первых шести построений, так они во многом являются опорными для решения других элементарных задач и более сложных задач на построение.

4. Классические элементарные задачи на построения.

1) деление отрезка пополам;

2) деление угла пополам;

3) построение на данной прямой, отданной точки отрезка, равного данному;

4) построение угла с вершиной в данной точке по указанную от данной прямой сторону равный данному углу;

5) построение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данной прямой;

6) построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой;

7) построение треугольника по трем данным сторонам;

8) построение треугольника по двум данным сторонам и углу между ними;

9) построение треугольника по данной стороне и двум прилежащим к ней углам;

10) построение прямой, касательной к данной окружности и проходящей через данную точку;

11) построение прямоугольного треугольника по : а) двум катетам;

Б) катету и гипотенузе; в) катету и острому углу; г) гипотенузе и острому углу.

5. Задачи на построения, при решении которых используются элементарные построения.

6. Методы решения задач на построения.