Элективный курс "Построение сечений многогранника"
элективный курс по геометрии (10 класс) по теме

Министерство образования Российской Федерации

Главное управление общего и профессионального образования Иркутской области.

МОУ СОШ № 11

«Построение сечения многогранников»

Программа элективного курса

по геометрии для учащихся 10 класса

                                Разработал:    Губарь Оксана Михайловна,                                                учитель математики,

                                    первая квалификационная категория.

г. Усть-Илимск. 2006г.

Особенности курса:

Актуальность:

      При изучении стереометрии в 10-11-х классах общеобразовательной школы практически ежеурочно приходится строить чертежи, т. е. изображать на плоскости различные пространственные фигуры, строить сечения. Каждая задача при решении требует определенного навыка со стороны ученика в построении «читаемого» чертежа.  На первых этапах изучения стереометрии ученик не умеет читать чертеж «изнутри», не видит взаимосвязи между отдельными элементами той или иной фигуры. Это представляет определенные трудности, как со стороны учителя, так и со стороны ученика. Отдельные учащиеся, оканчивая школу, и поступая в высшие учебные заведения, испытывают трудности при изучении начертательной геометрии, технического черчения и других наук.

     Задачам на изображение пространственных фигур на плоскости и построение сечений в школьном курсе геометрии уделяется недостаточное внимание. Поскольку данные задачи составляют базу для работы, развивающей навыки построения, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обуславливает недостаточное развитие пространственного мышления ученика, низкий уровень его графической культуры.

      Поэтому так важно выработать практические навыки в решении задач на построение. В этом прагматическая функция предлагаемого десятиклассникам курса по выбору. Но по содержанию материала и методам работы с ними, налицо и его развивающая функция.

В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. Так же в процессе построений ученики убеждаются в правильности многих математических утверждений.

   Назначением данного курса является обеспечивание повышенного уровня изучения учебного материала по данной теме.  

Цели курса заключаются в создании условий и возможностей:

1. уточнить готовность и способность осваивать данный материал на повышенном уровне;
2. максимально развить познавательные способности учащихся;
3. расширить представления о методах построения сечения многогранников и способах изображения пространственных фигур на плоскости;
4. научить ориентироваться в простейших геометрических ситуациях и обнаруживать образы в окружающей обстановке;

Задачи курса:

1. повышать уровень пространственного воображения учащихся;
2.  показывать геометрию во всей ее многогранности;
3. развивать творческие способности учащихся.

Учащиеся должны иметь представление:

1. о структуре и содержании курса и его месте в общеобразовательной программе;
2. о способах построения изображения пространственных фигур на плоскости;
3. о различных методах построения сечений;
4. о практическом применении данных задач.

Учащиеся должны знать:  

5. методы решения задач и их сущность;
6. структуру процесса решения задач.

Учащиеся должны уметь:

1. классифицировать предложенные задачи по методам их решения;
2. различать заданные элементы и их характеристики;
3. анализировать и исследовать решения задач.

Учащиеся должны владеть:

графическими навыками.

Структура курса: 

Содержание курса и учебная деятельность:  (16 часов)

Ожидаемые результаты:

В процессе обучения учащиеся приобретают умения разбираться в типах и  методах решения задач, анализировать, исследовать, находить пути их решения, выработать практические навыки в решении задач на построение сечений.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Самостоятельные, контрольные, домашние контрольные работы, тест «Призма. Пирамида»
2. Алгоритм самостоятельной работы над выполнением реферата
3. Конспект урока по теме «Изображение многоугольников на плоскости»
4. Конспект урока-лекции по теме «Способы построение сечений многогранников»
5. Конспект урока по теме «Построение сечений многогранников. Метод следов»

Алгоритм самостоятельной работы над выполнением реферата:

1. постановка проблемного вопроса;
2. аргументация;
3. выводы;
4. математическое содержание работы;
5. грамотное изложение;
6. оформление.

Тест «Призма, пирамида»

1. Перпендикуляр, опущенный из какой – либо точки одного основания призмы на плоскость другого, есть:

1.  высота
2. сторона
3. касательная
4. образующая

2. Многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а все другие грани – треугольники, имеющие общую вершину, называется:

1. призмой
2. параллелепипедом
3. цилиндром
4. пирамидой

3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то такая призма называется:

1. наклонной
2. прямой
3. правильной
4. неправильной

4. Как называется призма, основания которой есть параллелограммы?

1. параллепипед
2. правильная призма
3. призма
4. правильная пирамида

      5. Если основания призмы правильные многоугольники, то такая призма называется:

1. правильной
2. наклонной
3. прямой
4. неправильной

       6. Как называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания?

1. апофема
2. сторона
3. высота
4. вершина

        7. Многогранник, у которого две грани равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы, называется :

1. пирамидой
2. призмой
3. кубом
4. тетраэдром

Конспект урока по теме «Изображение многоугольников на плоскости»

Цели:

1. проверить знания и умения, учащихся по данной теме;
2. рассмотреть способы изображения многоугольников на плоскости;
3. способствовать развитию пространственных представлений у учащихся;

Ход урока:

1.  Актуализация знаний.

Вопросы учащимся:

1. от чего зависит форма изображения?
2. Назовите свойства параллельного проектирования, на которых основаны способы построения изображений;
3. Что является проекцией середины отрезка?

2. Изучение нового материала

      (примеры рассматриваются учителем с помощью учеников)

В задачах 2 и 3 докажите, что в результате выполнения построений получается фигура с требуемыми свойствами.

Закрепление

Задача 4 предлагается для самостоятельного решения:

Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра круга, описанного около треугольника.

Указание: Центр круга, описанного около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. (см. на оригинале)

Построение:

1. Делим стороны АС и АВ пополам. Найдем середины отрезков АС и АВ.
2. через точки деления проводим отрезки параллельные высотам. Полученная точка пересечения и есть изображение центра круга, описанного около треугольника.

Итоги урока

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра круга, описанного около треугольника.

Задача 2

Через данную точку на изображении окружности построить касательную к ней.

Задача 3

В окружность вписать квадрат.

Задача 4

В изображении окружности построить вписанный равносторонний треугольник.

Задача 5

На изображении окружности АС- сторона равностороннего треугольника, вписанного в нее. Достроить треугольник.

Задача 6

Построить изображение вписанного в окружность равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен 120о.

Задача 7

Даны изображения окружности, ее центра и вписанного в нее треугольника. Постройте изображение высот этого треугольника.

Задача 8

Дано изображение окружности с ее центром. Постройте изображение прямоугольной трапеции, описанной около этой окружности.

Ответы, указания, решения

Задача 1

Указание: Центр круга, описанного около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Решение:

1. Делим стороны АС и АВ пополам. Найдем середины отрезков АС и АВ.
2. Через точки деления проводим отрезки параллельные высотам. Полученная точка пересечения и есть изображение центра круга, описанного около треугольника.

Задача 2

Решение:

1. строим изображение двух взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых проходит через т.А (d2) (см. решение задачи 5)
2. строим касательную, а║d1

   Задача 3

 Решение:

1. Строим два изображения взаимно перпендикулярных диаметров АС и ВD.
2. Соединим точки А,В,С,D. Получим изображение квадрата, вписанного в окружность.

Задача 4

Решение:

1. Строим изображение двух взаимно перпендикулярных диаметров ВD; M1N.
2. Через середину отрезка ОD (т.M) проводим отрезок АC║M1N.
3. Соединив точки А;В;С, получим изображение равностороннего треугольника, вписанного в окружность.

Задача 5

Решение:

1. Через середину АС и точку О строим диаметр. Получим т. В – изображение вершины

      В1 равностороннего треугольника.

2. Соединим точки А;В;С. Треугольник АВС искомый.

       Задача 6  

Решение:

1. Строим изображения диаметров d1┴ d2. Точка В - конец диаметра d1
2. Соединим точки A;B;C;D;E;F. Шестиугольник ABCDEF искомый.

Задача 7

Решение:

1. Построим ОМ и ОN , где М – середина ВС, N  - середина АС
2. построим АК║ОМ и ВP║ОN, АК и ВP – искомые высоты.

Задача 8

Решение:

1. Строим два взаимно перпендикулярных диаметра ( см. решение зад 5)
2. Строим касательные через три конца диаметров. АВ: ВС; АD.
3. Выбираем на изображении окружности произвольную точку М.
4. Строим касательную СD. М€СD.
5. АВСD – искомая трапеция.

Контрольная работа по теме «Изображение пространственных фигур на плоскости"

1. Около окружности описать квадрат. На изображении окружности дана точка А– изображение вершины     равностороннего треугольника вписанного в окружность. Достроить его.
2.   В изображение окружности вписать правильный шестиугольник.
3.   Даны изображения окружности, ее центра и хорды MN. Постройте   изображение равнобедренного треугольника, для которого хорда MN служит боковой стороной.
4. В изображение окружности вписать изображение правильного вписанного восьмиугольника

   ---

   Конспект урока-лекции по теме: «Методы построения сечений многогранников»

Цель урока:

1. расширить представления о методах построения сечения многогранников;
2. повышать уровень пространственного воображения учащихся;

Ход урока

Актуализация знаний:

    При построении сечений пространственных фигур плоскостями для изображения этих сечений нужно научиться строить контур сечения по точкам. Если пространственная фигура является многогранником, то линией пересечения граней с секущей плоскостью является отрезок, для изображения которого достаточно получить изображение двух его точек.

    Наиболее распространенным приемом для построения контура сечения является использование следа секущей плоскости в некоторой плоскости специальным образом связанной с данной фигурой (например, в плоскости основания призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и т.д.)

     Вопросы учащимся:                                                                                                                                           1.Что называется следом секущей плоскости?                                                                                       (Прямая, образованная пересечением секущей плоскости и грани многогранника, называется следом секущей плоскости на этой грани)                                                                                                                                2. Что значит построить сечение многогранника?                                                                                  (Построить сечение многогранника, значит, указать последовательность действий, с помощью которой можно по изображению данного многогранника на плоскости построить изображение следов секущей плоскости на всех его гранях)                                                                                                    3. Сколько секущая плоскость имеет следов?                                                                                         (Секущая плоскость имеет столько следов, сколько плоскостей граней она пересекает.)

Сечение многогранника плоскостью – многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит построить прямые, являющиеся следами пересечения граней многогранника данной плоскостью. Для построения каждой такой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости, и плоскости грани. Обычно эти точки лежат на ребрах многогранника.

Секущая плоскость может быть задана различными способами, например:

1. тремя точками, которые не лежат на одной прямой;
2. прямой и точкой, не лежащей на ней;
3. двумя пересекающимися прямыми;
4. двумя параллельными прямыми.

Построение плоских сечений многогранников выполняется на основе соответствующих пространственных аксиом и теорем. Не забываем, что прямая не имеет начала и не имеет конца.

Наиболее  часто применяемыми методами построения сечений являются:

метод следов,

 метод внутреннего проектирования и

метод переноса секущей плоскости.

Метод следов.

При использовании этого метода сначала строится след секущей плоскости на плоскости одной из граней многогранника (диагональной плоскости, плоскости симметрии) и след соответствующих боковых ребер на секущей плоскости. Далее строятся следы секущей плоскости на других гранях при наличии двух следов ребер, принадлежащих соответствующей грани, или их продолжений на секущей плоскости.

Задача 1

Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью, проходящей через точку М АА1 и прямую а (ABCDE)

Решение: Прямая  а  – это след секущей плоскости на плоскости основания.

Построение:

1. Продолжим ребро АВ до пересечения со следом. Получим точку М1.

            Соединим т. М1 с точкой М. На ребре ВВ1 получим точку N.

2. Продолжим ребро ВС до пересечения со следом. Получим т. М4. Соединим т. М4 с т.N. На ребреСС1 получим т. P.
3. Продолжим ребро ВС до пересечения со следом. Получим т. М2. Построим прямую М2P. При пересечении M2P и DD1 получим т. Q.
4. Продолжим ребро ED до пересечения со следом. Получим т. М5. Построим прямую M5Q до пересечения с ребром EE1. Получим т. R. Соединим т. М и т. R.
5. Многоугольник MNPQR –искомое сечение.

Аналогично можно решить и следующую задачу:

Задача 2

Построить сечение пирамиды SABCE плоскостью, проходящей через т. М (SAB)  и прямую а (ABCDE)

Ход решения попробуйте объяснить самостоятельно.

Задача 3

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки N, C, D1.

Решение:

1. Так как {N;C} (ABCD), то прямая (NC)  является следом секущей плоскости на (ABCD). Прямая пересекает ребро AD в точке К(AA1D1D)
2. Построим прямую KD1. KD1∩AA1=M.
3. Соединим M и N; D1 и C.
4. Многоугольник NCD1M – искомое сечение.

Задача 4

На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение:

1 случай

1. Прямая (NP) – след секущей плоскости (BDC).  (NP) ∩ (BC)=E
2. Точка Е (АВС). Построим (ЕМ) (АВС).  (ЕМ) ∩ (АС)=Q
3. Соединим M и N; D1 и С.
4. Многоугольник MNPQ – искомое сечение

2 случай.

1. Если прямые (NP)║(BC), то прямая (NP)║(АВС), поэтому (MNP) ∩ (МЕ1)=(NP).  
2. (АС)∩ МЕ1=Q
3. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Задача 5

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные на его ребрах точки M, N, P, две из которых лежат на смежных ребрах.

Построение.

1. Так как {M;N} (AA1B1B), то прямая (MN) – след секущей плоскости на плоскости (АА1В1С).
2. Прямая (MN) пересекает продолжение ребра АВ в т. К1, продолжение ребра ВВ1 в т. К3.
3. Построим (К1P). Прямая (К1P) ∩ (BC)=K3; (K1P) ∩ (AD)=N1; K2(BB1C1C); K3  (BB1C1C).
4. Построим прямую (К2К3). (К2К3) ∩ (СС1)=P1.    (К2К3) ∩ (B1С1)=M1
5. Соединим точки {M; N; N1; P1;M1}
6. Многоугольник MNN1PP1M1 – искомое сечение.

Задача 6

Построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNP) где точки {M;N;P} лежат на пересекающихся ребрах при условии, что никакие две из них не лежат в одной грани.

Решение:

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед.

Т. МА1В1; т.N AD; т.P CC1

1. Найдем след секущей плоскости на основании (ABCD). Для этого:

1. Построим прямую MP принадлежащую некоему сечению;
2. Найдем проекцию т. М на основании (ABCD). Построим МК1║В1В; т. К1-проекция т. М на (ABCD); т. C – проекция т. P на (ABCD);
3. Построим прямую (К1С)∩(MD)=K2; K2(ABCD)
4. Построим (NK2) – след секущей плоскости на основании (ABCD);

Далее как в предыдущей задаче.

Несколько сложнее этим способом решается подобная задача в случае, когда точки M, N, и  лежат на непересекающихся ребрах куба.

Задача 7

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на непересекающихся ребрах при условии, что никакие две из них не лежат в одной грани.

Решение:

1. проведем через точку М прямую, параллельную (АА1). (МК1) ∩ АВ =К1
2. Так как P лежит на ребре куба. То она проектируется в точку С.
3. К2=MP ∩ K1C. Точка К2 принадлежит плоскости сечения и (АВС).
4.  Прямая NK2 – след секущей плоскости на плоскости основания.
5. Точка N1 – след секущей плоскости на ребре CD.

      Далее задача сводится к предыдущей.

Задача 8

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, L, K на двух противоположных гранях.

      Решение:

1. Так как {M;L} (ABCD), то прямая (ML) – след секущей плоскости на грани АА1В1С.
2. Так как (ABCD)║(A1B1C1D1), то построим прямую b║(MN) в грани (A1B1C1D1).
3. (ML)∩(AD)=Q; (ML)∩(AB)=P; b∩A1B1=S; b∩A1D1=R
4. Четырехугольник PSRTQ -искомое сечение.

Задача 9

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N, K на двух смежных гранях.

Решение:

1. Так как {М; L} (АBCD), то прямая (ML) – след секущей плоскости на грани ABCD.
2. Прямая (ML) пересекает продолжение ребра СD в т. X.
3. Так как (CDD1C1)║(BAA1B1), то построим прямую b║(SR) в грани (BAA1B1).
4. (ML)∩(AD)=Q; (ML)∩(AB)=P; b∩BB1=T; b∩AB=P
5. Пятиугольник PQRST-искомое сечение.

Задача 10

Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на ее ребрах SA, SD, BC.

Решение:

1. Если MN и AD не параллельны, то (MN) (SAD), (AD) (SAD), (MN)∩(AD)=К1.
2.  Точки К1 и P принадлежат (ADC) и плоскости сечения,  (K1P) – след секущей плоскости на плоскость основания.
3. Аналогично, (К1P)∩(АВ)=К2.
4.  Точки N1 и P1 – следы секущей плоскости на ребрах пирамиды  DC и SB соответственно.
5. Пятиугольник MNN1PP1 – искомое сечение.

Если MN ║ AD, то точка К1 не существует, но следом секущей плоскости на плоскости основания ABCD является прямая, проходящая через точку K2 параллельная AD.

Метод внутреннего проектирования

При использовании этого метода на плоскости основания многогранника отмечаются четыре точки: три проекции (центральные или параллельные) трех точек, определяющих плоскость сечения, и одна должным образом выбранная вершина основания, принимаемая за проекцию одной из вершин сечения. Далее на одной из прямых плоскости сечения строится точка, проекцией которой служит точка пересечения диагоналей указанного четырехугольника. Найденная четвертая точка сечения вместе с одной из трех данных точек этого сечения определяет прямую, которая в пересечении с соответствующим ребром многогранника дает точку пересечения секущей плоскости с этим ребром.

Метод внутреннего проектирования является эффективным в тех случаях, когда след секущей плоскости не помещается на чертеже, так как секущая плоскость составляет малый угол с плоскостью основания.

Задача 11

Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P,  лежащие на трех ее разных боковых гранях.

Решение:

1. Проводим через точки M, N, P  прямые MM0, NN0, PP0, параллельные ребрам призмы.
2. Секущая плоскость пересечет ребро СС1 в некоторой точке R, проекцией которой на плоскость основания является точка С.
3. Проведем диагонали четырехугольника M0N0CP0.
4.  Построим на прямой NP точку О1, проекцией которой является точка О пересечения диагоналей M0N0CP0.
5. Соединив точки М и О1, и продолжая диагональ до пересечения с ребром СС1, получаем искомую точку R.
6. Проведем прямые RN и RP до пересечения с ребрами DD1 и ВВ1, получаем следы секущей плоскости S и Q на этих ребрах.
7.  Проводя прямую  до пересечения с ребром АА1, получаем точку М1.  Четырехугольник М1SRQ – искомое сечение.

Задача 12

Даны точки M, N, P, лежащие на боковых гранях четырехугольной пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP.

Решение:

В данной задаче используются центральные проекции.

1. Прямые M0N0, M0P0, N0P0 – центральные проекции с центром в точке  S на плоскость основания пирамиды прямых MN, MP, NP.
2. Секущая плоскость пересечет ребро SС1 в некоторой точке R, центральной проекцией которой на плоскость основания является точка С.
3. Проведем диагонали четырехугольника M0N0CP0.
4. Построим на прямой NP точку О1, проекцией которой является точка О пересечения диагоналей M0N0CP0.
5. Соединив точки М и О1, и продолжая диагональ до пересечения с ребром SС, получаем искомую точку R.
6. Проведем прямые RN и RP до пересечения с ребрами SD и SВ, получаем следы секущей плоскости Q и F на этих ребрах.
7. Проводя прямую FM до пересечения с ребром SA, получаем точку М1.  Четырехугольник М1FRQ – искомое сечение.

Метод переноса секущей плоскости

При использовании этого метода вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все три грани некоторого трехгранного угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам вспомогательной плоскости.

Задача 13

Даны точки M, N, P, лежащие соответственно на боковых ребрах SA, SD, SB четырехугольной пирамиды SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP.

Решение:

1. Проводим через вершину D прямую a, a ║(MN). a∩(SA)=K1.
2. Через точку К1 параллельно (MP) проводим прямую b. b∩(АВ)=К2.
3. (DK1K2)║(MNP). (ASC) пересекает их по параллельным прямым.
4.  (ASC)∩(DK1K2)=(K1K3).  (АС) ∩ DK2= K3,  где АС - диагональ четырехугольника ABCD
5. Через точку М проводим прямую d. d║(К1К3),  d∩(SC)=Q.
6. Сечение MPQN является искомым.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

 Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит в грани CC1D1D точка Q — в грани AA1D1D, а точка R — на ребре ВВ1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

Задача 2.

Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три заданные точки N, C, D1, лежащие на ребрах куба.

Задача 3.

Построить сечение треугольной пирамиды  ABCD плоскостью, проходящей через  точки M, N, P. Если

точка М лежит на ребре AD, точка P на ребре АВ, точка N на ребре ВС.

Задача 4

 Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки на двух смежных гранях.

 Точки K и L лежат в грани АВС, точка М  в грани ВСS. KL пересекает прямую BC.

Задача 5. Построить сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точку К на боковой грани АВВ1, параллельно плоскости, проходящей через диагонали двух других боковых граней.

Задача 6

 Построить сечение куба, проходящей через три заданные точки M, N, P,  лежащие на трех ее разных боковых гранях. Точка М лежит в грани АА1D1D, точка N в грани ВВ1С1С, точка P  в грани АА1В1В.

Задача 7

Построить сечение куба, проходящей через три заданные точки M, N, P.

M(BB1C1);  N(ABB1);  P(DD1C1)

Контрольная работа по теме: «Построение сечений многогранника»

1. Какие закрашенные фигуры являются сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR?

Задание первого уровня:

      а)                                                                  б)                                                            в)

Задание второго уровня:

     г)                                                                        д)                                                      е)

Задание третьего уровня:

           ж)                                                      з)                                                           и)

2. Определите вид и найдите периметр сечения куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через ребро А1D1 и середину ребра ВВ1, если длина ребра куба равна 8 см.

1)    2)   3)

3. Определите вид и найдите периметр сечения куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью,   проходящей через точки А, D и середину ребра СС1, если длина ребра куба равна 4 см.

     1)    2)    3)  

4. Определите вид сечения (и постройте его) куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через точку М С1D1 и диагональ нижнего основания.

   а)                                                                            б)                                                     в)

5. Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

а) 5см2;   б) 4см2;  в) 2см2.

6. Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже)

а)                                                                    б)                                                                      в)

Домашняя контрольная работа по теме: «Построение сечений многогранника»

1. Построить сечение пятиугольной призмы плоскость, проходящей через три точки на двух основаниях.
2. Построить сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на трех боковых гранях.
3. Построить сечение параллелепипеда плоскостью.  Проходящей через три точки на трех его взаимно скрещивающихся ребрах.

Указания к решению:

1. Построение аналогично построению сечения параллелепипеда.
2. Построение аналогично построению сечения тетраэдра.
3. Сечение строится аналогично сечениям тетраэдра и треугольной призмы  Отличие заключается в том, что для получения точки  E и точки F,  совпавшей с точкой D, используются вспомогательные прямые, параллельные ребрам параллелепипеда.

Самостоятельная работа по теме: «Построение сечений многогранников»

1. В тетраэдре  SABC L - середина  AC,  M - середина  SC, P=BCLK,  PB=BC ,  SA= 51.

В сечении тетраэдра плоскостью  KLM найти длину отрезка пересечения с гранью ABS.

2. В кубе  ABCDA1B1C1D1 через середины ребер  AB, AD   и центр грани CC1D1D проведено сечение, пересекающее ребро CC1  в точке  H.   AB : C1H = ?
3. В треугольной призме, все ребра которой равны 12-8,проведено сечение через центр

боковой грани параллельно плоскости, проходящей через диагонали двух других граней. Периметр сечения равен?

4. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра имеют длину  20 . Через середину

бокового ребра проведена перпендикулярная ему плоскость. Найти площадь сечения пирамиды данной плоскостью.

5. В параллелепипеде все грани - ромбы со стороной 30 и острым углом 600. Найти возможный наименьший периметр сечения параллелепипеда плоскостью,

проходящей через середины трех его скрещивающихся ребер.

Указания к решению: 

1. Постройте сечение и воспользуйтесь свойством медиан.
2. Постройте сечение и воспользуйтесь подобием образовавшихся при построении треугольников.
3. Постройте сечение, воспользуйтесь формулой площади трапеции.
4. Сечение – шестиугольник, стороны которого равны половинам диагоналей грани. В условии не  фиксировано, какие именно тройки ребер берутся для исходных точек, поэтому периметр минимален при таком выборе исходных точек, когда все стороны сечения-половины меньших диагоналей граней.

Самостоятельная работа по теме

 «Построение следов секущей плоскости, построение сечения с помощью следа»

1. На ребрах В1С1, АА1 и АD параллелепипеда АВСDА1В1С1 взяты соответственно точки P,Q,R. Постройте следы секущей плоскости PQR на следующих плоскостях:

           1) AA1D;  2)AA1B;  3)BB1C;  4)ABC;  5)A1B1C1;

2. На диагонали АС1 параллелепипеда АВСDА1В1С1 взята точка P, на диагонали АD1  грани АА1D1D  - точка Q и в плоскости грани АВСD – точка R. Постройте следы секущей плоскости на следующих плоскостях: 1)АВС; 2) АА1D1;   3) АА1В1;

3.  На ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1  взяты точки Xи Y. Считая прямую XYследом секущей плоскости, постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К – середину ребра ВВ1, если точки X и Y лежат соответственно на ребрах:                                                                                                                                         1)AD и CD; 2) AD и DD1; 3)AD и AB; 4) AD и AB;

4.   На продолжении ребра ВВ1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка P - такая, что BP:B1P=3:1; в грани CC1D1D  взята точка  Q – центр этой грани, и на ребре AD взяты точки R1, R2, R3, R4 - такие, что DR1=R1R2=R2R3=R3R4=R4A Постройте сечение параллелепипеда плоскостями:    1) PQR;   2) PQA;   3) PQR1;   4) PQR2;   5) PQR3.

Контрольная работа по теме «Построение сечений многогранника»

1. В тетраэдре  SABC  BC┴AS,  BC=12,  AS=16.    Найти площадь сечения тетраэдра

плоскостью, проходящей через середины ребер  AB, AC, BS.

2. В кубе  ABCDA1B1C1D1  со стороной  4 найти площадь сечения плоскостью, проходящей через середины ребер  AB, AD   и центр грани A1B1C1D1.
3. Какое наибольшее число сторон может иметь сечение параллелепипеда?
4. Найти площадь сечения правильного тетраэдра со стороной 10 плоскостью, проходящей через точку пересечения его медиан параллельно паре скрещивающихся ребер.
5. В кубе со стороной через середину диагонали проведено сечение плоскостью, перпендикулярной этой диагонали. Найти периметр сечения.

Литература для учителя:

1. Клопский В. М. и др. «Геометрия 9-10 класс» учебное пособие для средней школы
   Издание 5-е М. Просвещение 1979г.
2. Веннинджер М. «Модели многогранников» Издательство «Мир» Москва 1974г.
3. Литвиненко В. Н. «Задачи на развитие пространственных представлений» Москва
   Просвещение 1991г.
4. Гусев В. А.. «Геометрия. Полный справочник» Москва  Махаон 2006 г. 320 ст.

Литература для учащихся:

1.        Погорелов А. В. «Геометрия для 7-11 кл» учебное пособие для средней школы.
М. Просвещение 1990г.

2.        Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11 класс» учебное пособие для
общеобразовательных учреждений 11-е издание .М. Просвещение 2002г.

Контроль и

закрепление

цели:

Изучение

новых знаний

цели:

Актуализация имеющихся знаний

цели:

Проверить              усвоение нового материала

Расширить представления о методах решения задач.

Выработать умение работать с условием задачи, находить различные способы решения, исследовать и анализировать решения задач, работать с дополнительной литературой.

Проверить знания и умения учащихся выполнять элементарные построения, применять имеющиеся знания к решению более сложных задач.

изображение

h2

h1

B

C

A

оригинал

O1

h2

h1

В1

С1

A1

Рис 6

изображение

C

D

E

A

B

А1С1=С1В1

В1

С1

А1

Рис 5

Рис 4

изображение

В

С

D

A

А1С1=С1В1

В1

С1

А1

Рис 3

изображение

Рис 2

N

D

M

B

C

А

оригинал

Рис 1

N1

D1

C1

B1

M1

А1

Рис 6

Рис 7

Изображение

B

C

D

E

F

А

оригинал

O1

C1

B1

A1

F1

E1

D1

Рис 5

N

С

D

М

В

Е

А

Рис 4

D

С

В

А

P