Теорема Наполеона. 20.05.13
презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме
презентация содержит доказательство теоремы, её применение к решению задач, головоломки Наполеона
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 teorema_napoleona_yugov_ivan_10_b_klass_2.pptx | 1.84 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель: изучение теоремы Наполеона и рассмотрение нескольких геометрических задач, составленных им; доказать теорему Тебо с помощью теоремы Наполеона.
Задачи: изучить имеющуюся литературу по данной теме; доказать теорему Наполеона с использованием геометрических преобразований ; решить задачу Наполеона о равных треугольниках при искомой точке; решить задачу Наполеона о квадрате, вписанном в окружность; доказать теорему Тебо , с помощью теоремы Наполеона; рассмотреть любимую головоломку Наполеона « Танграм ».
Биография Французский император, гениальный полководец. Родился в семье мелкопоместного дворянина. В 1785 г. в чине поручика окончил Парижскую военную школу, служил в полку в Южной Франции. Был произведен в капитаны и направлен в войска, осаждавшие Тулон, захваченный англичанами.
Благодаря плану, разработанному Наполеоном, англичанам пришлось срочно покинуть город. Тулон пал, а сам Наполеон, которому было всего 24 года, был сразу же произведен в бригадные генералы. В 1795 г. решительно подавил монархистский мятеж в Париже, после чего был назначен главнокомандующим армией в Италии.
Теорема Наполеона : «Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний»
Доказательство Пусть М, N, К - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой (рис.1)
По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360°. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру, изображённую на рис.2
Отсекая теперь от этого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис.3, получаем четырёхугольник МDNK. Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120° каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60° каждый. Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать
ЗАДАЧА О РАВНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ ПРИ ИСКОМОЙ ТОЧКЕ В треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A , B и C будет минимальна. Решение данной задачи имеет единственное ограничение: наибольший угол треугольника должен быть меньше 120 .
Решение: Пусть F - произвольная точка внутри треугольника. Повернем треугольник AB F вокруг вершины B наружу на 60 . В этом случае AF = A'F' и BF = B'F' по построению, BF = F'F, потому что треугольник BFF' равносторонний, значит сумма расстояний от F до A, B, C равна длине ломаной A'F'FC. Эта сумма станет минимальной, если F примет такое положение, что ломаная станет прямой. Для этого нужно, чтобы участок AF'F стал прямым, т. е. чтобы A'F'B и, следовательно, AFB равнялся 120 . Необходимо еще, чтобы участок F'FC стал прямым, т. е. BFC равнялся 120 . Третий угол при точке F автоматически станет равным 120 . Итак, доказано, что все три угла при искомой точке F равны 120 .
ЗАДАЧА О КВАДРАТЕ, ВПИСАННОМ В ОКРУЖНОСТЬ Необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром
Решение, предложенное американским математиком Ф. Чини: 1.Выбрать на окружности произвольную точку А. Провести через нее окружность того же радиуса, что и первая. 2. Затем из точки пересечения второй окружности с первой (точки E - первая вершина) провести третью окружность, пересекающую первую окружность (в точке D). 3. Провести из этой точки D первую дугу (DA), пересекающую первую исходную окружность в точке E (вторая вершина квадрата). 4. Из точки F - как из центра пересечения второй и третьей окружности (внешней по отношению к первой) провести дугу радиусом FO в точке G. 5.Оставшиеся две вершины квадрата H, I, вписанного в исходную окружность, получите, проведя дугу радиуса CG с центром в точке C
ТЕОРЕМА ТЕБО Теорема Тебо . Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, являются вершинами квадрата
Пусть K, L, M, N — центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB BC, CD, DA параллелограмма ABCD; O — центр параллелограмма. Применив теорему для треугольников ABK, BCL, CAO, построенных на сторонах треугольника ABC, получаем, что треугольник KOL — равнобедренный прямоугольный с прямым углом O. Аналогично, треугольники LOM, MON, NOK — равнобедренные прямоугольные с прямым углом O. Другое решение можно получить, заметив, что KAN и KBL — равные треугольники, получающиеся друг из друга поворотом на 90 ◦ .
Головоломка Наполеона ( " Танграм " ) Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей
Маршал Даву , сумел собрать из предложенных деталей квадрат Мюрат - квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... И возникает вопрос можно ли построит треугольник вообще?
Но перед решением головоломки обратите внимание на градусы углов. 18 :36:90:108:126:144- они все кратны 18-ти
Задачи, решаемые с помощью теоремы Наполеона: 1. На боковых сторонах трапеции ABCD построены треугольники ABE и CDF так, что AE || CF и BE || DF. Докажите, что если E лежит на стороне CD, то F лежит на стороне AB. 2. (З. Насыров) (задачник ”Кванта” 1992 г.) Круг поделили xордой AB на два круговых сегмента и один из ниx повернули вокруг точки A на неко - торый угол. Пусть при этом повороте точка B перешла в точку D. Докажи- те, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу. 3. (А. Заславский ) (Геометрическая олимпиада им. И. Ф. Шарыгина ) На описанной окружности треугольника ABC взяты точки A 1 , B 1 , C 1 так, что AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке. При отражении A 1 , B 1 , C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно получаются точки A 2 , B 2 , C 2 . Докажите, что треугольники A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 подобны
4. Через вершину A треугольника ABC проведены прямые l1 и l2, симметричные относительно биссектрисы угла A. Докажите, что проекции точек B и C на l1 и l2 соответственно, середина стороны BC и основание высоты, опущенной из вершины A, лежат на одной окружности. 5. Во вписанном четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E, K и M —середины сторон AB и CD, L и N — проекции E на BC и AD. Докажите, что KMLN.
Вывод Теорему приписывают Наполеону, хотя впервые она была опубликована У.Резерфордом в 1825 году. Теорема вполне могла быть сформулирована если не самим Наполеоном, то кем-то из его ученых. Известно, что сам Наполеон был отличным артиллеристом и широко привлекал ученых к решению различных прикладных задач.
Список литературы 1 Ришелье. Оливер Кромвель. Наполеон I . Князь Бисмарк: Биогр . Р 57 очерки. - М.: Республика, 1994.-320 с.: ил. 2.Энциклопедический словарь юного математика, 2-е изд., исп.и доп./Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.-352 с.: ил., стр 298. 3.Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д.И. — Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина - М.: МЦНМО , 2007 г.- 152 с. 4.Задача Наполеона. Квант, № 6, 1972, Березин В.Н. http://napaleon.ru/napoleon 5.Е. Андреева «Головоломка Наполеона» http://jtdigest.narod.ru/dig2_02/napol.htm 6.Н.Н.Никитин, Г.Г.Маслова. Сборник задач по геометрии. Задача № 31. http://oldskola1.narod.ru/NiktinZ/d05.htm 7.Теорема Тебо 1. http :// ru . wikipedia . org / wiki /% D 2% E 5% EE % F 0% E 5% EC % E 0_% D 2% E 5% E 1% EE 8.Анимация теоремы Наполеона http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/02b7798e-607d-88ff-f603-9526ec4cf0bb/napoleon.html 9. Задача/Теорема Наполеона http://webgrossmeister.dreamwidth.org/5035.html 10. Задача о квадрате, вписанном в окружность. http://uchinfo.com.ua/zadachi/zadachi3.htm
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."
Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...
Урок геометриии в 9 классе по теме «Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов»
Целью урока является изучение теоремы косинусов и её следствий, формирование у учащихся навыков решения задач по данной те...
Геометрия 8 класс. Теорема, обратная теореме Пифогора
Конспект урока по геометрии в 8 классе на тему: "Теорема, обратная теореме Пифагора"...
Теорема Эйлера и правильные многогранники. Применение теоремы Эйлера к решению задач.
Контингент: 10 классЦель:Изучить классификацию правильных многогранников и их свойстваПроанализировать связь геометрии, теории чисел и алгебрыПрименять теорему Эйлера к решению задачРазвить представле...
Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме Виета
В данной публикации рассматривается метод быстрого решения квадратных уравнений общего вида. Дан алгоритм решения и метод краткости рассуждений. - Наличие своих технологических "находок"....
теорема Наполеона 5.06.2013
исследовательская работа содержит доказательство теоремы Наполеона, её применение, содержит задачи, решаемые с помощью этой теоремы...
"Наполеон А.Болконского и Наполеон Р.Раскольникова" (По романам Л.Толстого "Война и мир" и Ф.Достоевского "Преступление и наказание")
Разработка урока литературы для 10 класса...