Урок геометрии 11 класс Объем прямоугольного параллелепипеда
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Тема: « Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда»

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник; сформировать умение применять данный материал при решении задач.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Сообщение темы и целей урока, актуальность данной темы

Актуализация знаний

Что называется параллелепипедом? прямоугольным параллелепипедом? Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете?

III.     Объяснение нового материала

1) Понятие объема тела

Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие объема. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.

2) Единицы измерения объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:

Бушель – 36,4 дм3

Галлон – 4,5 дм3

Баррель (сухой) – 115,628 дм3

Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3

Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3.

В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. ( Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:

Ведро – 12 дм3 

Бочка – 490 дм3

Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок

Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика

Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.

Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам нужны единицы объемов. Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см2). Аналогично, за 1см3 принимаем куб с ребром 1 см. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

3) Свойства объемов

Аналогичны свойствам площадей в планиметрии.

Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).

Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.

Объем куба с ребром а равен а3.

4) Объем прямоугольного параллелепипеда

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя следующую теорему ( давно знакомая вам формула,  попробуйте сформулировать эту теорему):

Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.      

                                                   V = abc

5) Следствия

Рассмотрим следствия из данной теоремы

 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

IV. Закрепление

Учащиеся получают модели прямоугольных параллелепипедов, нужно выполнить нужные измерения,  вычислить диагональ и объем  данного параллелепипеда.

Решение задач

Задача 1

Сколько пакетов с соком войдет в коробку?

Задача 2

Найдите объем тела:

Задача 3

     Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?

Задача 4

     За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см3  воздуха. Какой объем воздуха ( в литрах) проходит через легкие человека за сутки?

Задача 5

      Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?

Физкультминутка

Выполним следующие упражнения для глаз

1) вертикальные движения глаз вверх-вниз;

2) горизонтальное вправо-влево;

3) вращение глазами по часовой стрелке и против;

4) необходимо мысленно раскрасить этот экран поочерёдно любым цветом: например, сначала жёлтым, потом оранжевым, зелёным, синим, но закончить раскрашивание нужно самым любимым цветом;

Упражнения для формирования правильной осанки (“Вверх рука и вниз рука”) и дыхательная гимнастика:

Вверх рука и вниз рука.

Потянули их слегка.

Быстро поменяли руки!

Нам сегодня не до скуки.

(Одна прямая рука вверх, другая вниз, рывком менять руки.)

Приседание с хлопками:

Вниз – хлопок и вверх – хлопок.

Ноги, руки разминаем,

Точно знаем – будет прок.

(Приседания, хлопки в ладоши над головой.)

Крутим-вертим головой,

Разминаем шею. Стой!

(Вращение головой вправо и влево.)

И на месте мы шагаем,

Ноги выше поднимаем.

(Ходьба на месте, высоко поднимая колени.)

Потянулись, растянулись

Вверх и в стороны, вперёд.

(Потягивания – руки вверх, в стороны, вперёд.)

И за парты все вернулись –

Вновь урок у нас идёт.

(Дети садятся за парты.)

Прежде чем сесть на свои места,  восстановим дыхание: 8 вдохов и 8 выдохов. А теперь садитесь и посчитайте: какой объем воздуха ( в литрах) прошел сейчас через ваши легкие?

№ 650. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Учащиеся решают данную задачу на листочках, затем в рабочую тетрадь записывают только ответ, а листок с решением сдают учителю. После этого решение с ответом отображается на экране, учащиеся проверяют свое решение и ответ.

№ 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45°с боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.

Учащиеся на местах обдумывают решение, затем один выходит к доске и демонстрирует решение.

V. Итог урока

Что такое объем тела? Какие единицы измерения вы знаете? Какие свойства объема вы знаете? Сформулируйте теорему о объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.

VI. Домашнее задание 

п. 63, п. 64

№648, №649(А)

№657, №658(В)

Дополнительное задание(по желанию)

    !Придумать задачу с практическим содержанием на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, решить ее.

    ! Сделать модель прямоугольного параллелепипеда, найти его длину, ширину, высоту, диагональ, объем