История знаменитой теоремы
творческая работа учащихся по геометрии (6 класс) по теме

История знаменитой теоремы

Актуальность: по выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «кол лекция» содержит около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и интересна людям до сих пор.

Новизна: в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практичес ком применении  и наглядности теоремы Пифагора не рассматривается.

Изучая дополнительную литературу по выбранной теме, были  выдвинуты гипотезы:

Все достижения в области математики вытекают из практических потребностей.  Потом происходит систематизация накопленных знаний и как следствие их развитие.

При изучении истории египетских пирамид, меня заинтересовали математические знания, которые использовали египтяне, в частности применение «египетского треугольника» при построении прямого угла. Я пришел к выводу, что с этого треугольника началась история теоремы Пифагора, которую я решил проследить. Я предположил, что существуют различные интерпретации теоремы Пифагора. Одна из них заключается в том, что соотношение для площадей квадратов сохранится при замене квадратов любыми подобными фигурами. Я самостоятельно доказал теорему. Сделал предположение о существовании формул, с помощью которых можно вычислить «Пифагоровы тройки». Я постарался найти примеры более широкого применения теоремы, например, при вычислении длины спирали.  

Задачи:

1. Самостоятельно доказать теорему Пифагора
2. Вывести формулы с помощью которых можно находить Пифагоровы тройки.

3.        Наглядно проиллюстрировать доказательство теоремы Пифагора.

4.        Доказать, что соотноше ния для площадей сформулированные в теореме  Пифагора - сохраняются при замене квадратов любыми подобными фигурами

5.        Рассмотреть практическое применение теоремы Пифагора.

Цель: самостоятельно доказать и наглядно проиллюстрировать теорему Пифагора, доказать тот факт, что соотноше ния для площадей сформулирован ные в теореме  Пифагора − сохраняются при замене квадратов любыми подоб ными фигурами, а также выяснить области применения теоремы Пифагора.

Хотелось бы начать с того, что этот доклад является продолжением доклада «Тайны египетской математики», подготовленного в прошлом году.

 Этот доклад был посвящен математическим знаниям, используемым при строительстве пирамид, и во время изучения этой темы меня впервые и заинтересовала теорема  Пифагора.

С греческих учёных началась «настоящая математика». Они очень любили спорить. Считали, что спор помогает найти самое правильное решение «в споре рождается истина». Они не просто заучивали правила, а доискивались причин: почему правильно делать так, а не иначе?

Пифагор верил, что всё на свете связано с числами. Поэтому он и его последователи счи тали, что, изучая свойства чисел, можно разга дать все тайны мироздания.  Теорема – это уже не правило, а закон.

Школа Пифагора много сделала, чтобы  придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Тайны Природы запечатлены в геометрических фигурах и числах – символах. Некоторые из них принесены с Востока Пифагором. Его знаменитый «Треугольник» (Тетрактис), вместе с «Квадратом» (Тетраграмматоном) и Кругом (Беспредельной Бесконечностью).

Существует более 100 различных доказательств теоремы Пифагора.

Мы представляем два из них.

«Квадрат гипотенузы  равен сумме квадратов катетов».

с2 = а2 + b2 

Мы  самостоятельно доказали теорему Пифагора.

1. Доказательство

Одно из них основано на том, что прямоугольный треугольник помещен на координатную плоскость и с использованием координат точек вычисляют теорему Пифагора.

 Прямоугольный треугольник помещаем в прямоугольную координатную плоскость следующим образом.

Один катет совпадает с осью x, другой осью y. Вершина  А(а;0) ; В(0;b)

Расстояние между точками   (-а)2 = а2

AB2 = (x2-x1)2 + (y2 –y1)2

AB2 = (0 - a)2 + (b - 0)2

AB2 = a2 + b2

с2 = а2 + b2

2. Доказательство

Во втором доказательстве в большой квадрат помещают 1 маленький квадрат и 4-е прямоугольных треугольника (рисунок 2).

Площадь квадрата ABCD

S = c²

S = 4 × ½ ab + (a - b)² =

= 2ab + a² – 2ab + b² = a² + b²

c² = a² + b²

Рис.2

Рис.2

Далее мы выяснили, что числа которые удовлетворяют  равенству   с2 = а2 + b2 , называют «Пифагоровы тройки».

3, 4, 5        52 = 32 + 42   (25=9+16)

6, 8, 10      102 = 62 + 82  (100 = 36+64)

9, 12, 15    152 = 92 + 122    (225=144+81)

Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Гипотенуза является диаметром окружности. Все треугольники со сторонами к5; к3; к4 – впишем в окружности. Получится эффект «сигнальных лампочек». Таким образом, все прямоугольные треугольника с пифагоровыми тройками впишем в окружности. В результате образуется конус.

Далее представлен вывод формул.

Исходя из анализа данных, каждый множитель можно представить в виде квадрата

1.   и  2)

Если сложить 1) и 2) выражение, то получим

Если вычесть из 1) выражения  2) выражение, то получим

Мы нашли формулы, с помощью которых можно находить Пифагоровы тройки.

Пифагоровы числа имеют вид

где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа.  

И вывели Таблицу пифагоровых чисел, которая представлена на сайте.

Попробуем наглядно проиллюстрировать знаменитую теорему Пифагора.

Рассмотрим несколько устройств, которые находятся в японском музее.

 - В середине первого устройства — прямоу гольный треугольник, к каждой его стороне прикреплён квадрат. Внутрь налита окрашен ная жидкость.

Когда конструкция поворачивается, жид кость перетекает из двух меньших квадратов в большой (рисунок 2).

Рис.2.

В тот самый момент, когда большой квадрат оказывается наполнен до конца, два других совсем пусты.

Если большой квадрат обозначить через переменную Z. А два других  через переменные X и у. То можно увидеть связь с теоремой Пифагора

X2 + у2 = Z2

Когда жидкость наполняет большой квадрат целиком, маленькие квадраты пусты. Это и подтверждает наглядно знаменитую терему Пифагора.

Посмотрим на следующий рисунок (рисунок 6). Здесь та же картина,  только вместо жидкости между квадратами перемеща ются цветные пластиковые кусочки.

На следующем рисунке показано, каким образом реализовано это разбиение .

Говорят, что Пифагор все это придумал, когда он рассматривал мозаичный пол (Рисунок 3).

Рис.3.

Мы открыли еще один интересный факт!

В центре всех фигур прямоугольные треугольники, а вокруг них произвольные фигуры.

Это может быть полукруг, пятиугольник и даже слон!

Теорему можно обобщить: соотноше ния для площадей сформулиро ванные в теореме  Пифагора - сохраняются при замене квадратов любыми подобными фигурами.

Докажем это.

Вспомним принцип, который действует в копировальной машине, когда она по нашему желанию уменьшает или увеличивает изображение. Допустим, у нас есть фигура с площадью А, и мы хотим, чтобы она была уменьшена на 20 процентов. Тогда полученная фигура будет подобна исходной, а её площадь будет t2A, или (0,8)2А.

Допустим, у нас есть фигура площадью А. Увеличим ее в 3 раза и прикрепим к катету со стороны 3. Ее площадь 32A.

Эту же фигуру увеличим в 4 раза  и прикрепим к катету со стороны 4. Ее площадь 42A. И еще раз увеличим фигуру в 5 раз  и прикрепим к катету со стороны 5. Ее площадь 52A.

Тогда 32 А + 42А = (32 + 42)А = 52A.

25А=25А

На сторонах прямоугольного треуголь ника можно построить фигуры, подобные исходной. Отношение площадей зависит от отношения сторон треу гольника. Теорема Пифагора утверждает, что

X2 + у2 = Z2, если умножить обе части равенства на одно и то же число А, то получим

х2 А + у2А = (х2 + у2)А = z2A.(Рисунок 12)

То есть, каковы бы ни были фигуры на сторонах треугольника, если только они подобны друг другу, а их линейные размеры пропорциональны сторонам треугольника, то сумма площадей фигур на катетах будет равна площади фигуры на гипотенузе.

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вооб ще не может быть указана с достаточной полнотой, вот некоторые из них:

1. теорема Пифагора применятся для вычисления длин отрезков неко торых фигур на плоскости и в пространстве;

2. в строительстве и архитектуре (в некоторых зданий готического и ромaнского стиля);

3. с помощью теоремы Пифагора можно посчитать длину спирали.

Последнюю область применения теоремы рассмотрим более подробно.

В японском музее в зале Пифагора есть еще одно устройство.

В устройстве движутся две игрушечные машинки. Одна ездит вверх и вниз по прямой горке, а другая — по винтообразной горке внутри цилиндра.

Это демонстрация того, как можно изме рить длину спирали. Машинки на чинают съез жать одновременно и двигаются с одинаковой скоростью. Их движение управляется  этим механизмом. Машинки приезжают вниз одновре мен но. Это значит, что длина спирали равна длине этого прямого бруска.

Попробуем представить, что распрямляются витки спирали.  Обозначим высоту цилиндра h, а радиус его основания г. Пусть спираль оборачивается вокруг цилиндра п раз; в нашей модели п=4.

Ширина каждой развернутой секции спи рали равна окружности основания цилиндра. Если составить вместе все развернутые сек ции так, чтобы диагонали образовали прямую, то получится прямоугольный треугольник с ка тетами длины h и п2пг.

Тогда по теоре ме Пифагора длина спирали равна

Проведен практический эксперимент.  

Рассчитана, длинна окружности для цилиндра радиусом R=3,75 см и

высотой h=11 для

Выводы:

Результатом нашей работы является:  

1. приобретение навыка работы с литературными источниками;
2. навык работы с большим объёмом информации, и последующим анализом и систематизации нужной информации;
3. наглядного и доступного объяснения теоремы Пифагора
4. доказательство того факта, что соотноше ния для площадей сформули рованные в теореме  Пифагора – сохра няются при замене квадратов любыми подобными фигурами.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г.И. Глейзер. История математики в школе, М: «Просвещение», 1982 г.
2. Изучаем теорему Пифагора// Математика.- №24. – 2001. –с1-48.
3. Афанасьев В. Продолжение теоремы Пифагора// Математика. - №5. – 1999. –с 22, 23.
4. Волошинов А.В. Союз математики и эстетики.// Математика в школе. - №7. – 2006. – с 62-65.