Применение координатного метода к решению некоторых стереометрических задач.
методическая разработка (геометрия, 11 класс) по теме

Применение координатного метода

к решению некоторых стереометрических задач.

Учитель математики

Ромаданова Татьяна Ильинична

                Предварительно в пространстве вводится декадовая система координат.

1. Определение расстояния между точками А x0; y0; z0 и В (x1; y1; z1).

d= x1-x02+y1-y02+z1-z02

2. Определение угла между прямыми (АВ) и (MN).

a=AB=a1, a2,a3

b=MN=b1, b2,b3

cosφ=abab=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32

3. Определение угла между прямой (АВ) и плоскостью (MNP).

a=AB=a1, a2,a3

b=MN=b1, b2,b3

c=MP=c1, c2,c3

∎ Далее находим нормаль к плоскости (MNP).

N=x,y,z

N⊥bN⊥c⟺0⟺b1x+b2y+b3z=0c1x+c2y+c3y=0         Получим систему из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными. Нам нужно найти её любое (ненулевое) частное решение. Эти значения x, y, z  и  дадут нам координаты N.  

Итак, sinφ=cosα=N*aN*a=x0a1+y0a2+z0a3x02+y02+z02a12+a22+a32

4. Определение угла между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Значит, дважды применяя процедуру, помеченную ∎из п.3, мы получим N1 и N2 – нормали к заданным плоскостям. Тогда cosφ= N1N2N1N2 .

5. Определение расстояния от точки M (m1;m2;m3)до плоскости (α).

Составляем вектор нормаль к (α) по указанной в п.3 процедуре ∎.

Пусть N=A,B,C. Записываем уравнение плоскости (α). Выберем на плоскости (α) точку A (a1;a2;a3). Тогда d= A m1-a1+B m2-a2+C (m3-a3)A2+B2+C2.

6. Определение расстояния между плоскостями (α) и (β) – это расстояние от любой точки плоскости (α) до плоскости (β), т.е. задача сводится к п.5.
7. Определение расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это кратчайшее расстояние между двумя точками, лежащими на данных прямых – это длинна общего перпендикуляра к ним.

Пусть (AB) первая прямая. A (a1, a2,a3)    B (b1, b2,b3).

Тогда AB=b1-a1;b2-a2;b3-a3=α1;α2;α3. Умножим вектор АВ на произвольное число k. Получим вектор ǁ АВ, но произвольной длинны.

 kAB=kα1;kα2;kα3. Если прибавить к координатам точки A координаты вектора kAB, получим координаты точки P a1+kα1;a2+kα2;a3+kα3 «плавающей» по прямой AB. Рассуждая аналогично, находим координаты точки Q,  «плавающей» по прямой MC, где M (m1,m2,m3)  C (c1,c2,c3)

Q (m1+tβ1;m2+tβ2;m3+tβ3). Составим вектор PQ=γ1;γ2;γ3

PQ⊥ABPQ⊥MCЗаписывая условие перпендикулярности векторов, получим систему их 2-х уравнений с 2-мя неизвестными k и t. Определив их, найдем координаты PQ. Очевидно, что искомое расстояние d= PQ.

8. Определение расстояния d от точки до прямой.

Точка M (m1;m2;m3), прямая (AB): A (a1, a2,a3)    B (b1, b2,b3).

M

M

Расстояние от точки до прямой – это высота ∆MAB, где α – угол между AB и AM.α

d=MA*cosαα

d

d

B

B

B

B

A

A