«Колебания математического маятника»-научно-исследовательская работа
проект по физике (8 класс) на тему

IX  ГОРОДСКАЯ ЗАЩИТА

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ, ПРИКЛАДНЫХ И ТВОРЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ

«Я – ТАЛАНТ!»

«Колебания математического маятника»

Исполнитель:

ученица 8 класса МАОУ

гимназия № 37

Кащенко Надежда Михайловна

Руководитель:

учитель физики МАОУ

гимназия № 37

Светлана Геннадьевна  Глушко

г. Екатеринбург

Оглавление

1. Введение……………………….……………………….……………………..3

2. Основная часть ……………………….……………………….…………….6

2.1. Теоретическая часть……………………………………………………….6

2.2. Практическая часть………………………………….……………………11

3. Заключение…………………….………………………………………….…14

4. Список литературы……………………….……………………….……..…17

5. Приложение……………………………………………………………….…18

Введение

Посвящается выдающемуся итальянскому ученому (в области естественных наук) Галилео Галилею ( 1564-1642гг.)

Актуальность темы. Колебательные процессы в природе чрезвычайно разнообразны, реализуясь (при определенных условиях) практически в любых материальных объектах (как органических, так и неорганических). Кроме того, колебательные процессы порождают целый мир волновых явлений, связанных с распространением колебательного процесса в любых материальных средах за счёт взаимодействия структурных элементов среды (атомов и молекул) между собой. Колебания относятся к классу периодических процессов, в которых характер движения повторяется с изменением интервала времени T, называемого периодом колебания. В общем случае характер колебания может быть очень сложным. Однако, надёжную методическую основу для исследования и, соответственно, понимания периодических процессов создаёт изучение простейшего варианта колебаний, малых колебаний механических систем вблизи положений равновесия. Принципиально важно, что малые колебания любых конструкций математически описываются гармоническими функциями (синусами и косинусами). Поэтому гармонический анализ является рабочим инструментом любого конструктора. Знание спектра собственных частот колебаний любых механизмов, машин, сооружений исключительно важно для того, чтобы избежать катастрофических последствий резонансного разрушения в условиях эксплуатации изделий.

Универсальность малых колебаний является одним из ярких физических феноменов и поэтому вполне заслуженно включается в «золотой фонд» науки. Любому исследователю полезно изучить как экспериментально так и теоретически  процессы малых колебаний, убедившись (вслед за первопроходцем науки  Галилео Галилеем ) в справедливости гипотезы о независимости периода малых колебаний от величины их амплитуды (амплитудой называют максимальное отклонение от положения равновесия). Выдвигая эту гипотезу, хочу убедиться в справедливости высказывания Галилея.

Имя великого Галилея (портрет которого приведен на[ рис.1],(приложение 1)  упомянуто не случайно, именно 450-летие со дня его рождения широко отмечается (начиная с 2014 года)  научной общественностью мира.

Поразительно, как много удалось ему совершить (см., например, [1-4]). Достаточно сказать, что принцип относительности, впервые сформулированный Галилеем, входит в качестве основного постулата в специальную теорию относительности , являющуюся неотъемлемой частью современной физики.  С точки зрения истории развития науки, интересно [5], что Галилея побудило к глубоким исследованиям колебаний маятников наблюдения за колебаниями  люстры  в Пизанском Соборе ([рис.2](приложение 1). Эта люстра свисала с потолка на 49-метровом подвесе.

Так как точных приборов для измерения времени тогда ещё не было, в своих опытах Галилей использовал в качестве эталона биение своего сердца. Он опубликовал исследование колебаний маятника и заявил, что период колебаний не зависит от их амплитуды. Так же было обнаружено, что периоды колебаний маятников соотносятся как квадратные корни из его длины. Эти исследования заинтересовали Христиана Гюйгенса (портрет на [рис.3](приложение 2), который первым предложил использовать маятник в качестве эталона для регулирования хода часов и первым создал реально действующий образец таких часов. Пытался создать маятниковые часы и сам Галилей, однако он умер,  не успев закончить эту работу.

Формируем гипотезу: если провести эксперименты, подобные экспериментам Исаака Ньютона (портрет [рис.3](приложение 2), возможно ли получить похожий результат?

Цель работы:

Установить экспериментальным путем независимость периода малых колебаний от амплитуды колебаний на примере  маятника, близкого по своим характеристикам к математическому.

Задачи:

1. Дать определение математического маятника
2. Сформулировать последовательность экспериментальных исследований
3.  Изготовить (в домашних условиях) модель математического маятника
4.  Подготовить необходимый набор приборов для измерений
5. Выполнить измерения периода колебаний маятников с разными массами, амплитудами колебаний и длинами нитей подвеса
6. Провести обработку результатов измерений и сделать выводы

Объект исследования: модель математического маятника

Методы исследования: 

• Теоретические (теоретический анализ и обобщение специализированной литературы)
• Эмпирические (проведение экспериментов)

Основная часть

Теоретическая часть

Определение математического маятника

Исходя из заявленной темы исследовательской работы «Колебания математического маятника», считаем необходимым остановиться вначале на устройстве, которое непосредственно является  так называемым математическим маятником.

Математическим маятником называют материальную точку с массой m, подвешенную на тонкой нерастяжимой невесомой  нити (или невесомом стержне), колеблющуюся в поле тяготения Земли. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Заметим, что в положении равновесия ( нить расположена вертикально) сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити.

 При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется  сила, направленная в сторону, противоположную отклонению маятника. Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности. Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего одна степень свободы.

Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы. Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

 • Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза. • Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам.

Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки  к гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» - время, «изос» - равный). 

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением: x + ω2 sin x = 0, где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес). Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так: x + ω2 sin x = 0. 

Маятник, в процессе совершения колебаний движется по сепаратрисе. Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение. Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π, это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение. При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L.

Второй закон Исаака Ньютона, предназначенный для проекций вектора ускорения и силы, даст искомое значение: mg τ = Fτ = –mg sin x/L Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L. Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15–20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим. 

Практическое применение математического маятника.

Ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы. 

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека.

Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей. 

Схематическое изображение маятника можно увидеть на [рис.5](приложение 3)

На рисунке 4(приложение 1) угол  θ0   задаёт начальное отклонение маятника от положения равновесия,  y0 соответствует проекции линии подвеса на вертикальную ось координат;  y1 соответствует ориентации линии подвеса в положении равновесия ;  h соответствует высоте подъёма маятника в поле тяжести Земли;  угол θ соответствует промежуточному положению маятника  (между начальным и равновесным).

Основная часть

Практическая часть

План подготовки и проведения опытов

1. Изготовление маятника.

2. Подбор  измерительных приборов.

3. Измерения масс маятников , длин нитей подвеса и периодов колебаний.

4. Исследование  зависимости периодов колебаний от масс маятников .

5. Исследование  зависимости периодов колебаний от амплитуд.

6. Исследование  зависимости периодов колебаний от длин нитей подвеса.

Изготовление модели математического маятника

Ясно, что определение математического маятника относится к идеальному объекту. Моделирование подобного объекта выполняется с использованием массы, локализованной в объёме, размеры которого малы по сравнению с длиной нити (стержня) подвеса, а масса велика по сравнению с массой нити (стержня) подвеса. В связи с этим, колеблющаяся масса в модели математического маятника выбиралась в форме шара с диаметром малым по сравнению с длиной нити подвеса.

          В домашних условиях в качестве материалов для изготовления маятника использовались : пластилин, нитки, гвоздь (как ось для крепления нити).

Выполняемые действия:

1.Из пластилина скатывали шарики разных радиусов R (и масс m).

2.От катушки с нитками отмерялись и отрезались нити с длинами l1≈120см и l2≈52см.

3.На одном конце нити завязывали узел, вставляли этот конец в углубление в пластилиновом шарике и запрессовывали (сжимали пальцами).

4.Свободный конец нити привязывался к гвоздю, который вставлялся в щель между верхней частью двери и дверным проёмом.

 Выполнялось условие: R<< l1, l2. Это условие гарантирует применимость изготовленной  модели для изучения колебаний математического маятника.

Измерительные приборы

1. Измерение длин l нитей подвеса проводилось при помощи рулетки с точностью ∆ l=±0,5см.

2. Измерение масс шариков проводилось при помощи бытовых весов с точностью  ∆ m=±0,5г.

3.  Измерение времени колебаний проводилось при помощи секундомера сотового телефона с точностью ∆t= ± 0,1c.

Демонстрация материалов и измерительных приборов можно увидеть на [рис.6](приложение 3)

Приведённое фото соответствует началу выполнения работы

Измерения периодов колебаний маятников

Для измерения периодов колебаний маятников шарик отклоняли от положения равновесия и отпускали, включая одновременно секундомер.

Отсчитывали 20 колебаний, останавливали секундомер и записывали время τ для 20 колебаний.

Период Т находили делением τ на 20:

Т= τ / 20.                                         (1)

Маятник  изготавливают с длиной нити подвеса l =l1≈120см и устанавливают в положении равновесия.

Измерение периодов колебаний маятников

 Исследование  зависимости периодов колебаний от масс маятников

Для двух шариков с массами m1 = 6г и m2 = 14г при l =l1≈120см два раза измеряли продолжительности τ1 и τ2 для 20 колебаний. Оказалось, что τ1= τ2 ≈ 44с , то есть период колебаний от массы маятника не зависит и, в соответствии с формулой (1), равен

  Т1 ≈ 2,2с .

Исследование  зависимости периодов колебаний от амплитуд

При небольших отклонениях от положения равновесия на углы θ0≈50, 100 , 200 , 300 измеренный период не зависит от θ0 , то есть от амплитуды  колебаний  маятника (в пределах  точности измерения времени ∆t = ± 0,1 секунды).

 Для  демонстрации измерения периода колебаний маятника при l =l2≈52см

маятник  изготавливают и устанавливают в положении равновесия.

Итоги исследования  зависимости периодов колебаний от длин нитей подвеса

Изменение длины нити подвеса приводит к изменению периода колебаний.

Например, для длины  l2≈52см время 20 колебаний τ2 ≈ 29,2с, то есть период колебаний  уменьшился по сравнению с Т1 ≈ 2,2 с  и стал равен

Т2  ≈29,2/20 =1,46с.

Легко проверить, что

Т12 /Т22 ≈2,3 ≈ l1 / l2                         (2)

Таким образом, используя простейший набор исходных материалов и легкодоступных инструментов для измерения, можно получить зависимости, составляющие фундамент физики колебаний [6].

Заключение

Целью  исследовательской работы  было, доказать, что возможно сделать и испытать  маятник, близкий по своим характеристикам к математическому маятнику, в домашних условиях.

Проведение эксперимента подтвердило, независимость периода малых колебаний от амплитуды колебаний на примере  маятника, близкого по своим характеристикам к математическому.

Нужно признать, что:

1) период колебаний Т не зависит от массы m маятника;

2) при небольших отклонениях от положения равновесия период не зависит от амплитуды  колебаний  маятника (в пределах  точности измерения времени ∆t = ± 0,1 секунды);

3) период колебаний Т зависит от длины нити l подвеса маятника, причем квадрат периода Т2 пропорционален длине нити подвеса l . Это означает, что выполняется равенство:

Т2  = С l,                                         (3)

где С- постоянная, имеющая физическую размерность [С] = c2 /м. Из наших измерений следует, что С= Т2 / l ≈4,84  /1,2 ≈4 c2 /м.

4) Постоянная С обратно пропорциональна важной физической величине- ускорению свободного падения тел вблизи поверхности Земли.

И еще одно обстоятельство, на которое  хотелось  бы  обратить внимание, это то, что не смотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений:

1. Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой  периодической  вынуждающей силы система демонстрирует  хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой  хаос возникает под действием периодического возмущения.
2. Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
3. В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

Интереснейшим фактом является то, что известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией». 

 В заключении можно сказать, что изготовление собственными руками устройства несет минимальные денежные затраты и приносит огромную моральную удовлетворенность как в самом процессе изготовления, так и в процессе воспроизведения.

В процессе работы были проведены:

• Анализ литературы по теме маятник
• Изучение принципа работы математического  маятника
• Изучение физических законов, позволяющих маятнику колебаться
• Ознакомление с устройством маятника

Благодаря вышеперечисленным работам было проведено практическое подтверждение ранее заявленной цели.

        Эта тема актуальна, так как может пригодиться мне для дальнейшего изучения физических процессов и их применения на практике и создания новых научно-исследовательских проектов.

Список литературы

1. Кузнецов Б.Г. «Галилей». (Научно-биографическая серия) (М.: Наука, 1964) 328 с. ( http://www.ozon.ru/context/detail/id/2686031/)
2. Крылов А. Н. «Очерк истории установления основных начал механики» УФН 2 143–161(1921).
3. Фок В. А. «Принципы механики Галилея и теория Эйнштейна» УФН 83 577–582 (1964). (К 450-летию со дня рождения Галилео Галилея). [Fock V A «Galileo’s principles of mechanics and einstein’s theory» Sov. Phys. Usp. 7 592–595 (1965). (On the 400th anniversary of the birth of Galileo Galilei).]
4. Вавилов С. И. «Галилей в истории оптики» УФН 83 583–615 (1964). (К 450-летию со дня рождения Галилео Галилея). [Vavilov S I «Galileo in the history of optics» Sov. Phys. Usp. 7596–616 (1965). (On the 400th anniversary of the birth of Galileo Galilei).]
5. http://fizika-for-all.blogspot.ru/2012/12/blog-post_20.html
6. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и моллекулярная физика. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,1969. 400 с.

        Приложение 1

Рис. 1. Портрет Галилео Галилея

Рис. 2. Пизанский собор

        Приложение 2

Рис. 3.Портрет Исаака Ньютона

Рис. 4. Портрет Христиана  Гюгенса

        Приложение 3

Рис.5. Различные положения маятника.

Рис.6. Демонстрация материалов и измерительных приборов