Применение теоремы Гаусса в электростатике
статья по физике (10 класс) по теме

Применение теоремы Гаусса в электростатике

Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики

Статья относится к разделу : преподавание физики

Цели:

1. Образовательная.  Познакомить учащихся с теоремой Гаусса. Показать ее применение для заряженных тел с простой геометрией (плоскость, сфера, нить, шар, цилиндр), а также для решения задач
2. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических цепей.
3. Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить формирование коммуникативных умений.

Вид урока: Практикум по решению задач

        В школе теорема Гаусса в разделе электростатика изучалась, смотри, например [1]. Поэтому просто вспомним ее формулировку [2]:

Поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

ΦD=SDdS=SDndS=i=1nQi.                                                 (1)

Не пугайтесь этой сложной записи. Значок   означает интеграл по замкнутой поверхности. Элемент dS=ndS- элементарная площадка на выбранной замкнутой поверхности, n – нормаль к этой площадке. Произведение DdS-  это скалярное произведение, равное DdScosα, где α- угол между вектором смещения D и нормалью к поверхности. Взаимосвязь векторов смещения и напряженности электрического поля имеет вид

D=ε0εE.                                             (2)  

Отметим, что полный поток вектора смещения сквозь замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, или равен нулю, когда заряд вне ее. Рассмотрим простейший пример с точечным зарядом q0. Применим теорему Гаусса для простейшего случая: точечного электрического заряда q0. Найдем вектор смещения на расстоянии r от заряда. Так как симметрия точечная, то в качестве замкнутой поверхности выберем сферу радиусом r с центром в точке, в которой находится заряд. Векторы D и dS коллинеарны, тогда DdS=DdScos00=DdS. По формуле (1) получим:

ΦD=DdS=DdS=D4πr2=q0. 

C учетом (2)

E=q04πE0Er2=kq0r2. Правда, знакомая формула. Из приведенного примера видно, что важно выбрать поверхность, сквозь которую находим поток вектора смещения. Если будем эту сферу стягивать в точку (наш заряд точечный), где находится заряд, то поток вектора D при этом не меняется и равен q0. Если же стягивать эту поверхность к любой другой точке, то рано или поздно заряд окажется вне этой поверхности, и полный поток вектора D сквозь нее станет равным нулю. Это доказывает, что источником поля является заряд (или система зарядов).

В качестве примера применения данной теоремы вычислим напряженность поля заряженной бесконечной плоскости. Выражение этой напряженности часто используется в задачах ЕГЭ. В этом случае замкнутую поверхность удобно выбрать в виде цилиндра. Электрическое поле этой плоскости однородное, а силовые линии перпендикулярны к плоскости, а это значит, что поток сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю.

Полный поток только через два основания цилиндра

ΦD=2DSосн=q, 

откуда D=q2Sосн=σ2,  где σ=qSосн- поверхностная плотность заряда (Кл / м2). Для напряженности электрического поля получим (2):

E=σ2εε0.                                     (3)

Здесь ε- диэлектрическая проницаемость среды. Если заряженная пластина конечных размеров, то электрическое поле становится неоднородным, интеграл можно написать, но вычислить его будет невозможно. Формула (3) будет приближенной, если расстояние от точки наблюдения до плоскости много меньше расстояния от нее до всех границ этой плоскости.

Рассмотрим еще пример, который часто встречается в решении задач.

Пример 1. Вычислить напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности радиусом R, если заряд на поверхности сферы равен Q [3]. 

Выберем замкнутую поверхность в виде сферы радиусом r≥R. Поток вектора D сквозь выбранную поверхность есть

ΦD=DS=D∙4πr2=Q, 

отсюда D=Q4πr2, а напряженность поля E=Q4πε0εr2. 

Если провести сферу радиусом r, то D=0, а значит и E=0. То есть внутри заряженной сферической поверхности поле отсутствует. Тоже самое для заряженного металлического шара.

Пример 2. Металлический шар с зарядом Q окружен концентрическим шаровым слоем однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Определите поверхностные плотности σ1' и σ2' связанных зарядов на внутренней и внешней поверхности диэлектрика; радиусы этих поверхностей равны R1 и R2 соответственно[4].

Поверхностную плотность связанных зарядов найдем по изменению нормальной составляющей напряженности электрического поля. Как следует из теоремы Гаусса, записанной для вектора E, в диэлектрической среде нормальная составляющая E терпит разрыв (скачок) на любой заряженной поверхности:

∆En=En2-En1=(σ+σ')ε0,                              (1)

Где σ и σ'-  поверхностная плотность свободных и связанных зарядов соответственно. На поверхности R1 ∆En=ErR1+0-ErR1-0=kQεR12.  Здесь Er=kQεr2 при R1 Поверхностная плотность свободных зарядов σ=Q(4πR12). В соответствии с (1) запишем

kQεR12=1ε0(Q4πR12+σ1'),

откуда

σ1'=Q4πR121ε-1.                                                                                                 (2)

На поверхности R2 

∆En=RrR2+0-ErR2-0=kQR221-1ε. 

Свободных зарядов на этой поверхности нет, тогда

σ2'=Q4πR221-1ε.                                                                                                 (3)  

Выражения (1) и (2) являются ответами.

Пример 3. Найдем напряженность электрического поля равномерно заряженной тонкой нити бесконечной длины от расстояния r до оси нити. Линейная плотность заряда нити равна τ. 

Исходя из симметрии задачи, выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра  образующей h. Поток линий вектора напряженности E (или вектора смещения D) будет только через боковую поверхность (нить бесконечно длинная) и поле радиальное. Основания цилиндра вырезают нить длиной h, тогда ее заряд равен q=τh. Боковая поверхность цилиндра равна S=2πrh. Применим теорему Гаусса

ΦE=E2πrh=qε0=τhε0, 

откуда E=τ2πε0r, видим, что напряженность убывает обратно пропорционально расстоянию от нити.

Список цитируемой литературы

1. Физика. Учебное пособие для 10 кл. шк. И классов с углубл. изуч. физики / Ю. И. Дик, О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов и др.; Под ред. А. А. Пинского. – М.: Просвещение, 1993. – 416с.
2. Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 735 с.
3. Готовимся к единому государственному экзамену. Физика / А. Н. Москалев, Г. А. Никулова. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 224 с.
4. Зорин Н. И. Элективный курс «Методы решения физических задач»: 10-11 классы. – M.: ВАКО, 2007. – 336 с.