"Золотое сечение - соотношение гармонии и красоты"
творческая работа учащихся по естествознанию (6 класс) по теме

Информационная страница

МОУ «Барашевская средняя общеобразовательная школа»

Директор: Кошелева Татьяна Владимировна

431200

ул. Московская,2

т. (883446)2-73-69  

Девятаев Олег, 12 лет, 6 класс

Ул. Ново – Школьная, д.1, кВ.18

Т. 8(83446)2-75-06

Руководитель: Лаврентьева Ольга Ефимовна

Учитель математики, МОУ «Барашевская  СОШ»                                                                                                                                            

Содержание

1. Введение.
2. Золотое сечение в математике.
3. Золотое сечение в природе.
4. Человек и законы пропорции.
5. Вывод
6. Библиографический список

Введение

Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них – теорема Пифагора,
другое - деление отрезка в среднем
и крайнем отношении.^[1] 

                                             И. Кеплер

Окружающий нас мир многообразен…Мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Одним из таких математических соотношений, где ощущается гармония и красота является «золотое сечение». О «золотом сечении» знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае^[2]. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но мы видим эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна. Изучая различную научную литературу, я пришел к выводу, что «золотое сечение» перестало быть сокровищем одной лишь геометрии. Все это побудило  меня исследовать «золотую пропорцию» как универсальную мировую константу.

Цель исследования: поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях живой природы и в моем окружении.

Задачи:

1. Изучить необходимую литературу по данной теме;
2. Рассмотреть использование «золотой пропорции» в живой природе;
3. Выявить проявления «золотой пропорции» и ее производных в моем окружении.

Предмет исследования: «золотая пропорция».

Гипотеза: установить действительно ли «золотая пропорция» встречается в мире живой и природы и является соотношением красоты и гармонии.

          Методы работы:

1. Поисковый
2. Исследовательский
3. Наглядный
4. Эксперимент
5. Наблюдения

Актуальность исследования «золотой пропорции» я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности  высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии.

Золотое сечение в математике.

Изучив необходимую литературу по данной теме, я познакомился с понятием пропорция. В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений^[3]:

                                a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Это и  есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи.^[4] В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему   a : b = b : c или с : b = b : а.

Меня заинтересовал вопрос, как разделить отрезок в золотом отношении? Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её геометрически.  На отрезке АВ построен квадрат АВСD. Требуется найти точку Y, делящую АВ в среднем отношении. Соединим точку Е – середину АС – с точкой В. На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок ЕJ = ВЕ. На отрезке AJ построим квадрат AJHY. т. Y делит отрезок АВ в среднем отношении.

Метод деления отрезка в золотом отношении я нашел в журнале «Математика в школе»^[5]. Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Мне стало интересно, есть ли среди геометрических фигур такие, которые дают представление о золотом отношении. Оказывается, существует так называемый золотой треугольник. Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется золотым прямоугольником. Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров близки по размерам к золотому прямоугольнику. Возьмём, например, наш учебник математики. Найдем отношение ширины к длине. Получившееся отношение равно φ ≈ 0,666…

Затем я продолжил работу с золотым прямоугольником.

В нём построил квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получил золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построил квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произвел несколько аналогичных построений. Заметил, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединил противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Получил кривую, которая является золотой спиралью. Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.  

Золотое сечение в природе

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности^[6]. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы^[7]. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по "золотым" спиралям, завивающимся навстречу друг другу. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Человек и законы пропорции.

Уже тысячелетия люди пытаются найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего человека хорошо сложенного, гармоничного, длина тела должна быть равной восьми размеров головы. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования»^[8]. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья, кисти и пальцев. Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это отношение равно золотой пропорции. Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а длина всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции. Но  самым  удивительным, пожалуй, является  то, что точка, питающая  новую жизнь,—пуп  человека—делит  тело  человека  в  золотом  сечении.

Справедливость этой теории я проверил, выполнив необходимые измерения. Для этого я измерил параметры тела и лица одиннадцати человек. Среди них были люди разных возрастов и пола.

Результаты измерений

Тело: 1 – расстояние от корней волос до пупа;   2 – расстояние от пупа до пят ( в см)

Лицо:  1 – высота лица; 2 – от бровей до нижней точки подбородка; 3 – от нижней части носа до нижней части подбородка; 4 –  от уголка губ до нижней части подбородка ( в см). У троих из 11 человек отношение частей тела ≈ 1,62, также наблюдается  пропорция золотого сечения лица.

Эксперимент.

 Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот человек  подходит к пустой скамейке и садится на нее. Где он  сядет — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Он сядет так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно его тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, человек производит «золотое сечение». Я провел несколько экспериментов среди своих одноклассников: предложил присесть на скамейку, 7 человек из десяти присели так, что отношение одной части скамейки к другой было равно примерно 1,62. Затем я раздал им чистые листочки и предложил нарисовать прямоугольник. Шесть человек из 10 построили прямоугольник, у которого отношение большей стороны к меньшей было равно 1, 6.

Вывод

В результате моего исследования я выявил, что «золотое сечение» встречается в живой природе и в моем окружении и сделал вывод:

-  28 % обследуемых подтвердили гармонию красоты своего тела;

- 70% участников эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции «золотого отрезка»;

- 60% участников эксперимента построили «золотые прямоугольники»;

-  винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусах подчиняется законам золотого сечения;

В ходе работы гипотеза о том, что «золотая пропорция» встречается в мире живой  природы и является соотношением красоты и гармонии нашла свое подтверждение.

Библиографический список

1. Журнал «Квант», 1973 г., №8
2. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин, За страницами учебника математики, 1989 г.
3. Энциклопедический словарь юного математика, 1989 г.
4. Журнал «Наука и жизнь» №1, 2003 г.
5. Журнал «Математика в школе», 1994,№2, №3
6. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. - Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии.
7. Н.Н. Васютинский, Золотая пропорция, 1990 г.