Элективный курс "Решение уравнений и неравенств спараметрами"
элективный курс (11 класс) на тему

Элективный курс для 10 -11 класса

«Методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьника, но их решение вызывает у них значительные затруднения . Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

            В средней школе недостаточно рассматриваются уравнения с параметрами. Но с понятием параметра ( не употребляя этот термин) встречаются начиная с 7 класса., когда изучают линейное уравнение вида  ах=b , и в 8классе при изучении квадратичного уравнения ax2+bx+c=0.

             Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, но он часто встречается на выпускных  экзаменах по математике. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью близкой к исследовательской.. Это обусловлено тем ,что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень  сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении  их  используются не только типовые алгоритмы, но и нестандартные методы , упрощающие решение. В связи с этим ,на первых порах  при работе над этой темой ученика предлагаются простые решаемые по алгоритму задачи, с последующим усложнением задач.

             Курс построен как углубленное изучение вопроса и является развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающей научно- теоретическое и алгоритмическое мышление и направлено на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

 Тематика задач не выходит за рамки основного курса , но уровень их трудности повышенный.

Программа

элективного курса по математике

 « Методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Для учащихся 10-11 классов 68часов.

1. Аналитичеккие методы решения основных задач        26ч 

2. Квадратичная функция                                           10

3. Применений производной                                        10
4. Графические приемы                                              8
5. Свойства функций в задачах с параметрами              6

6. Методы поиска необходимых условий.                       7

Изучение элективного курса направлено на достижение следующих целей:

1. Углубить и расширить знания методов и приемов  к решению задач с параметрами
2. Продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся, формированию определенного уровня абстрактного и логического мышления
3. Сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как о задачах исследовательского характера ,показать их многообразие
4. Перспективные возможности успешного усвоения курса математики в высших  учебных заведениях

Достижение поставленных целей возможно через решение задач с параметрами , что позволяет поставить следующие основные  задачи:

1. Обеспечение  прочного и осознанного овладения учащимися системой математических  знаний и умений при  решении задач с параметрами;
2. Формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной математической деятельности;
3. Обеспечение математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания математического образования в технических вузах .

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения курса учащиеся должны знать

            Определение уравнения содержащего параметр, принципы решения уравнений и неравенств содержащих параметр, аналитические и графические методы решения задач с параметрами:

Уметь:

             Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами, решать иррациональные, логарифмические, показательные,  тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами как аналитически, так и графически, применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.

Тематическое планирование учебного материала

10класс 34 часа  (1 час в неделю)

Тематическое планирование учебного материала

11класс 34 часа  (1 час в неделю)

Ожидаемые результаты

Главная задача, которую должны усвоить учащиеся, что уравнения и неравенства с параметром – это семейство уравнений или неравенств определяемых параметром . Отсюда вытекает способ решения : в зависимости от структуры уравнения или неравенства выделяются подмножества , множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения или множество решений неравенства. Этот смысл доводиться до сознания учащихся путем рассмотрения конкретных примеров уравнений и неравенств с параметрами.

Элективный курс "Параметры в школьном курсе математики"

Актуальность и перспективность опыта, его практическая значимость

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета и подготовки учащихся к продолжению образования.

Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Новизна опыта

Разработана и апробирована программа элективного курса. Систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Результативность

Учащиеся более уверенно решают нестандартные задачи, задачи с параметрами. Повысилось качество подготовки учащихся к итоговой аттестации и к сдаче ЕГЭ.

Адресная направленность

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузы.

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Принятая в Концепции гибкая система профильного обучения предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, осваиваемых старшеклассниками. Эта система включает в себя курсы трех типов: базовые общеобразовательные; профильные общеобразовательные; элективные.

Единый государственный экзамен-это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник.
Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в вузы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов.

Можно привести один из главных выводов эксперимента с ЕГЭ «Впервые за сто лет в России появился объективный и абсолютно прозрачный механизм оценки знаний школьников».
Особое внимание при повторении следует обратить на задачи, содержащие модуль и параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами и модулями не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами и модулями учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение задач с параметрами».

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся.

Разработанный курс направлен на решение следующих задач:

1. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
2. Выявление и развитие их математических способностей;
3. Подготовка к ЕГЭ и к обучению в вузе

Пояснительная записка

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.
2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы
3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащийся должен:

1. усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами;
2. применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
3. проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
4. овладеть исследовательской деятельностью.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

1. Первоначальные сведения. 2ч
2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
4. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
5. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
6. * Тригонометрия и параметры. 2ч
   Иррациональные уравнения. 2ч (9 класс)
7. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
   Рациональные уравнения. 2ч (9 класс)
8. * Производная и ее применения. 4ч
   Графические приемы решения. 2ч
9. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

1. количество решений уравнений;
2. уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

10. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

* - для курса 11 класса

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами вида

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру. К необычной форме ответов при решении уравнений.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

IV. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

V*. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр.
Рациональные уравнения 2ч (9 класс)

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VI*. Тригонометрия и параметр.
Иррациональные уравнения 2 ч (9 класс )

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

VII. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

VIII*. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Планирование

(34 часа)

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Литература

1. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
2. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
3. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2000.
4. Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
5. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
6. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2001.
7. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г
8. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и реравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
9. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999
10. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2005 г

Программа элективного курса "Уравнения и неравенства с параметрами"

Перепелова Надежда Владимировна, учитель математики 

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в “Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.”, где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”. Особое внимание следует обратить на задачи, содержащие параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: “Решение задач с параметрами”. Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный. В процессе работы возможно перераспределение часов в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Данный курс рассчитан на 12 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач и контрольную работу.

Анализ материалов выпускных экзаменов и Федерального тестирования позволил выделить группу задач, которые составили основу данного курса. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простейших линейных неравенств и уравнений с параметрами до достаточно трудных, конкурсных и олимпиадных задач.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из трех частей: лекции (включает и задачи, решаемые учителем), задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельной работы учащихся. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, самостоятельная работа.

Курс характеризуется рациональным сочетанием аналитической строгости и геометрической наглядности. Он является открытым, в него можно добавить новые темы, развить тематику в старших классах. Программа мобильна, дает возможность сокращения количества решаемых задач по теме.

Данная программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, предоставляет возможность сознательного выбора профиля обучения и в дальнейшем специальности.

СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ

Программа является обучающей и содержит:

1. пояснительную записку;
2. цели курса;
3. задачи курса;
4. примерное тематическое планирование;
5. требования к умениям и навыкам;
6. методические рекомендации;
7. литература;
8. приложение.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Данный курс “Уравнения и неравенства с параметрами” способствует более глубокому усвоению основного курса математики. Материал курса может использоваться учителем на уроках алгебры в 8-9-х классах, на занятиях математического кружка или факультативных занятиях. Курс предназначен для расширенного и углубленного изучения математики и подготовки к выпускным экзаменам за курс общей и средней школы.

Данный курс освещает задачи с параметрами, которые вызывают учащихся наибольшие трудности. Навыки решения задач с параметрами необходимы всем учащимся, которые стремятся хорошо подготовиться к успешной сдаче выпускных экзаменов, ведь все чаще подобные задачи встречаются в материалах выпускных экзаменов и Федерального Центра тестирования. Данный курс способствует формированию устойчивого интереса учащихся к предмету, исследовательского подхода в решении задач, сознательному овладению учащимися системой математических знаний. Ведь именно решение задач с параметрами открывает перед учащимися большое число эвристических приемов, ценных для математического развития личности и именно задачи такого рода стали неотъемлимым атрибутом материалов экзамена в новой форме.

Курс “Уравнения и неравенства с параметрами” сокращает разрыв между требованиями, которые предъявляет к выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к абитуриенту ВУЗ. Он ориентирует учащихся на выбор профиля, связанного с математикой, а в дальнейшем профессии технического направления.

ЦЕЛИ КУРСА:

1. Восполнить пробелы основного курса;
2. формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к экзамену в новой форме и к обучению в старшем звене;
3. изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к выпускному экзамену и централизованному тестированию;
4. развивать познавательную деятельность учащегося;
5. обеспечить условия для самостоятельной творческой работы;
6. показать множество приемов решения задач с параметрами, в том числе графический;
7. формировать исследовательский подход в решении задач;
8. помочь осознать степень глубины знаний по предмету;
9. оценить возможности сознательного овладения учащимися системой математических знаний;
10. ориентировать учащихся на выбор математического профиля обучения.

ЗАДАЧИ КУРСА:

1. углубить знания учащихся по предмету;
2. формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
3. выявление и развитие их математических способностей;
4. подготовка к новой форме проведения экзамена в 9-м классе и к обучению в старшем звене;
5. открыть учащимся новые приемы решения уравнений и неравенств с параметрами;
6. помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
7. помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательных перспектив;
8. развивать познавательную и исследовательскую деятельность учащегося;
9. устранить у учащихся трудности, которые возникают при решении задач с параметрами.

Требования к знаниям и умениям до изучения курс:

До изучения курса учащиеся должны уметь:

1. решать линейные и квадратные уравнения;
2. строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
3. решать простейшие иррациональные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
4. применять аппарат алгебры для решения прикладных задач;
5. иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УМЕНИЯМ И НАВЫКАМ:

Введение элективного курса “Решение задач с параметрами” необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к экзамену, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

В результате изучения курса учащийся должен:

1. усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
2. применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
3. проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
4. овладеть исследовательской деятельностью.

Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итоговой контрольной работы, которая включает в себя задачи с параметрами из вариантов выпускных экзаменов 9 классов в новой форме.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1.Знакомство с параметрами.

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2-3. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 4. Квадратные уравнения.

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 5. Квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.

Тема 6.Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 7. Графические способы решения заданий с параметрами

Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Решение уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

1. Основные методы решения задач с параметрами

1.1. Задачи с параметром. Первое знакомство. Лекция.

1.2 Типы задач с параметрами. Лекция.

1.3 Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Практикум.

1.4 Аналитический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.5 Геометрический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.6 Метод решения относительно параметра. Практикум.

2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2.1 Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Лекция.

2.2 Решение линейных уравнений с параметром. Лекция +практикум.

2.3 Решение линейных неравенств с параметром. Лекция +практикум.

3. Системы линейных уравнений с параметрами.

3.1 Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Лекция.

3.2 Решение систем линейных уравнений с параметром. Практикум.

3.3 Решение систем линейных неравенств с параметром. Практикум.

4. Квадратные уравнения.

4.1 Свойство квадратного трехчлена. Семинар.

4.2 Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.3 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.4 Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Практикум.

4.5 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Практикум.

4.6 Решение квадратных уравнений с параметром первого типа ( “для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Практикум.

4.7 Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”) Практикум.

5. Квадратные неравенства.

5.1 Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Практикум.

5.2 Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Практикум.

5.3 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

6.1 Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.2 Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6.3 Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.4 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

7. Графические способы решения заданий с параметрами.

7.1 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Практикум.

7.2 Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Практикум.

7.3 Использование симметрии аналитических выражений. Практикум.

8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу.

8.1 Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.2 Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.3 Решение задач на нахождение области определения функции с параметром. Семинар- практикум.

Заключительное повторение. Контрольная работа.

РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.
3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ПЕДАГОГА 

1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В., Решение задач, содержащих параметры.- М.: Науч.-пед. об-ние “Перспектива”, 1990.- 4.2- 38 с.
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
5. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.
6. Неделяева С. Особенности решения задач с параметрами. –Математика.- 1999 г. № 34- с. 20-23.
7. Циганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9.
8. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
9. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
10. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
11. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2005.
12. Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
13. Математика. “Первое сентября”.? 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
14. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
15. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ 

1. Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.
2. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
5. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
6. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА

Ф.И.О., категория

по математике (элективный курс), 11 класс

Уравнения и неравенства с параметрами.

Предмет, класс и т.п.

Рассмотрено на заседании

педагогического совета

протокол № 1 от  

«26»       августа        2010г.

2010 - 2011  учебный год

Оглавление

Пояснительная записка        

Структура курса планирования учебного материала        

Краткое содержание курса        

I. Первоначальные сведения.        

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.        

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.        

IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.        

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.        

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.        

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.        

Планирование        

Заключение        

Задачи для самостоятельного решения.        

Литература        

Пояснительная записка

Цель профильного обучения в старших классах - обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Задачи курса

1. Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;
2. Выявить и развить математические способности;
3. Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.
2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы
3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.
2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.
3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.
4. Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

1. Первоначальные сведения. 2ч
2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
4. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
5. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
6. Тригонометрия и параметры. 2ч
   Иррациональные уравнения. 2ч
7. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
   Рациональные уравнения. 2ч
8. Графические приемы решения. 2ч
9. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

1. количество решений уравнений;
2. уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

10. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Примерное содержание.

Решить уравнение с параметром - это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами  отыскиваются действительные решения.

Другими примерами  равенств с параметрами могут служить  общие виды функций, изучаемых в основной школе.

- линейная функция y=kx+b, (k, b - параметры, x, y- переменные);

- квадратичная функция y= ax²+bx+c, где а≠0 (a, b, c-параметры, x, y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра. 

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида    Ах=В.

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

при    -  нет  решений

при    -   любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:                                        

Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , тогда получим  единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:  а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 3.  Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

 Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой  

части.

Рассмотрим случаи:  а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в  

уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 4.  Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

        - неверное числовое равенство,  следовательно, данное уравнение решений  

не имеет.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

при ,   или  ,   -  любое действительное число

при ,   или  ,      -   нет  решений.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств. 

Примерное содержание.

1.На доске записаны следующие неравенства:

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axb axb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3..  Решение линейных неравенств вида aх>b.

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b<0, то .

Если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  решений нет.

4.  Решение линейных неравенств вида aх

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b>0, то .

если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 2. Решите неравенство ах<5.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  .

5. Решение линейных неравенств вида axb.

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b0, то .

если a=0 и b>0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство  ax4.

1) если a>0, то  

2) если a<0, то  

3) если a=0, то  решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида ax b

если a>0, то  .

если a<0, то  .

если a=0 и b 0, то .

если a=0 и b<0, то решений нет.

Пример 4. Решите неравенство ах 6.

1) если a>0, то  ;

2) если a<0, то  ;

3) если a=0, то  .

7. Решить неравенства.

(m-1)x<5m

если m-1>0,  т.е. m>1, то ,

2        если m-1<0,  т.е. m<1, то ,

3.        если m-1=0, т.е.  m=1, то  .      

(a-1)x>6

если a-1>0, т.е. a>1,   то ,

2.    если a-1<0, т.е. a<1, то ,

3.    если a-1=0, т.е. а=1,  то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение   имеет положительный корень?

Решение.

Так как корень х>0, то  0,8 b+14>0;   0,8 b>-14;   b>-1,75.

Ответ: при b>-1,75

IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Примерное содержание.

1.Повторить

Теорему Виета.

Тождество  

Свойства функций   и

При каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5.    Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1)ax² + 2x + 4=0,

2)(a + 3)x²+2x(a+5)+2a+7=0.

Ответ: 1) x=-2 при а=0; х=-4 при а=1/4; при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2

при а=-4,а=1;   при ; не имеет корней при .    

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

 Примерное содержание.

Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является  парабола.  

Коэффициент  a определяет направление ветвей параболы. Если  а >0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз.  Дискриминант квадратного трёхчлена  D=b²-4ac  определяет  наличие и количество общих точек с осью  Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то  парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек  две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит  (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа  и  – нули функции, D = b– 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы.         В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VIII. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений  высших степеней с параметром

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

1. Предмет: Элективный курс
2. Учитель:  
3. Класс: 11
4. Нагрузка в неделю: 1час

5. Нагрузка в год: 34часа

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить уравнение:  

2. Решить уравнение:  

3. Решить уравнение:  

4. Решить уравнение:  

5. Решить уравнение:  

6. Решить уравнение:  

7. Решить уравнение:  

8. Решить уравнение:  

9. Решить уравнение:  

10. Решить уравнение:  

11. При каких значениях параметра в уравнение :

     а) имеет бесконечно много корней;                 в) имеет корень, равный единице;

     б) не имеет корней;                                            г) имеет ненулевые корни?

12. При каких значениях а уравнение имеет:

     а) только положительные корни;                 б) только отрицательные корни?

13. Решить уравнение:   :

      а) относительно х  и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

      б) относительно у  и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

15. При каких значениях параметра а уравнение  имеет корни не равные    

      3?

16. Решить уравнение х2+а2 - 1 =0.

Ответ: при │а│>1 корней нет,  при других а х=±.  

17. Решить уравнение ах2-х+3 =0.

Ответ: при  а=0  х=3, при   а= х=6, при а> корней нет, при других а  

х=.

18. Решить неравенство ах2 +( а+1)х+1>0 при различных значениях а.

                      Ответ:    при а=0  х>-1; при а=1   х Є (-∞; -1)U(-1; +∞), при а>1  х Є (-∞; -1)U( -1/а; +∞),

 при а<0  х Є (-1; -1/а); при а Є (0;1)  х Є (-∞; -1/а)U(-1; +∞).

19. При каких значениях параметра а неравенство х2+ах+1<0 не имеет решений?

                      Ответ:   а Є[-1;1].

20. Решить неравенство  х2-4ах+9 ≤0.

                      Ответ: при  │а│>1,5 решений нет, при а=1,5 х=3,  при а=-1,5 х=-3, при других а  хє[2а-; 2а+].      

21. При каком значении параметра а система  имеет ровно два решения?

                    Ответ:  а=2.

22. Решить неравенство х2 - 2ах + 1>0 для всех значений параметра а.

                      Ответ:  при  |а|>1   х Є R,

                                   при  а=1    х Є R, где х ≠ 1,

                                   при  а=-1   х Є R, где х ≠ -1,

при  -1<a<1   х Є (-∞;-)U(а+; +∞).

23. При каких значениях а неравенство ах2 +4ах +а+3<0 выполняется для всех действительных значений х?

Ответ:  а Є (-∞; -4).  

24. При каких значениях параметра m двойное неравенство

  выполняется при всех действительных значениях х?

Ответ:  m Є (-2; 4).

Литература

1. Агалаков.С.А Математика. Единый экзамен- 2004. Часть С. Омск; НОУ НОК Образование плюс, 2004.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосеенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск: Аверсэв, 2003.
3. БашмаковМ., Резник Н. Задачник по алгебре для 7класса общеобразователь-ной школы. Санкт – Петербург, 2001.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.. Сборник задач по алгебре. 8-9кл. М.: Просвещение, 1994.
5. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999
6. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
7. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Илекса. Гимназия. Москва- Харьков, 2002.
8. Далингер В.А.. Всё для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике, выпуск 4. ОГПИ, Омск, 1995.
9. Евсеева А.И.. Уравнения с параметрами.// ж. «Математика в школе», 2003, №7.
10. Ерина Т.М.. Линейные и квадратные уравнения с параметром.// ж. «Матема-тика для школьников», 2004, №2.
11. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
12. Крамор В.С. Примеры  с параметрами и их решение. Аркти, Москва, 2000.
13. Математика для поступающих в вузы //Сост. Тырымов А.А.. – Волгоград: Учитель, 2000.
14. Математика. Задачи Сканави М.И. – Минск 1998г.
15. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
16. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г
17. Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Чебоксары – Издательство Чувашского университета, 2006.
18. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2001.
19. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
20. Е.М. Родионов. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. Изд – во МЦ «Аспект», 1992.
21. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г
22. Ю.Ф. Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просве-щение, 1999.
23. А.В. Шевкин. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. 8-9 классы. М.: Русское слово, 2003.
24. Тысяча и один пример. Под ред. О.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. Изд – во «Слобожаницина», 1994.
25. 514 задач с параметрами. Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград, 1991.

Присоединяйтесь!

Зарегистрировавшись, Вы сможете:

1. Создать свой персональный мини-сайт.
2. Разместить на мини-сайте свои разработки и получить Свидетельство о публикации в электронном СМИ  и Сертификат о создании персонального сайта.

Стоимость свидетельства и сертификата - 80 руб. Подробнее...

Документы для Вашего портфолио:

Благодарность за активное участие в работе сети

По теме:
методические разработки, презентации и конспекты уроков

Элективный курс "Уравнения и неравенства"

Элективный курс по математике «Уравнения и неравенства», рассчитан на 17 часов. Курс построен в соответствии со схемой «от простого - к сложному». При решении заданий второй части экзаменационной работы  используются способы решения, требующие знания методов решения, выходящие за рамки программного материала. В курсе физики и химии используются навыки решения уравнений и неравенств и их систем. Обобщение и систематизация знаний по этому вопросу укрепит математический аппарат, используемый  в смежных дисциплинах. 

Линейные уравнения и неравенства с модулем. (факультативный курс, 8 класс)

Факультативный курс по алгебре для 8 класса.

Программа элективного курса: « Уравнения и неравенства » 11 класс

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно  предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств. 

Элективный курс «Избранные вопросы математики» по теме «Неравенства» для 11 класса.

 Элективный курс «Избранные вопросы математики», рассчитан на 34 часа, в объёме один час в неделю и направлен на углубленное изучение темы «Неравенства». Данный курс можно использовать в 10 и 11 классах.

Элективный курс для профильной подготовки обучающихся "Задачи с параметрами"

Элективный курс для профильной подготовки обучающихся составлен по программе повышенного уровня изучения данного предмета и помогает учащимся в подготовке к ЕГЭ, где предъявляются более высокие требования к математической подготовке школьников. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими нестандартными заданиями.

Линейные уравнения с параметрами

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Их решение по существу представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовыми коэффициентами. Решение задач с параметрами – это очень трудный материал, требующий большого количества времени;  кроме того, на мой взгляд,  прежде чем приступать к решению задач с параметрами учащиеся должны овладеть общим курсом математики.

Ссылка на страницу:
Уравнения и неравенства с параметрами

Поделиться