Профиль 08.07
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс)

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут. Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

Ответ                                        Запись в бланк ответов

ВАРИАНТ 1

1. На бензоколонке один литр бензина стоит 33 руб. 20 коп. Водитель залил в бак 10 литров бензина и купил бутылку воды за 41 рубль. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

2. На рисунке изображен график осадков в Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76. Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

5. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

7. На рисунке изображён график производной  некоторой функции  определенной на интервале (–8; 9). Найдите количество точек минимума функции  принадлежащих отрезку [–4; 8].

8. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен  а высота равна 3.

9. Найдите значение выражения

10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле  где  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километров. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

11. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,1 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

12. Найдите точку минимума функции  принадлежащую промежутку

13. а) Решите уравнение:

 б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14. В параллелепипеде  точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении  Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.

а) Докажите, что плоскость  делит диагональ A1C в отношении  

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если известно, что  ― куб.

15. Решите неравенство .

16. Параллелограмм  и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что  AP = a, BC = b, BQ = c.

17. Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет решения на отрезке .

19. Дано квадратное уравнение  где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут. Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

Ответ                                        Запись в бланк ответов

ВАРИАНТ 2

1. На бензоколонке один литр бензина стоит 35 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 15 литров бензина и купил бутылку воды за 23 рубля. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 3 до 7 миллиметров осадков.

3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 7 задач, равна 0,78. Вероятность того, что П. верно решит больше 6 задач, равна 0,89. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 7 задач.

5. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

7. На рисунке изображён график производной  некоторой функции  определенной на интервале (–18; 6). Найдите количество точек минимума функции  на отрезке [–13; 1].

8. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен  а высота равна 6.

9. Найдите значение выражения

10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле  где R = 6400 км — радиус Земли. Мальчик, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 3,2 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 15 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться мальчику, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

11. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,2 км/ч, а другой — со скоростью 4,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

12. Найдите точку минимума функции  принадлежащую промежутку

13. а) Решите уравнение:  

 б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14. В параллелепипеде  точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении  Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении  

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью АВС, если известно, что  ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

15. Решите неравенство  

16. Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

17. Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет решения на отрезке .

19. Дано квадратное уравнение  где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут. Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

Ответ                                        Запись в бланк ответов

ВАРИАНТ 1

  1. Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток?

  2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,2 вольта до 1 вольта.

  3. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 4. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

  5. Решите уравнение .

  6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

  7. На рисунке изображён график  — производной функции , определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой  или совпадает с ней.

  8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.

  9. Найдите значение выражения .

10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием см.

Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 200 см до 270 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

11. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 1 час 20 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?

12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [0;2].

13. а) Решите уравнение: .

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку

14. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD  равна 12, боковое ребро PA ― . Через вершину A проведена плоскость , перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

а) Докажите, что плоскость  делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

15. Решите неравенство .

16. Угол BAC треугольника ABC равен . Сторона BC является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если , .

17. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 10%. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решения на отрезке .

19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

ПРОБНЫЙ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут. Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

Ответ                                        Запись в бланк ответов

ВАРИАНТ 2

  1. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 9% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,35 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?

  2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, на сколько вольт упадёт напряжение с 10-го по 22-й час работы фонарика.

  3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 37. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  4. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга — Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.

  5. Решите уравнение

  6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61°, угол CAD равен 37°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

  7. На рисунке изображён график производной  некоторой функции  определенной на интервале (– 4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой  или совпадает с ней.

  8. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E —середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

  9. Найдите значение выражения .

10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием см.

Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

11. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 2 часа 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?

12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

13. а) Решите уравнение  .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  .

14. Основание пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA ― . Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость , перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.

а) Докажите, что плоскость  делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и CK.

15. Решите неравенство  

16. Угол MKN треугольника KMN равен . Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.

а) Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если , .

17. Агата Артуровна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 20%. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение на отрезке .

19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 5432 хорошим?

б) Является ли число 10235 хорошим?

в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Ответы к заданиям варианта 2

Решения и критерии оценивания выполнения заданий 13 ― 19 варианта 2

13.  а) Решите уравнение  .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  .

Решение.  а)  .

б) Условию  удовлетворяют числа  и .

Ответ:   а) , ;   б) ,  .

14. Основание пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA ― . Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость , перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.

а) Докажите, что плоскость  делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и CK.

Решение. 

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как  и , то . Далее имеем: . Значит, AK ― высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем , что и требовалось доказать.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, тогда  и, значит, . Так как  и , то L ― середина MH. Отрезок CL ― проекция отрезка CK на плоскость ABC.

Далее, поскольку , точка H  ―  проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).

Далее имеем: , , , . Так как , то . Таким образом, .

Ответ:  б)  .

15. Решите неравенство   .

Решение. Заметим, что  при . На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству .

Положив , имеем: , откуда находим .

Далее имеем: , откуда .

Учитывая условие , окончательно получаем .

Ответ:  .

16. Угол MKN треугольника KMN равен . Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.

а) Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если , .

Решение. 

а) Пусть точка P ― центр окружности, вписанной в треугольник KMN (см.рисунок).

Тогда  и , откуда получаем . Углы MNP и NMP вписаны в окружность O(R), поэтому . . Значит,  и . Следовательно, около четырёхугольника KMON можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) В четырёхугольник KMON можно вписать окружность, следовательно, , откуда . Таким образом, треугольник  ― равносторонний треугольник со стороной , а треугольник ― равнобедренный треугольник с боковой стороной .  Далее имеем:

, , . Учитывая, что , окончательно получаем .

Ответ:  .

17. Агата Артуровна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 20%. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

Решение. Пусть S = 7 320 000 рублей ― сумма, взятая в кредит, x рублей ― величина каждого из платежей, k = 1,2. Тогда после первого года долг в рублях составит kS, после второго ― , после третьего ― , после четвёртого ― . По условию, последнее выражение должно равняться нулю.

 .

Подставляя в последнее выражение значения S и k, получаем .

Ответ:  6 220 800 рублей.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение на отрезке .

Решение. Положим ,  и рассмотрим функцию . Уравнение  имеет единственное решение на отрезке  тогда и только тогда, когда прямая  имеет с дугой AB окружности  ровно одну общую точку, т.е., при  и при  (см. рисунок). Значения a1 и a2 находим, подставляя координаты точек  и  в уравнения  и  соответственно:

, откуда ;

, откуда .

Значение a3 ― положительное значение a, при котором система уравнений  и  единственное решение. Подставляя  в уравнение , получаем квадратное уравнение , дискриминант которого должен равняться нулю.

Имеем:  ; . Учитывая условие , окончательно получаем .

Ответ:  ,  .

19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 5432 хорошим?

б) Является ли число 10235 хорошим?

в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Решение.

а) Да, является: 2453 делится на 11

    Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 5423 .

б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 11 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит , что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235 не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.

в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, числа, составленные из одной или двух различных цифр не делятся на 11. Рассмотрим число, составленное из трех различных нечетных цифр. Наименьшее возможное число ― число, первые две цифры которого 1 и 3. В качестве третьей нельзя рассмотреть 5 или 7, так как в этом случае сумма всех цифр будет нечетна, а значит и разность между суммами цифр на четных и нечетных местах будет нечетной, то есть не равной нулю.

При этом данная разность не превосходит , что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139 – хорошее, так как 319 делится на 11.

Ответ: а) да, б) нет, в) 139.

1/4

Решения и критерии оценивания выполнения заданий 13―19

13.  а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  .

Решение. а) ;  

б) Из первой серии указанному промежутку принадлежит точки    и   , а из второй – две точки:   и .

Ответ:  а) ;   б) .

14. В основании пирамиды  лежит прямоугольный треугольник  с катетами и . Точка – середина ребра . На ребре  выбрана точка  так, что , а на ребре  выбрана точка  так, что  Плоскость  пересекает ребро  в точке . Расстояние от точки до прямой  равно .

а) Докажите, что – середина ребра .

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью.

Решение. а) Так как треугольники и  имеют общий угол и NC:NL = NB:NM = 1:3, то эти треугольники подобны. Значит, , откуда . Тогда  и плоскость  пересекает плоскость LMK по прямой, параллельной прямой BC, а, следовательно, параллельной LM. Таким образом, отрезок AD ― средняя линия треугольника LMK и точка  – середина ребра .

б) Сечение пирамиды плоскостью  трапеция, высота h которой равна расстоянию от точки до прямой , то есть .

Далее имеем: ,

,  .

Окончательно получаем:

.

Ответ:.

2/4

15. Решите неравенство  .

Решение.Поскольку  , при условии  и имеем:

;    ;

;  

;  

С учетом условий  и, получаем:  .

Ответ:.

16. В треугольнике  биссектрисы и  пересекаются в точке , величина угла  составляет .

а) Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника , если , а .

Решение. а) В треугольнике  сумма углов , но величины углов и  составляют половины величин углов  и , а значит, сумма углов . Тогда величина угла .

Так как,  сумма противоположных углов  и , четырехугольника  равна . Значит,около него можно описать окружность.

б) В треугольнике  биссектрисы пересекаются в точке , значит, – биссектриса угла , а, значит, . Углы и  равны, так как опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около четырехугольника .

Имеем:

1)

2)Таким образом, треугольник  – прямоугольный и его площадь равнаS

Ответ:

3/4

17. 15 января Гоша взял в кредит 6 миллионов рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы: 

– 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го февраля, апреля и июня долг должен быть на две девятых часть от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца; 

– 15-го марта, мая и июля долг должен быть на одну девятую часть от исходной суммы долга меньше, чем величина долга 15 числа предыдущего месяца;

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 600 тысяч рублей больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение. Пусть исходная сумма, взятая в кредит, была равна S млн.  руб.  и  пусть. Тогда ежемесячные выплаты были равны:

.

Следовательно, общая сумма выплат составит:

 или .

По условию данное выражение на 600 тысяч рублей превышает S, следовательно, можно составить уравнение:

.

Подставляя в это уравнение  S = 6, получаем:  .

Ответ: 3.

18. Найдите все такие значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке .

Решение. Преобразуем данное уравнение:

 На отрезке  функция  принимает каждое свое значение ровно один раз, а только в точке , поэтому полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение  имеет ровно одно решение на промежутке , т.е. при или при . (см.рисунок).

Ответ:или  

4/4

19. Настя добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 80 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.

а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 70 км/ч?

б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?

в) Какое наибольшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

Решение. Пусть скорость Насти на обратном пути составила  км/ч, а путь от дома до института составляет S км. Тогда средняя скорость Насти будет равна

 км/ч.

а) Нет, не могла. Пусть средняя скорость составила 70 км/ч. Тогда

,

что противоречит  целочисленности.

б) Да, могла. Если  км/ч, то км/ч.

в) Чем больше , тем больше средняя скорость.

Так как   – целое, то . Но , значит, 12800 . Так как , то , где .  При этом, так как то .   (*)

1.   Тогда . Данное выражение находится в интервале (80; 160) только при , то есть .
2.   Тогда . Данное выражение не находится в интервале (80; 160) ни при каких .
3.   Тогда . Данное выражение находится в интервале (80; 160) только при  , то есть .

Таким образом, наибольшее значение средней скорости достигается при  км/ч, а тогда средняя скорость равна:

 км/ч.

Ответ: а) нет, б) да, в) 60 км/ч.