Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Графический способ решения.
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Урок алгебры в 8 классе на тему:

"Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Графический способ решения."

Смирнова Елена Германовна

Учитель математики

ГБОУ Лицей №244

Кировский район, г. Санкт-Петербург

Цели урока:

1. Сформировать представление о математической модели системы уравнений
2. Изучить графический способ решения систем линейных уравнений
3. Развить: ясность и точность мысли, интуицию, элементы алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей
4. Воспитать: культуру личности, отношение к математике, как к части общечеловеческой культуры

ТСО: компьютер, проектор, интерактивная доска

Ход урока

Актуализация знаний

• Что называют линейным уравнением с двумя переменными?
• Что решением линейного уравнения с двумя переменными?
• Является ли решением уравнения    пара чисел:

• Сколько решений может иметь уравнение ?
• При каком значении с график уравнения  проходит через точку   

• Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

            ?

Подготовка к восприятию учебного материала (мотивационный этап.)

Ребята, давайте вместе попробуем решить интересную задачу.

Текст задачи: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей». Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?

Каждому ученику раздается распечатанная задача с координатной плоскостью на листке.

Для упрощения решения задачи выводим на экран.

Давайте попробуем перевести нашу задачу на математический язык:

(учитель заполняет таблицу на интерактивной доске, а учащиеся на розданных листках)

Возьмём поклажу лошади за – x мешков, поклажу мула за – y мешков.

(Мул говорит) Если я возьму у тебя один мешок, то поклажа лошади станет: (x-1) мешков.

Ноша моя (ноша мула станет): (y+1) мешков.

Ноша моя станет вдвое тяжелее твоей (говорит мул): Давайте попробуем полностью перевести на математический язык эту часть задачи и составим уравнение:

А вот если ты снимешь с моей спины один мешок (говорит мул): y-1 (мешков),

Твоя поклажа (лошади): (x+1) мешков, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей:

В этой задаче получилось 2 уравнения которые выполняются одновременно. Выпишем их:

Преобразуем каждое уравнение системы к виду :

Такие математические ситуации, когда выполняются одновременно два уравнения называются системой уравнений и обозначаются знаком {.

Т.е. системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными будет:

Изучение нового материала

Как вы думаете, какова же тема нашего урока?

(выслушиваются варианты детей, если они совпадают с темой урока, то их ответы поощряются)

Сегодня на уроке мы познакомились с новым математическим термином (система уравнений), и так как мы не решили задачу, то должны познакомится с методами решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Поэтому тема нашего сегодняшнего урока: "Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Графический способ решения."

Нас интересует такая пара чисел, которая одновременно удовлетворяет и одному, и другому уравнению. В таких случаях говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

 Что значит решить систему?

Решить систему- значит найти все её решения или установить, что их нет.

Какими же методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: графический метод, метод подстановки, метод сложения

Сегодня на уроке мы рассмотрим графический метод.

Посмотрим на экран и рассмотрим, как графически решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Запишем алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

      1.В каждом уравнении системы выразить переменную у через х.

 2.Построить в декартовой системе координат две прямые.

 3.  Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений.

 Если прямые совпадают, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.

Физкультминутка.

Усвоение нового материала

• Убедитесь, что пара чисел (12;15) является решением системы уравнений:

• Является ли решением системы уравнений

пара чисел: а) (1;2); б) (4;3) в) (0;1)?

• Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений? (слайды на интерактивной доске)

Закрепление нового материла:

 1.Задачу про мула и лошадь дети решают графическим способом.

Один ученик на интерактивной доске под контролем учителя, применяя алгоритм, решает задачу.

Ответ: (5;7)

2.Далее учащиеся решают системы уравнений графическим способом:

3.Детям предлагается решить задачу на движение.

 Поезд, выйдя в момент t0 = 0 со станции О, идет со скоростью 100 км/ч. Навстречу ему со скоростью 80 км/ч идёт другой поезд, вышедший со станции А в тот же момент t0 = 0. Расстояние от О до А равно 200 км. Постройте графики движения этих поездов и по ним определите, когда и на каком расстоянии от станции О поезда встретятся.

Подведение итогов

1. Мы познакомились с системой двух линейных уравнений с 2 неизвестными, графическим методом решения систем уравнений.

ВЫВОДЫ:

2. Что собой представляют графики обоих уравнений?
3. В каком случае система имеет единственное решение?
4. Какая система является несовместимой?

Домашнее задание: §11 № 11.5; 11.6; 11.10(а); 11.13 (а,б).

      Рефлексия:

ВАМ ПОНРАВИЛСЯ УРОК?