Уравнения первой степени с одним неизвестным
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Слайд 1

Вклад Диофанта В развитие Алгебры Подготовил : учитель высшей категории МБОУ СОШ № 1 ВОВК З.Д. Г. Морозовск Ростовской области

Слайд 2

О жизни выдающегося древнегреческого математика Диофанта Александрийского мы не знаем почти ничего. Античная цивилизация клонилась к упадку; лишь немногие энтузиасты интересовались науками. Они-то и переписывали рукописи Диофанта, благодаря чему до нас дошла половина главного труда «Арифметика» (точнее шесть книг из тринадцати); остальные потеряны для нас навсегда. В эпоху Возрождения эти рукописи были впервые открыты для европейской науки в библиотеке Ватикана. С тех пор мысли и методы, изложенные Диофантом, дали мощный толчок для развития алгебры .

Слайд 3

Сохранился текст эпитафии (надписи на надгробном камне), из которой можно извлечь кое-какие сведения; в частности, можно узнать, сколько лет прожил Диофант:

Слайд 4

О прожитых годах жизни Диофанта Александрийского можно только предполагать, по написанному стихотворению: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень. Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая. С подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Слайд 5

Мы узнаем годы жизни Диофанта Александрийского. Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение: Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Слайд 6

Расскажем подробнее об уравнениях, которые умел решать Диофант. Начнем с того ,как стало известно , чем занимался этот ученный 17 веков назад. В 1403 г. в Венеции Региомонтаном (1436-1476) были найдены труды Диофанта. Основным из этих трудов являлась «Арифметика» состоящая из 13 книг . Региомонтан писал тогда, что в работах Диофанта собран «весь цвет арифметики и искусство неизвестной». До наших дней сохранилось 6 из них. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. Среди них – линейные уравнения с двумя неизвестными ( х и у) вида ах+ву =с , решаемые в целых неотрицательных числах, в последствии получившие название диофантовых уравнений. Уравнения такого вида решались еще в древности при астрономических и календарных расчетах. Вот пример диофантова уравнения: х+у= 25. Решениями такого уравнения могут быть как числа 12 и 13, так и числа 10 и 15. Т.е. одно уравнение с двумя неизвестными можно решить не однозначно.

Слайд 7

Рассмотрим задачу, приводящую к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. «Портному нужно пришить пуговицы к рубашкам двух видов: к одним рубашкам нужно пришить по 8 пуговиц, а к другим –по 7 . Имеется 100 одинаковых пуговиц. К какому количеству рубашек какого вида можно пришить эти пуговицы?» Значит нужно решить уравнение 8х+7у=100, где х - число рубашек с 8 пуговицами, а у – число рубашек с 7 пуговицами. Выразим из этого уравнения у: 7у=100-8х, у= (100-8х):7, или у=4(25-2х):7. Так как числа 4 и 7 взаимно простые , то, чтобы у оказался целым неотрицательным числом , нужно, чтобы 25-2х делилось на 7. Это возможно лишь при х=2 и х=9 . Соответствующие значения у будут равны 12 и 4. Таким образом наша задача имеет два решения( как и составленное по её условию уравнение): х=2,у=12 и х=9,у=4.

Слайд 8

А вот шутливую задачу на диофантовое уравнение предлагаю решить самостоятельно : « Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал , сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?»

Слайд 9

Решая уравнения, Диофант сформулировал правила переноса членов уравнения из одной части в другую с обратным знаком («слагаемое становится вычитаемым, а вычитаемое – слагаемым) и правило приведения подобных членов. С именем Диофанта связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби, Анри Пуанкаре и др . В честь Диофанта назван кратер на Луне

Слайд 10

Одним словом, Диофант очень давно знал столько, сколько многие из нас, и сейчас понять не смогут. Хотя, как говорил один известный ученый, всех можно научить математике, только для некоторых понадобится не одна тысяча лет.

Слайд 1

Ал-джабр и ал-мукабала , а также метод ложного положения Подготовил : учитель высшей категории МБОУ СОШ № 1 ВОВК З.Д. Г. Морозовск Ростовской области

Слайд 2

Презентация № 3 Ал-джабр и ал-мукабала , а также метод ложного положения В глубокой древности люди начали решать задачи с неизвестным количествами и описывать словами способы их решения. Фактически уже тогда они составляли и решали простые уравнения. О важности навыков решения уравнений писал ещё в IX веке известный в Средней Азии ученый Мухаммад бен Мусса ал – Хорезми. В своем трактате « Китаб ал-джабр ва-л-мукабала » (от второго слова из названия трактата произошло слово алгебра ) ал-Хорезми написал, что алгебра-это искусство решать уравнения.

Слайд 3

Ал-джабр и ал-мукабала Ал-Хорезми решал уравнения с помощью двух приёмов. Первый приём назывался ал-джабр (восстановление) и заключался в перенесении вычитаемых(отрицательных чисел) из одной части уравнения в другую. В те времена отрицательные числа считали « искусственными» , а после перенесения их в другую часть уравнения числа превращались в «настоящие» (положительные) числа. Второй прием , ал-мукабала (противопоставление) - отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых членов – был похож на современное приведение подобных слагаемых. Например, решая уравнение 8х-13=5х-1 , ал-Хорезми сперва применял ал-джабр и получал 8х+1=5х+13. Затем он применял ал-мукабалу (отнимал от обеих частей уравнения 5х и1) и получал уравнение 3х=12, после чего легко находил его корень.

Слайд 4

В древних папирусах описан ещё один совсем старый способ решения уравнений. Называется он методом ложного положения , хотя точнее его следовало бы назвать « методом ложного предположения.» Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.

Слайд 5

Метод ложного положения Метод ложного положения - древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот метод рассматривался и в старинном русском учебнике Л.Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило». Этот метод полезно знать, он дает возможность решить арифметически многие задачи.

Слайд 6

Суть его можно понять из решения уравнения х+1/3 х=20. Для решения этого уравнения брали наименьшее натуральное число, от которого третья часть –целое число. В данном случае это число 3. Третья часть от 3 равна 1, да ещё само число , получается 4. Так как по условию сумма х+1/3х должна быть равна 20 , а не 4 , следовательно , х должен быть во столько же раз больше, во сколько 20 больше , чем 4 (т.е. в 5 раз) . Значит , х=15. Рассмотрим решения задач методом ложного положения

Слайд 7

Задача Задача 1: Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь. «Здравствуйте, 100 гусей»,- говорит он, а вожак стаи отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё пол столько, да ещё четверть столько, да ещё ты, гусь, то нас было бы ровно 100гусей».

Слайд 8

Решение Сегодня бы школьник прочтя такую задачу, сразу же составит уравнение и, если хорошо умеет справляться с дробями, найдет из него, что х=36. Но в Древнем Египте про то, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как известными величинами, и не подозревали. С дробями у них тоже были сложности. Однако, египтяне придумали метод решения задач, который назвали «методом кучи» (по-египетски – « аха »). Прочтя задачу про гусей, египетский писец Ахмес сказал бы: «считай с четырех». Это значило: «Считай, что в стае было четыре гуся». Тогда простой подсчет показывает , что столько, да еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько дают 4+4+2+1, то есть 11 гусей, а нужно получить не 11, а 99 гусей (100–1). Так как 99:11=9, то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Тогда получится правильный ответ 36. Поскольку вначале делается предположение, что число гусей равнялось четырем, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения »

Слайд 9

Задача Приведем решение задачи способом ложного положения, или «фальшивым правилом». Из книги Магницкого: Задача 2: Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же учеников сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Слайд 10

Решение Магницкий дает такой способ решения. 1). Делаем первое предположение: учеников было 24. Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть имели бы: 24+24+12+6+1=67, то есть на 100—67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), в этом случае число 33 называем «первым отклонением». 2. Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы: 32+32+16+8+1=89, то есть на 100—89=11 меньше это «второе отклонение».

Слайд 11

Решение На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений: . Учеников было 36.

Слайд 12

Решение Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Например: Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144. Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение). Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111. Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение ). Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы. При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.

Слайд 13

Заключение Математика в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой. Решение задач различными способами способствует углублению знаний, логического мышления, расширяет кругозор

Слайд 14

Ознакомление с историческими фактами позволяет лучше понять роль математики в современном обществе, углубляют понимание изучаемого раздела программы. В современном мире люди всех профессий либо используют уже созданные кем-то математические модели (в частности уравнения), либо создают самостоятельно новые, помогающие глубже понять малоизученные явления окружающего нас мира.

Слайд 1

Урок обобщения знаний и представления исследовательских работ по теме: « Уравнения с одним неизвестным » Подготовил : учитель высшей категории МБОУ СОШ № 1 ВОВК З.Д. Г. Морозовск Ростовской области

Слайд 2

«Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Ее нельзя не любить - ее можно только не знать» ( Конфуций)

Слайд 3

Цели урока: 1.Закрепить умение решать линейные уравнения и задачи, решаемые с помощью уравнений. 2.Развивать вычислительные навыки и приемы мыслительной деятельности. 3.Продолжать формирование навыков смыслового чтения, умения создавать и применять модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. 4.Расширять общий кругозор уч-ся, воспитывать самостоятельность.

Слайд 4

ХОД УРОКА: I .Повторение – разминка дальше : эстафета (класс делится на две команды)

Слайд 5

Угадай слово О И А Н Д Т Ф 3 -3 -5 -1 1 10/11 6 х+0,5=1,5; х= 1) х+0,5=7,5; х= 3х=-9 ; х= 2) 3х=-6 ; х= 2х-1=5 ; х= 3) 2х+5=7 ; х= 1/3х=2; х= 4) 1/2х=3 ; х= 4х+4=2х-6; х= 5) 3х+6=-10-х ; х= Х+0,25=-0,75; х= 6) х-1,3=2,7 ; х= х /5=2/11 ; х= 7) 3/8 = х /2 ; х= Ох=6 ; х= 8) Ох= О ; х= б.множество или н.корней Ключи к ответам: О Е И М Х Р З -2 6 4 3/4 7 1 -4

Слайд 6

II. При решении уравнений в разминке вы использовали свойства: 1 свойство Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный . 2 свойство Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю .

Слайд 7

III. а) тестирование с проверкой : б) Задачи у доски : Задача №1. За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. При этом 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а II сорта - 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта куплено? Задача №2. От пристани А до пристани В лодка плыла по течению реки 3,5 ч. На обратный путь она затратила 5 ч 15 мин. Какое расстояние преодолела лодка за всё время движения, если скорость течения реки 2 км/час? Задача №3. Из поселка выехал автобус, а через час выехал автомобиль и догнал автобус через 1,5 ч. На каком расстоянии от поселка автомобиль догнал автобус, если скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости автобуса (автобус в пути не делал остановок)?

Слайд 8

IV . Решение задач прикладного характера На «5» - №2 ст.62 учебника, и ли № 10 ст.63 учебника На «4 »- № 1 ст.62 учебника .

Слайд 9

V .Представление докладов и презентаций лучших исследовательских работ: 1. Задачи Диофанта и диофантовы уравнения. 2. Ал-джабр и ал-мукабала .

Слайд 10

VI . Итог урока: 1.Рефлексия урока: Все молодцы! Подведем итоги: а) отметки за тестирование (после проверки) б) отметки за задачи у доски в) отметить доклады (презентации) г)отметки за прикладные задачи

Слайд 11

VII . Постановка домашнего задание : а) решить уравнения, полученные при решении задач на уроке; б) подготовка к контрольной работе. Решить: «Проверь себя»

Слайд 12

Литература 1) учебник Алгебра -7 2013 г. «Просвещение», авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин . 2) методическое пособие Алгебра-7, 2012 года, авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин . 3) Дидактические материалы Алгебра 7, составители: М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин , 2012г. 4) Журнал «Математика» № 5, 2010 года. 5) Тематические тестовые задания для подготовки к ГИА, составитель: Донец Л.П., Ярославль, Академия развития, 2012 г. 6) Баврин И. И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994. 7) Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964. 8) интернет ресурсы.