Квадратное уравнение
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Квадратные уравнения Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Индии. Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в. Определение. Неполные кв. уравнения. Полное кв. уравнение. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Кв. уравнения с комплексными переменными. Решение кв. уравнений с помощью графиков. Разложение кв. трехчлена на множители. Применение кв. уравнений. Практикум. Заключение.

Слайд 2

Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Главное меню Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Слайд 3

Кв. уравнения в Индии. Главное меню Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи. Задача знаменитого индийского математика Бхаскары: Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекаясь. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам..... Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

Слайд 4

Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в. Главное меню Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем . Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 5

Определение Главное меню Уравнение вида ax2+bx+c=0 , где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ¹ 1, то неприведенным . Числа a, b, c носят следующие названия : a -первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член. Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу в виде Если b = 2k , то формула принимает вид: Итак, где k = b / 2 . Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент, b - четное число.

Слайд 6

Неполные кв. уравнения Главное меню Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители. Способы решения неполных квадратных уравнений : 1) c = 0 , то уравнение примет вид ax2+bx=0. x( ax + b ) = 0 , x = 0 или ax + b = 0 , x = -b : a . 2) b = 0, то уравнение примет вид ax2 + c = 0 , x2 = -c : a , x 1 = или x 2 = - 3) b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид ax2 = 0, x =0.

Слайд 7

Полное квадратное уравнение Главное меню Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением.

Слайд 8

Теорема Виета Главное меню Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство . Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p , а свободный член - буквой q : Дискриминант этого уравнения D равен Пусть D >0 .Тогда это уравнение имеет два корня: и Найдём сумму и произведение корней:

Слайд 9

Теорема, обратная теореме Виета. Главное меню Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения Доказательство . По условию m + n =- p ,а mn = q . Значит, уравнение можно записать в виде Подставив вместо x число m , получим: Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения: По праву в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе b, в знаменателе a.

Слайд 10

Кв. уравнения с комплексными переменными Главное меню Сначала рассмотрим простейшее кв. уравнение где a -заданное число, а z -неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень. Задача1. Найти комплексные корни если а=-1 1) Т.к. =-1, то это уравнение можно записать в виде , или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем Ответ : 1)Имеет один корень z =0, если а=0; 2)Имеет два действительных корня , если а>0. 3)Не имеет действительных корней, если a <0.

Слайд 11

Решение кв. уравнений с помощью графиков. Главное меню Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например Решим уравнение Для этого построим два графика(рис.1): X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 9 4 1 0 1 4 9 1) y = x 2 2) y = x +1 1) y = x 2 , квадратичная функция, график парабола. D ( f ): 2) y = x +1, линейная функция, график прямая. D ( f ): X -1 0 1 Y 0 1 2 Рисунок 1 Ответ: Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения. Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня. Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень. Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Слайд 12

Разложение кв. трехчлена на множители Главное меню Многочлен вида ax 2+ bx + c , где a , b , c - некоторые числа, x переменная, называется квадратным трёхчленом. Пример 3 x 2+7 x +9 Квадратный трехчлен разлагается на множители , где и корни трехчлена. Дано: - квадратный трехчлен; и -корни его Доказать : Доказательство : по теореме Виета следует,

Слайд 13

Применение кв. уравнений Главное меню Решение квадратных уравнений широко применяется в других разделах математики: в разложении квадратного трехчлена, в исследовании квадратичной функции, в решении уравнений высших степеней, в решении текстовых задач и задач по геометрии. Некоторые уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному. 1) Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый - многочлен не выше 2-ой степени. Тогда приравнивая каждый многочлен к нулю, решаем полученные уравнения. ПРИМЕР: 2) Если уравнение имеет вид ax2n+bxn+c= 0, его можно свести к квадратному, введя новую переменную t = x. ПРИМЕР: 3) В геометрии: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Найти катеты, если один из них на 2 см. больше другого. РЕШЕНИЕ: по теореме Пифагора a2+ b2= c2 Пусть х см.-1 катет, тогда (х+2) см.-2 катет. Составим уравнение: x2+ (x+2)2= 102 Пифагор

Слайд 14

Стр.1 Практикум Главное меню Неполные кв. уравнения Далее

Слайд 15

Стр.2 Практикум Главное меню Метод выделения полного квадрата. Далее

Слайд 16

Стр.3 Практикум Главное меню Решение кв. уравнений по формуле b 2 -4ac Далее

Слайд 17

Стр.4 Практикум Главное меню Приведённые кв. уравнения. Теорема Виета Записать приведённое кв. уравнение, имеющее корни : 1) 2) 3) 4) Решение Воспользуемся т.Виета. Далее

Слайд 18

Стр.5 Практикум Главное меню Решение кв. уравнений по теореме обратной т. Виета Далее 1) Составьте уравнение, если q = p = Ответ: 2) Составьте уравнение, если q = p = Ответ: 3) Составьте уравнение, если q = p = Ответ: 4) Составьте уравнение, если q = p = Ответ: 5) Составьте уравнение, если q = p = Ответ:

Слайд 19

Стр.6 Практикум Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Процессы Скорость км / ч Время ч. Расстояние км. Поезд до задержки x 150 Поезд после задержки x+15 450 По расписанию x 600 _____________________________________________________________________ Зная, что поезд был задержан на 1,5 часа, сост.ур ОДЗ Далее

Слайд 20

Стр.7 Практикум Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Процессы Скорость км / ч Время ч. Расстояние км. Вверх по реке 10- x 35 Вверх по протоку 10-x+1 18 V течения x V притока x+1 _____________________________________________________________ Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км / ч, сост.ур ОДЗ Далее

Слайд 21

Стр.8 Практикум Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Было Изменилось Стало Первый год 20000 200 x 20000+200x Второй год 20000+200x 200x+2x 20000+400x+2x _____________________________________________________________________ Зная, что за 2 года население около 22050, сост.ур Ответ : 5% Далее

Слайд 22

Стр.9 Практикум Главное меню Решение кв. уравнений по формуле k2-ac . т.к. D 1<0, то корней нет. Ответ: К.Н . Ответ: Ответ: Ответ: Ответ:

Слайд 23

Заключение Главное меню Делая этот доклад, я открыл для себя много интересного и нового о кв. уравнениях чего не мог прочитать в учебнике. Например, я узнал о том, что ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это –кв. уравнения. В наше время невозможно представить себе решение как простейших , так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках , без применения решения кв. уравнений. Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.