Открытый урок: "Методы решения показательных уравнений"
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Открытое факультативное занятие: «Подготовка к ЕГЭ. Методы решения показательных уравнений с помощью нестандартных приёмов» в 10А,10Б классах. В рамках районного методического объединения «День математика».

Цели: Продолжить формировать умения и навыки решать показательные уравнения второй части ЕГЭ нестандартными приемами, приводящих их к простейшим. Эстетическое оформление решения. Подготовить ребят повторением элементарных правил, для решения более сложных уравнений у доски, путём их самостоятельного рассуждения.

Ход занятия

1. Организационный момент

Ничего нет непосильного в решении показательных уравнений. Стоит только приглядеться, что всё новое опирается на материал, изученный ранее, с которым вы не раз сталкивались в восьмом и девятом классах. Достаточно знать то, что при необходимом использовании приёмов решения простейших показательных уравнений, мы можем выполнять решение уравнений на более сложном уровне.

Достаточно знать: Необходимо: усвоить приёмы

1.Свойства степени решения простейших показа-

• an · am = an+m тельных уравнений.
• an : am = an-m
• ax · bx =(a · b)x
• ax : bx = (a : b)x
• an+m = an · am
• a-p=1 /ap
• Таблицу степеней

2. Актуализация знаний

Устно:

1. Преобразовать выражение из akx = bx

а) 32х = 9х

б) 52x = 25х

в) 43х = 64х

г) 7-х = (1/7)x

д) 3-2х = (1/9)x

2. Упроститьч:

а) 5х · 2х =10х в)(( √5+2)( √5-2))х+2 = 1х+2 = 1

б) 2х: 5х = (2/5)х

3. Представить в виде произведения:

а) 32+х = 32·3х

б) 92х+2 = 92х· 92

в) 2х - 4 = 2х · 2-4

г) 53(х+1) = 53х · 53

3. Рассмотрим методы решения показательных уравнений

I. Решение уравнений вида а f(x) = ag(x).

Одинаковые основания, но разные показатели степени. Очевидно, что решением данного уравнения будет являться f(x) = g(x). Например:

5хх2х = 0,1-3

10х = 103

Х = 3

1. 2х-1 · 52х-1 = 0,5·52х-4 · 102х-3

2х·2-1·52х·5-1 = 0,5·52х-3-1·102х-3

2х·1/2·25x·1/5 =0,5·52x-3·1/5·102x-3

1/10·50x = 1/10·502x-3

50x = 502x-3

X = 2x-3

X=3

2. 4(√5-2 )x-12 = (2/(√5+2))x-12

4(√5-2 )x-12·(√5+2)x-12 = 2x-12

4·1x-12 = 2x-12

22 = 2x-12

2 =x-12

X = 14

II. Решение уравнения вида аf(x) = b f(x). Разные основания, но одинаковые показатели степени .

Разделим обе части уравнения на любую функцию / bf(x),получим уравнение ( а/b)x = 1, решением которого является х=0. а>0,в>0,а≠1,b≠1. Например:

1. 24-5х = 34-5х / 34-5x б) 32х-5 = 2х-2,5

(2/3)4-5x = 1 9х-2,5 = 2х-2,5 / 9x-2,5

4-5x = 0 1 = (2/9)x-2,5

X = 0,8 x-2,5 = 0

X = 2,5

3. 34x+5 – 24x+7 – 34x+3 – 24x+4 = 0

34x·35 – 24x·27 – 34x·33 – 24x·24 = 0

(34x·35+ 34x·33) – (24x·27+24x·24) = 0

216·34x = 144 24x/ 72·34x

3 = (2/3)4x·2

(2/3)4x =3/2

4x = -1

X = -0,25

4. 22x+1 - 7·10x + 52x+1 =0

22x·2 -7·10x + 52x·5 =0

4x·2 -7·10x + 25x·5 = 0 /10x

(2/5)x – 7 +( 5/2)x·5 = 0

(2/5)x -7 +5· (2/5)-x = 0

Пусть (2/5)x =t , тогда получим уравнение

t – 7 + 5·1/t =0

2t – 7t + 5 =0

t1 = 5/2; t2 = 1

(2/5)x = 5/2 и (2/5)x = 1

X = -1 x = 0.

Творческое задание на дом: (проверить через неделю):

Решить уравнения:

1. 5х+1 + 5-х+2 = 126,
2. 9·(3-√8)2х+1 =( 3/(3+√8))2x+1,
3. 5·2x2+5x+7 + 2x2+5x+9 –2 x2+5x+10 = 2,
4. 52x2-1 - 3·5(x+1)(x+2) = 2·36(x+1)

Итоги занятия:

- Кто не делает ошибок, тот не достигает ничего;

- Сдать ЕГЭ обязаны все, ведь тесты составлены на основе школьной программы, которую вы изучаете на протяжении семи лет.

- Всё в математике решается по определённому алгоритму.