Практико-ориентированные задачи по математическому анализу для учащихся 10-11 классов с углубленным изучением математики
учебно-методический материал по алгебре

Практико-ориентированные задачи по математическому анализу

для учащихся 10-11 классов с углубленным изучением математики

1. Строительство

При монтаже зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать какие исходные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Рассмотрим эту задачу.

Задача 1. Выведите формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно построить здание высотой H и шириной 2l с плоской крышей.

2. Мелиорация

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес  расчет гидравлически наивыгоднейшего профиля для каналов такой формы.

Задача 2. При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейшей профиль?

Задача 3. Сечения канала сегмент круга. Каким должен быть центральный угол чтобы канал имел гидравлический наивыгоднейшей профиль?

3. Деревообработка

Задача 4. Чтобы выпилить из цилиндрического бревна менее прогибающуюся прямоугольную балку, на торце бревна проводят диаметр AB, делят его на три равные части и из точек деления C и D проводят перпендикуляры к диаметру. Прямоугольник (почему это прямоугольник?) принимают за основание искомой балки. Докажите правомерность такого способа, приняв к сведению, что сопротивление изгибу прямо пропорционально произведению ширины на квадрат высоты сечения балки.

Задача 5. На лесопильных рамах (они предназначены для продольного пиления) бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой толщины доски получаются при такой распиловке из бревна диаметром d?

4. Транспорт

Задача 6. Ломаные изображает продольный профиль автомобильной дороги с углом перелома. Водитель автомобиля, находящегося в некоторой точке С (положение глаз водителя), видит на участке лишь такие препятствия, которые по своей высоте выступают за приделы угла. При каком максимальном сближение друг с другом водители легковых автомобилей в данном случае могут ещё не видеть встречные машины?

Задача 7. Сообщение между селами и центральной усадьбой , расположенной около автомагистрали  совхоза осуществляется по дорогам, состоящим из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Докажите, что постройка прямой дороги от любого села С до села А не может сократить путь из С в А более чем на 30 %.

Задача 8. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части больше ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса r (радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база (расстояние между осями) которого равна l.