Решение практических задач по теме Концентрация
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №18 г.Магадана»





XIII научно — практическая конференция учащихся



Решение текстовых задач по теме «Концентрация. Совместная работа».

                                                                                             Исследовательская работа

                                                                                                                                                                                                    Автор - Коновалова Юлия,
ученица 11 класса А

                                                                                  Консультант – Собчинская Л. Л.,

учитель математики
МБОУ СОШ  № 18  

Магадан - 2012

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………………..3

Глава I. Алгоритм решения текстовых задач на концентрацию и совместную работу……………………………………………………………………………………...5
   
1.1. Решение задач на концентрацию……………………………………………………6
 
1.2. Решение задач на совместную работу……………………………………………...12

Глава II. Практическая часть…………………………………………………………….16

Заключение………………………………………………………………………………..18

Список литературы……………………………………………………………………….19

Приложение……………………………………………………………………………....20

Введение

Задачи на смеси, сплавы и работу при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.
Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.

        Цели:

Ознакомление учащихся со способами решений текстовых задач на концентрацию и работу;

Проведение выборочного анкетного опроса среди учащихся МБОУ СОШ № 18;

         Задачи:
Дать определение концентрации;
Повысить уровень знаний в данной области;
Выработать алгоритм решения задач;
Предоставить ряд текстовых задач данного типа для самопроверки.
        Методы исследования:
Изучение научно - популярной, учебной и справочной литературы, КИМов  для подготовки экзамена по математике;
Сравнение алгоритмов решения задач на концентрацию и задач на работу;
Визуализация данных;
Анкетирование.

Гипотеза: задачи на концентрацию и совместную работу вызывают у учащихся затруднения, но их решение сводится к определённому алгоритму, который применяется к задачам данного типа.

Объект исследования: математика.
Предмет исследования: задачи на концентрацию, сплавы и работу.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения.

Древние говорили: Научить нельзя, можно только научиться.

Глава I. Алгоритм решения текстовых задач на концентрацию и совместную работу.

Для того, чтобы лучше понимать условия задач на концентрацию и работу, необходимо раскрыть следующие понятия:

концентрация раствора – отношение массы чистого вещества (твёрдого вещества) к массе всего раствора . Она показывает долю вещества в растворе.

Процент - одна сотая любого вещества.

Производительность объекта - скорость работы.

1.1. Решение задач на концентрацию.

В данных задачах речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, масса которых х и у, то получившаяся смесь будет иметь массу х + у. Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.

В смесях и растворах содержится некоторая масса чистого вещества, которую и отражает концентрация. При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить уравнение или систему, так как  она нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Такая таблица имеет стандартный вид, который легко использовать для записи любой задачи данного типа:

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
Составить математическую модель задачи и решить ее.
Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Задача 1.

Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Какова концентрация этих растворов. Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать?

Решение:

К = 12/80*100% = 3/20*100% = 15 (%) – концентрация 1 раствора.
К = 15/120*100% = 5/40*100% = 12,5 (%) – концентрация 2 раствора.
К = 27/200*100% = 27/2 = 13,5 (%) – концентрация смеси.

Ответ: 15; 12,5; 13,5.

Задача 2.

Смешали 200 г 10 % - го сахарного сиропа и 300 г 20 % - го сахарного сиропа. Какова концентрация полученной смеси?

Решение:

m тв.1 = 200*10/100 = 20 (г) – в 1 растворе.
m тв.2 = 300*20/100 = 60 (г) – во 2 растворе.
К = 80/500*100% = 16 (%) - концентрация полученной смеси.

Ответ: 16.

Задача 3.

Какое количество сухого вещества содержится в 150 граммах 3 % - го водного раствора этого вещества? В каком количестве 8 % - го раствора содержится такое же количество этого вещества?

Решение:

m тв.1 = 150*3/100 = 4,5 (г) - сухого вещества в1 растворе.
m тв.2 = 150*8/100 = 12 (г) - сухого вещества во 2 растворе.

Ответ: 4,5; 12.

Задача 4.

Какое количество 8 % - го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было развести водой до получения 100 граммов 3 % - го раствора этого же вещества?

Решение:

m тв.2 = 3*100/100 = 3 (г) 
m р-ра.1 = 100*3/8 = 37,5 (г)
m Н2О = 100 – 37,5 = 62,5 (г)

Ответ: 62,5.

Задача 5.

Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 20 %?

Решение:

m тв.1 = 5*80/100 = 4 (кг)
m р-ра. 2 = 100*4/20 = 20 (кг)
m Н2О = 80-20 = 60 (кг)

Ответ: 60.

Задача 6.

Сколько килограммов воды надо добавить к 20 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3 % до 2 %?

Решение:

m тв.1 = 3*20/100 = 60/100 = 0,6 (кг)
m р-ра 2 = 100*0,6/2 = 50 * 0,6 = 30 (кг)
m Н2О = 30 – 20 = 10 (кг)
Ответ: 10.

Задача 7.

Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30 %, а во втором – 50 % золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 35 % золота?

Решение:

0,3x+0,5y = 0,35*(x+y)
0,3x – 0,35x = 0,35y- 0,5y
- 0,05x = - 0,25y
x = 5y
5/1 = x/y

Ответ: 1:5

1.2. Решение задач на совместную работу.

Решение задач на работу сводится к знанию следующей формулы:
А = Р*t, где
Р – это производительность,
t – время,
А – выполненная работа (готовая).

При этом для записи условий таких задач также удобно использовать таблицу и алгоритм, который применяется для решения задач на концентрацию. Как правило, в них не даётся значений работы и времени выполнения совместной работы, поэтому удобно работу принимать за единицу, а время за неизвестную переменную t.

Задача 1.

Мастер делает всю работу за 3 ч, а его ученик – за 6 ч.
Какую часть работы делает каждый из них за 1ч?
Какую часть работы сделают они вместе за 1ч?
За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

Решение:

P = A / t

⅓ – делает мастер
1/6 – делает ученик

1 ⅓ + 1 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = ½
t * ⅓ + t * 1/6 = 1
3/6 * t = 1
t = 6/3
t = 2 (ч)

Ответ: 1) ⅓, 1/6

            2) ½
           3) 2

Задача 2.

Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить вся работу за 36 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

Решение:

Пусть t – время, за которое обе машины выполнят всю работу. Тогда

t*(1/36) + t*(1/45) = 1
(45 + 36) / 1620 * t = 1
81/1620*t = 1
t = 1620/81
t = 20

Ответ: 20.

Задача 3.

Три экскаватора различной мощности могут отрыть котлован, работая отдельно: первый – за 10 дней, второй – за 12 дней, а третий – за 15 дней. За сколько времени они отроют котлован, работая совместно?

Решение:

Пусть t – время, за которое они отроют котлован, работая совместно. Тогда

t*1/10 + t*1/12 + t*1/15 = 1
(6+5+4)*t/60 = 1
15*t/60 = 1
t = 60/15
t = 4

Ответ: 4.

Задача 4.

Школа заказала в швейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется 3/5 этого времени, а третьей – в 2 ½  раза больше времени, чем второй. За сколько времени выполнят весь заказ три швеи, работая совместно?

Решение:

3*5/20 = 12 (дн.) – время выполнения заказа II.
5*12/2 = 30 (дн.) – время выполнения заказа III.
     3)  Пусть t – время, за которое они выполнят заказ, работая совместно. Тогда
t*1/20 + t*1/12 + t*1/30 = 1
(3+5+2)*t/60 = 1
t = 60/10
t = 6
Ответ: 6.

Глава II. Практическая часть.

В ходе научного исследования мной было проведено анкетирование учащихся 11 класса МБОУ СОШ № 18. Всего опрошено 23 человека. Всем предлагалось ответить на следующие вопросы:

Вызывают ли у Вас затруднения решение задач на концентрацию и совместную работу?
Знаете ли Вы способы решения данных задач?

Цель данного опроса:

Узнать степень подготовки учащихся по теме: «Решение текстовых задач на концентрацию и совместную работу».

Результаты анкетирования:

- Все участники опроса испытывают затруднения при рассмотрении решений задач данного типа;

- Лишь 13 % из 100 ознакомлены со способами решения данных задач.

Проанализировав результаты анкетирования, я пришла к выводу, что большая часть учащихся 11 класса, а именно 87 %, не может решать задачи на концентрацию и работу, и поэтому при встрече таких задач на ЕГЭ они могут потерять драгоценные для себя балы. По этой причине я провела несколько ознакомительных уроков в 11 классе по теме: «Решение текстовых задач части В ЕГЭ на концентрацию и совместную работу». На данных уроках учащимся были предложены задачи по этой теме, с помощью которых мной были раскрыты основные понятия, встречающиеся в задачах, и представлены основные формулы, необходимые для их решения, был проиллюстрирован общий алгоритм решения, а также наиболее наглядный и удобный способ записи условий таких задач.

Заключение.

В ходе научного исследования мной были решены следующие цели и задачи:

Ознакомила учащихся со способами решений задач;

   Провела выборочный анкетный опрос среди учащихся МБОУ СОШ № 18;

Рассмотрела определение концентрации ;
Выработала следующий алгоритм решения задач на концентраию:

Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
Составить математическую модель задачи и решить ее.
Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Таким образом, данная научная работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к сдаче экзаменов.

Список литературы:

Большая иллюстрированная энциклопедия школьника/ Сост. К. Гисперт – Москва: АСТ.
Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2005.
Габриелян О. С. Химия. Базовый уровень. – М.: Дрофа, 2009.
Математика:

     Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко –  Москва: Экзамен, 2010.

Математика:

     Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко –        Москва: Национальное образование, 2011.

Список Интернет ресурсов:

 HYPERLINK "http://festival.1september.ru/"http://festival.1september.ru
HYPERLINK "http://schoolmathematics.ru/"http://schoolmathematics.ru
HYPERLINK "http://uztest.ru/"http://uztest.ru
http://www.alhimikov.net
HYPERLINK "http://www.integral.edusite.ru/"http://www.integral.edusite.ru

Приложение

Задачи для самостоятельного решения .

1. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2 : 1, 3 : 1, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг.

2. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг, 5,5 кг, 2,75 кг.

3. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4 : 1, 1 : 1, 1 : 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2 : 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 6,4 кг, 3,2 кг, 14,4 кг.

4. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1 : 1, 1 : 5, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2 : 1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.



5. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг , 7 кг.

6. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?


7. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.

8. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота?
Ответ: 15 кг.

9. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.

10. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы?
Ответ: 3 : 2.

11. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.
Ответ: 5%.

12. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.

13. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.

14. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
Ответ: на 4%.

15. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
Ответ: 60 кг.

16.Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?
Ответ: 1 кг, 7 кг.

17. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая в отношении 3 : 7. По сколько ведер надо взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 : 5?
Ответ: 9 ведер из первой и 3 ведра из второй.

18. Два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй 600 г безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определить вес первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором.
Ответ: 4 кг и 6 кг.

19. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, содержание меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.
Ответ: 20% и 60%.

20. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве?
Ответ: 108 г цинка и 184 г свинца.

21. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом?
Ответ: 20 литров.

22. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

23. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде?
Ответ: 72%.

24. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках?
Ответ: 40% и 100%.

 PAGE 24