Квадратные уравнения. Способы решения
учебно-методический материал по алгебре (7, 8, 9 класс)
Данный материал научит решать квадратные уравнения несколькими способами. Рекомендуемое время занятия – два спаренных урока.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 41.43 КБ |
Предварительный просмотр:
- Повторение темы «Линейные уравнения»
Давайте вспомним, что такое уравнение?
Начнем с определения равенства: два числа или два алгебраических выражения, соединенные знаком «=» (равно), образуют равенства.
Например, 217 – 31 = 186, a = b, S = 2πR2 и т. д.
Теперь повторим свойства равенства:
- Если a = b, то b = a
- Если a = b и b = c, то a = c
- Если a = b и m – любое число, то a + m = b + m
- Если a = b и m ≠ 0, то am = bm;
=
Эти свойства равенства используются при решении задач на уравнения. Ввиду важности этих свойств, вспомним их словесные формулировки. (Учащиеся сначала попробуют сформулировать сами)
- Симметричность равенства: всякое число равно само себе.
- Транзитивность: если два числа порознь равны третьему, то они равны между собой.
- Равенства не нарушаются от прибавления к их частям одного и того же произвольного числа. Это свойство особенно важно на практике.
- Равенство не нарушится, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля.
Вспомним виды уравнений:
5х – 3 = 2 + 4х – уравнение первой степени
3х2 – 14 = 8х – х2 – уравнение второй степени
3х3 = 81 – уравнение третьей степени
Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.
Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – значит найти все его корни, либо убедиться, что в их отсутствии. Так, например, уравнение не имеет решений.
- Новый материал. Изучение темы «Квадратные уравнения».
Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают?
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые числа (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0), х – независимая переменная, называется полным квадратным уравнением.
Например, -2х2 + 3х + 5 = 0, 4x2 – x – 1 = 0
Уравнения вида ax2 + bx = 0, ax2 = 0, ax2 + c = 0, где a, b, c – некоторые числа отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.
Немного истории. (Сообщение заранее готовит один из учеников)
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х2 – х = а) умели решать вавилоняне (примерно 2 тыс. лет назад до н. э.). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.) в книгах «Арифметика», которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax2 + bx + c = 0, где a > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик разъясняет приемы решений уравнений вида ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + c = bx, ax2 + bx = c, bx + c = ax2, где a, b и с – положительные числа.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду x2 + bx = c было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487–1567). После трудов нидерландского математика А. Жерара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных очертаниях записывается так:
Корнями уравнения (a + b)*x – x2 = ab являются числа a и b.
Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений:
- ax2 + c = 0
ax2 = – c
x2 =
x = ±, где
Пример. Решить уравнение 8х2 – 8 = 0
8х2 = 8
х2 = 1
х = ±
х = ± 1
Ответ: х = ± 1
- ax2 = 0
x2 = 0 : a
x2 = 0
x = 0
Пример. Решить уравнение 2х2 = 0
x2 = 0 : 2
х2 = 0
х = 0
Ответ: х = 0
- ax2 + bx = 0
Вынесем общий множитель за скобки по распределительному закону
х*(ах + b) = 0
Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Поэтому уравнение разбивается на два уравнения;
х = 0 или ax + b = 0
ax = - b
x =
Пример. Решить уравнение 5х2 – 2х = 0.
5х2 – 2х = 0
х*(5х – 2) = 0
х = 0 или 5х – 2 = 0, х = 0,4
Ответ: 0; 0,4
(Учащимся предлагается привести свои примеры неполных уравнений (квадратных) по каждому типу и решить их.)
Рассмотрим на примерах способ решения полных квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.
Пример 1. Решить уравнение
х2 + 8х – 33 = 0
Решение.
Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена, используя формулы.
х2 + 8х – 33 = (х2 + 2х * 4 + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49
Вернемся к исходному уравнению. Оно равносильно следующему:
(х + 4)2 – 49 = 0
(х + 4)2 = 49
х + 4 = ± 7
х1 = 3, х2 = – 11
Ответ: 3; - 11
Если задана функция f(x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются корнями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + с = 0 являются корнями функции f(x) = ax2 + bx + c.
Решить уравнение графически.
х2 – 4х + 3 = 0
Решение.
y = х2 – 4х + 3 = (х – 2)2 – 1
х = 1 и х = 3 – точки пересечения графика функции y = х2 – 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, х = 1 и х = 3 являются решениями данного квадратного уравнения.
Ответ: 1; 3
Выведем формулу для нахождения корней полного квадратного уравнения:
ax2 + bx + c = 0
Преобразуем это уравнение:
a * (x2 - ) = 0
(x2 - ) = 0
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
x2 - =
Итак, = 0
Преобразуем это уравнение и приведем выражения к общему знаменателю.
Введем обозначения D = b2 – 4ac. Тогда уравнение примет вид.
Откуда , где D = b2 – 4ac.
D называется дискриминантом квадратного уравнения. Так как корень определен на множестве неотрицательных чисел, то
- Если D > 0, то уравнение имеет два корня;
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень;
- Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Пример 1.
2х2 – 5х + 2 = 0
D = b2 – 4ac = 25 – 4 * 2 * 2 = 9 > 0
Уравнение имеет два корня. Найдем их:
;
Итак, х = 2 и х = 0,5
х2 – 6х + 9 = 0
D = b2 – 4ac = 36 – 9*4 = 0
Уравнение имеет один корень. Найдем его:
;
Ответ: х = 3
Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x2 + px +q делением обеих частей уравнения на a (a не равно нулю). Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного уравнения можно найти по формуле:
, где a = 1, b = p, c = q.
Пример. Решить уравнение 2х2 + 8х – 42 = 0
Решение.
2х2 + 8х – 42 = 0
х2 + 4х – 21 = 0
Используя формулу, находим корни:
х =
Итак, х = 3; х = 7
Ответ: 3; -7
Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить и устно, используя теорему Виета.
Теорема Виета: Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна (), а произведение
, т.е.
х1 + х2 = х1 * х2 =
.
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения:
Если приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна –p (х1 + х2 = –p); а произведение равно q (х1 * х2 = q).
Чтобы полное квадратное уравнение, имеющее дробные корни, решить устно, используя теорему Виета, надо выполнить следующее:
- Свести данное уравнение ax2 + bx + c = 0 к виду y2 + by + ac = 0. Как? Умножить обе части уравнения на а: a2x2 + abx + ac = 0; обозначить ax = y. Тогда уравнение примет вид y2 + by + ac = 0, т.е. первоначальное уравнение стало приведенным, имеющим целые корни.
- Решить по теореме Виета полученное приведенное квадратное уравнение
- Разделить каждый полученный корень на первоначальный коэффициент уравнения.
Пример. Решить устно уравнение:
2х2 – 3х – 9 = 0
Решение:
2х2 – 3х – 9 = 0
(2х)2 – 3*2х – 18 = 0
2х = у
Получим: у2 – 3у – 18 = 0.
Тогда по теореме Виета получим: у1 = -3; у2 = 6.
Тогда: х1 = -1,5; х2 = 3
Ответ: -1,5; 3
Обобщение темы
Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.
Таблица 1. Полные квадратные уравнения
Дополнительное условие | Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 | Пример |
b – четное | где D1 = k2 – 4ac k = - b/2 | 5x2 – 6x – 8 = 0 D1 = 9 + 40 = 49 x1 = (3 + 7) / 5 = 2 x2 = (3 – 7) / 5 = – 0,8 |
b – нечетное | где D = b2 – 4ac | 2x2 – 5x + 2 = 0 D = 25 – 16 = 9 x1 = (5 + 3) / 4 = 2 x2 = (5 – 3) / 4 = – 0,5 |
а = 1 p = b c = q | х2 + 4х – 5 = 0 х = - 2 х1 = - 5 х2 = 1 |
Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.
Уравнение | Корни уравнения | Пример |
ах2 = 0 | х = 0 | 2х2 = 0 х = 0 |
ах2 + bx = 0 | х = 0; х = -b/a | 5х2 + 4х = 0 х = 0; х = -0,8 |
ах2 + с = 0 | х = где с/a > 0 | 7x2 – 3 = 0 x = |
Таблица 3. Теорема Виета
Уравнение | Условие | Пример |
ах2 + bx + с = 0 | x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a | 2х2 – 9х + 10 = 0 x1 = 2,5; x2 = 2 |
х2 + px + q = 0 | x1 * x2 = q x1 * x2 = -p | x2 + 5x + 6 = 0 x1 = -2; x2 = - 3 |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме "Квадратные уравнения, способы их решения"
Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме "Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация....

Урок алгебры 8 класс. Тема "Квадратные уравнения. Способы их решения."
Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме "Квадратные уравнения"...
Квадратные уравнения. Способы решения
Урок обобщение....

«Решение квадратных уравнений способом «переброски»
Ознакомление с одним из способов решения квадратных уравнений, который можно назвать способом "переброски"....

Квадратные уравнения. Способы решения.
Данная презентация позволяет обобщить материал по теме квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.Презентацию можно использовать для подготовки к ОГЭ....
Квадратные уравнения. Способы решения.
Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные)....

Методическая разработка урока алгебры для 8 класса по теме «Квадратные уравнения. Способы их решения» с применением интерактивного конструктора LearningApps.org
Для организации учащихся на совместную учебную деятельность я создаю условия внешней и внутренней психологической готовности к уроку через приветствие и дружелюбный призыв к началу урока с целью созда...