Квадратные уравнения. Способы решения
учебно-методический материал по алгебре (7, 8, 9 класс)

1. Повторение темы «Линейные уравнения»

Давайте вспомним, что такое уравнение?

Начнем с определения равенства: два числа или два алгебраических выражения, соединенные знаком «=» (равно), образуют равенства.

Например, 217 – 31 = 186, a = b, S = 2πR2 и т. д.

Теперь повторим свойства равенства:

1. Если a = b, то b = a
2. Если a = b и b = c, то a = c
3. Если a = b и m – любое число, то a + m = b + m
4. Если a = b и m ≠ 0, то am = bm; =  

Эти свойства равенства используются при решении задач на уравнения. Ввиду важности этих свойств, вспомним их словесные формулировки. (Учащиеся сначала попробуют сформулировать сами)

1. Симметричность равенства: всякое число равно само себе.
2. Транзитивность: если два числа порознь равны третьему, то они равны между собой.
3. Равенства не нарушаются от прибавления к их частям одного и того же произвольного числа. Это свойство особенно важно на практике.
4. Равенство не нарушится, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля.

Вспомним виды уравнений:

5х – 3 = 2 + 4х – уравнение первой степени

3х2 – 14 = 8х – х2 – уравнение второй степени

3х3 = 81 – уравнение третьей степени

Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.

Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – значит найти все его корни, либо убедиться, что в их отсутствии. Так, например, уравнение  не имеет решений.

2. Новый материал. Изучение темы «Квадратные уравнения».

Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают?

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые числа (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0), х – независимая переменная, называется полным квадратным уравнением.

Например, -2х2 + 3х + 5 = 0, 4x2 – x – 1 = 0

Уравнения вида ax2 + bx = 0, ax2 = 0, ax2 + c = 0, где a, b, c – некоторые числа отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.

Немного истории. (Сообщение заранее готовит один из учеников)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х2 – х = а) умели решать вавилоняне (примерно 2 тыс. лет назад до н. э.). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.) в книгах «Арифметика», которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax2 + bx + c = 0, где a > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик разъясняет приемы решений уравнений вида ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + c = bx, ax2 + bx = c, bx + c = ax2, где a, b и с – положительные числа.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду x2 + bx = c было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487–1567). После трудов нидерландского математика А. Жерара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных очертаниях записывается так:

Корнями уравнения (a + b)*x – x2 = ab являются числа a и b.

Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений:

1. ax2 + c = 0

ax2 = – c

x2 =  

x = ±, где 

Пример. Решить уравнение 8х2 – 8 = 0

8х2 = 8

х2 = 1

х = ±

х = ± 1

Ответ: х = ± 1

2. ax2 = 0

x2 = 0 : a

x2 = 0

x = 0

Пример. Решить уравнение 2х2 = 0

x2 = 0 : 2

х2 = 0

х = 0

Ответ: х = 0

3. ax2 + bx = 0

Вынесем общий множитель за скобки по распределительному закону

х*(ах + b) = 0

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Поэтому уравнение разбивается на два уравнения;

х = 0                      или                              ax + b = 0

                                                                  ax = - b

                                                                  x =

Пример. Решить уравнение 5х2 – 2х = 0.

5х2 – 2х = 0

х*(5х – 2) = 0

х = 0 или 5х – 2 = 0, х = 0,4

Ответ: 0; 0,4

(Учащимся предлагается привести свои примеры неполных уравнений (квадратных) по каждому типу и решить их.)

 Рассмотрим на примерах способ решения полных квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Пример 1. Решить уравнение

х2 + 8х – 33 = 0

Решение.

Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена, используя формулы.

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2х * 4 + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49

Вернемся к исходному уравнению. Оно равносильно следующему:

(х + 4)2 – 49 = 0

(х + 4)2 = 49

х + 4 = ± 7

х1 = 3, х2 = – 11

Ответ: 3; - 11

Если задана функция f(x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются корнями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + с = 0 являются корнями функции f(x) = ax2 + bx + c.

Решить уравнение графически.

х2 – 4х + 3 = 0

Решение.

y = х2 – 4х + 3 = (х – 2)2 – 1

х = 1 и х = 3 – точки пересечения графика функции y = х2 – 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, х = 1 и х = 3 являются решениями данного квадратного уравнения.

Ответ: 1; 3

Выведем формулу для нахождения корней полного квадратного уравнения:

ax2 + bx + c = 0

Преобразуем это уравнение:

a * (x2 - ) = 0

(x2 -  ) = 0

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:         

x2 -   =

Итак,  = 0

Преобразуем это уравнение и приведем выражения к общему знаменателю.

Введем обозначения D = b2 – 4ac. Тогда уравнение примет вид.

Откуда , где D = b2 – 4ac.

D называется дискриминантом квадратного уравнения. Так как корень определен на множестве неотрицательных чисел, то

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня;
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень;
3. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Пример 1.

2х2 – 5х + 2 = 0

D = b2 – 4ac = 25 – 4 * 2 * 2 = 9 > 0

Уравнение имеет два корня. Найдем их:

 ;

Итак, х = 2 и х = 0,5

х2 – 6х + 9 = 0

D = b2 – 4ac = 36 – 9*4 = 0

Уравнение имеет один корень. Найдем его:

 ;

Ответ: х = 3

Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x2 + px +q делением обеих частей уравнения на a (a не равно нулю). Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного уравнения можно найти по формуле:

, где a = 1, b = p, c = q.

Пример. Решить уравнение 2х2 + 8х – 42 = 0

Решение.

2х2 + 8х – 42 = 0

х2 + 4х – 21 = 0

Используя формулу, находим корни:

х =

Итак, х = 3; х = 7

Ответ: 3; -7

Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить и устно, используя теорему Виета.

Теорема Виета: Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна (), а произведение , т.е.

х1 + х2 =  х1 * х2 = .

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения:

Если приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна –p (х1 + х2 = –p); а произведение равно q (х1 * х2 = q).

Чтобы полное квадратное уравнение, имеющее дробные корни, решить устно, используя теорему Виета, надо выполнить следующее:

1. Свести данное уравнение ax2 + bx + c = 0 к виду y2 + by + ac = 0. Как? Умножить обе части уравнения на а: a2x2 + abx + ac = 0; обозначить ax = y. Тогда уравнение примет вид y2 + by + ac = 0, т.е. первоначальное уравнение стало приведенным, имеющим целые корни.
2. Решить по теореме Виета полученное приведенное квадратное уравнение
3. Разделить каждый полученный корень на первоначальный коэффициент уравнения.

Пример. Решить устно уравнение:

2х2 – 3х – 9 = 0

Решение:

2х2 – 3х – 9 = 0

(2х)2 – 3*2х – 18 = 0

2х = у

Получим: у2 – 3у – 18 = 0.

Тогда по теореме Виета получим: у1 = -3; у2 = 6.

Тогда: х1 = -1,5; х2 = 3

Ответ: -1,5; 3

Обобщение темы

Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.

Таблица 1. Полные квадратные уравнения

Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.

Таблица 3. Теорема Виета