Статья. Анализ темы «Производная и ее применение» в школьных учебниках.
статья по алгебре (11 класс)

Объяснять новую тему можно опираясь на собственный опыт и черпая информацию из других источников. Изучая тему «Производная и ее применение» я проанализировала несколько учебных пособий по алгебре для 10 - 11 классов.

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразовательных организаций. Ш.А. Алимов, Ю. М. Колягин, М.В. Ткачева и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2017. - 463 с.
2. Алгебра и начала математического анализа. [Текст]: учеб. для 10-11 классов общеобразовательных организаций. А. Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.
3. Алгебра и начала математического анализа. (базовый и углубленный уровни) [Текст]: учебник для 10 классов общеобразовательных учреждений (в двух частях). А.Г. Мордкович, П. В. Семенов - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2014. - 456 с.
4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: учеб. для общеобразовательных организаций (базовый и профильный уровни). Ю. М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 336 с.
5. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. - М.: Просвещение, 2019. - 464 с.
6. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - 18-е изд. - М.: Мнемозина, 2014. - 352 с.
7. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). С. М, Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 464 с.

            Учебник Алимова Ш. А. «Алгебра и начала математического анализа» тему производной посвящает главу 8 «Производная и её геометрический смысл», в которой автор начал с рассмотрения задачи на мгновенную скорость, переходя к необходимости решения таких задач и дает определение производной функции.

            После определения предела следуют понятия дифференцируемой функции в точке, на промежутке, название операции нахождения производной. Приведены примеры решения задач на нахождение производной, в которых участвует предел функции. И только после этого вводится определение предела функции в точке и пояснения. Сформулировано определение непрерывной функции.

            В учебнике решены задачи, из которых следуют формулы производной степенной функции.

            В правилах дифференцирования, Алимов Ш. А. доказывает: производную суммы и, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная произведения и производная сложной функции даны формулы без доказательств, но с примерами.

            В следующем пункте «Производные некоторых элементарных функций» рассмотрены производные: показательной функции, логарифмической функции, тригонометрических функций, а также применение правил дифференцирования и формул производных к решению задач.

            Геометрический смысл производной является заключительным параграфом данной главы. Выведено уравнение касательной к графику функции.

            В главе 9 «Применение производной к исследованию функции» даны следующие темы: возрастание и убывание функции; экстремумы функций; применение производной к построению графиков функций; наибольшее и наименьшее значения функции; выпуклость графика функции, точки перегиба.

            В этой главе содержатся определения возрастающей\убывающей функции, дана теорема Лагранжа с помощью, которой доказываются теоремы о достаточных условиях возрастания\убывания функций. Даны определения стационарных и критических точек, точек максимума\ минимума; приведена теорема Ферма; теорема (необходимые и достаточные условия) для нахождения точек максимума\минимума.

            Для исследования функции дан алгоритм.

            Для нахождения наибольшего\наименьшего значений функции составлен план.

            Для нахождения выпуклости\вогнутости графика функции и исследования точек перегиба дана вторая производная.

            В учебнике особое внимание уделено решению задач. В теоретической части автор дает не все свойства теорем и их доказательств, но разбирает подробно примеры, которые помогут понять и усвоить тему, уловить алгоритм решения задач. К каждому разделу даны задачи и примеры для самостоятельного решения. Все задания выделены разным цветом и подразделяются на: обязательные, более сложные, трудные. В конце каждого раздела есть сборные задания по всем темам и задания в виде самостоятельной работе «Проверь себя».

            Учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала математического анализа» во второй главе «Производная и ее применение» начинается с понятия и определения приращения функции, переходит к понятию о касательной к графику функции и нахождению углового коэффициента. Подробно разобрана задача об определении положения касательной к графику функции f в заданной точке (геометрический смысл производной) и задачa на определение мгновенной скорости движения (механический смысл производной).

            Рассмотренные задачи привели к определению производной и способе ее нахождения.

            Даны определения: дифференцируемой функции f(x) в точке, производной как функции, определение дифференцирования, как операции по нахождению производной.

Следующий пункт знакомит с понятием о непрерывности функции и предельном переходе.

            Далее в параграфе рассмотрены правила дифференцирования с примерами и доказательствами и основные формулы. Производная сложной функции начинается с примера, затем вводится понятие сложной функции, формула дифференцирования с доказательством. Все производные тригонометрических функций приведены с доказательством.

            Через касательную к графику функции автор переходит к геометрическому смыслу производной. Выводится уравнение касательной и формула Лагранжа. Даны способы приближенных вычислений дифференцируемой функции в точке, примеры применения производной в физике и технике, дан механический смысл производной.

            Следующий параграф посвящен применению производной к исследованию функций и содержит: признак возрастания\убывания функции; критические точки функции, максимум\минимум; задачи на применение производной к исследованию функции; наибольшее\ наименьшее значение функции.

            В этом параграфе дано доказательство признака возрастания\убывания функции опираясь на формулу Лагранжа. Разобраны примеры, где наглядно показаны применение признаков возрастания\убывания.

            Приведена теорема Ферма, признаки максимума и минимума функции. Каждые признаки, теоремы даны с доказательствами.

            Указан план исследования функции. На примерах наглядно показано исследование функции по приведенному алгоритму.

            Дано правило для нахождения наибольшего\наименьшего значения: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Приведены примеры.

            Завершается глава сведениями из истории вопросами и задачами на повторение.

            За производной следует неопределенный и определенный интеграл, вычисление площади криволинейной поверхности. Затем изучают логарифмическую, показательную и степенную функции и их производные. Введено понятие о дифференциальных уравнениях: непосредственное интегрирование, дифференциальные уравнения показательного роста и показательного убывания, гармонические колебания, падение тел в атмосферной среде.

            В учебнике все задачи для самостоятельного решения делятся на две части. Задачи в первой части необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки, они задают обязательный уровень подготовки. Остальные задачи чуть сложнее. В учебнике дан дополнительный материал теоретического характера, который выделен значками.

            В отличие от А. Н. Колмогорова в учебнике Мордковича А.Г. глава 7 «Производная» начинается с параграфа, посвященного изучению числовой последовательности, ее определению, свойствам и вычислению пределов последовательности. Затем вводится понятие предела функции на бесконечности и в точке. Дано понятие непрерывной функции в точке и на промежутке. Приведена теорема о непрерывности функции в любой точке без доказательства. Даны определения приращения аргумента и приращения функции.

            Следующий параграф начинается с решения задач о скорости движения, о касательной к графику функции, которые приводят к новому понятию – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Затем автор переходит к определению производной.

            Выделен алгоритм нахождения производной. Приведены примеры по нахождению производной. Дано понятие дифференцируемой функции в точке, определена процедура нахождения производной функции. Приведено подробное описание как по графику функции можно сделать выводы о дифференцируемости функции.

            В формулах дифференцирования автор отражает физический и геометрический смыслы производной. В правилах дифференцирования, приведены теоремы без доказательств, но с примерами. Сами доказательства правил нахождения производной от суммы функций, от произведения функции на постоянный множитель и от произведения двух функций даны ниже. При доказательстве формулы дифференцирования степенной функции используется метод математической индукции для любого натурального показателя. Дано понятие и вычисление производной n-го порядка и применение второй производной. Дано определение и правила дифференцирования сложной и обратных функций, а после изучения логарифмической и показательной функций представлены правила их дифференцирования.

            Составление уравнения касательной к графику функции посвящен отдельный параграф, в нем описан алгоритм для составления уравнения. Составление алгоритмов приведено в каждом параграфе и является характерной чертой этого учебника. Так же есть алгоритмы чтобы отыскать наименьшее и наибольшее значение непрерывной функции на отрезке, чтобы исследовать непрерывную функцию на монотонность и экстремумы. Даны понятия о признаке возрастания\убывания функции, определение критической точки, признака максимума\минимума, экстремумы, теорема о постоянстве функции; теорема о нахождении точек максимума\минимума; определения горизонтальной и вертикальной асимптот. В конце главы приведены исторические сведения и вопросы для самопроверки.

            Все задачи для самостоятельного решения дома и на уроках даны в отдельном издании. В задачнике все задания подразделяются на уровни: простые (без пометок), средние более сложные (слева от номера стоит не закрашенный кружок ○), трудные (со знаком ●). Количество упражнений обширно как по объему, так и по содержанию.

            Так же как и в учебнике Мордковича А.Г. у Колягина Ю.М. Глава 2 «Производная и ее геометрический смысл» начинается со знакомства числовой последовательности и ее предела. Дано понятие сходящейся последовательности, а также определения монотонных последовательностей. Теоремы о пределе последовательности и вычисление пределов даны без доказательств, но с примерами их применения и подробным решением.

            Предел функции изложен в следующем параграфе, который начинается с задач на исследование функции в окрестности данной точки и заканчивается определением предела функции. Параграф дополнен сведениями о различных типов пределах: односторонними конечными, бесконечным пределов к конечной точке, пределом в бесконечности, бесконечно малыми функциями и заканчивается свойствами пределов.

            Следующий параграф посвящен непрерывности функции в точке. Автор приводит условия, когда функция непрерывна в точке слева и справа и переходит к понятию приращения аргумента и приращения функции. Теоремы о непрерывности функции на отрезке даны без доказательств.

            За определением сразу следует непрерывность функции в точке, дифференцируемости и пример с пояснением левой и правой производной. Нахождение производной линейной функции и степенной показано на примерах.

            Следующий параграф посвящен правилам дифференцирования, включая нахождение производной обратной функции, с примерами и доказательствами. Нахождение производных степенной функции, элементарных функций рассматривается в отдельных параграфах.

            Геометрический смысл производной начинается с понятия углового коэффициента, приведено уравнение касательной к графику функции. Вводится понятие дифференциала функции.

            В главе применение производной к исследованию функций освещены следующие темы: возрастание и убывание функции, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции, производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба, построение графиков функции.

            Приведена теорема Лагранжа (без доказательства) с помощью которой доказываются достаточные условия возрастания и убывания функции.

            Даны определения максимума и минимума функции, теорема Ферма представлена без доказательства. На практических примерах показано нахождение наибольшего и наименьшего значения функции и площади фигур. Даны определения выпуклости функции и точки перегиба.

            Введено понятие наклонной асимптоты и доказана теорема о существовании конечного предела. Для построения графика функции дан план и наглядные примеры — описание.

            Главы в учебнике заканчивается большим количеством упражнений и вопросов по главе, а также исторической справкой.

            Учебник содержит много тематических задач, которые выделены по степени сложности. Теоретическая часть также имеет метки: обязательные к изучению, для профильного уровня и материал для интересующихся математикой.

            В учебнике Пратусевича М.Я. «Алгебра и начала математического анализа» для 11 класса начала математического анализа начинается с изучения темы предела и непрерывности функции. В главе производная и ее применение вводится понятие производной как скорости. Дано формальное определение производной.

            Вводится приращение функции и приращение аргумента. Вычисление производных некоторых функций автор рассматривает на примерах, в которых затрагивает левостороннюю и правостороннюю производные. Доказывает теорему производной линейной комбинации.

            Автор дает определение гладкости функции. Теорема о непрерывности функции в точке дана с доказательством. Рассматриваются на примерах правосторонние и левосторонние производные. Производные элементарных функций приведены в виде утверждений с доказательствами.

            В отличие от других авторов Пратусевич М.Я. Рассматривает геометрический смысл производной более обширно. Дает определение касательной, выводит уравнение касательной, дополняет его утверждением об уравнении всех касательных, проведенных к графику функции через произвольную точку, а также рассматривает угол между графиками функций в точке их пересечения.

            Следующий параграф в учебнике посвящен функции дифференцируемой в точке и дифференциалу функции.

            Правила дифференцирования и производные обратных функций представлены с доказательствами и примерами.

            Далее автор доказывает теорем, с помощью которых можно исследовать функцию: теорему Ферма, теорему Ролля, теорему Лагранжа, теорему Дарбу. Патрусевич М. Я. в параграфе возрастание и убывание функции вводит критерий нестрогой монотонности функции, разбирает теорему о достаточном условии строгого возрастания функции, теорему о достаточном условии экстремума, приводит примеры с использованием производной, дает определения и признаки выпуклости функции, точек перегиба.             Методом математической индукции автор доказывает неравенство Йенсена и используя его доказывает неравенство Коши.

            В конце главы даны задачи и упражнения по каждому параграфу и имеют разделение на три группы: аналогичные, разобранным примерам, задачи по пройденному материалу и задачи требующие для решения новых методов и приемов, не освященных в тексте учебника. Учебник рассчитан на профильный уровень поэтому все теоремы и утверждения даны с доказательствами. Много материала, которого нет в других учебниках рассчитанных на базовый и профильный уровни. Определения и теоремы приведены не адаптированные на среднего школьника, а как в учебниках рассчитанных на высшее образование.

            Виленкин Н. Я. дает большой объем теоретического материала. Много внимания уделяется решению задач. В каждой теме много разобранных примеров и списк задач для самостоятельного решения.

            Начала математического анализа начинается с изучения понятия предела функции на бесконечности, предела в точке.

            Тема «Производная» знакомит учащихся понятием приращение функции и приращение аргумента, дифференцируемости функции в точке. Из приведенных задач на вычисление углового коэффициента касательной и мгновенной скорости движения вводится понятие производной. Определение производной дано как следствие теоремы о существовании предела дифференцируемой функции в точке.

            Виленкин Н. Я. Предлагает алгоритм для нахождения производной:

- найти выражение для приращения f(x + h) - f(h) функции f;

- разделить это выражение на приращение аргумента h;

- найти предел полученного отношения при h→0.

            Дано понятие дифференциала функции. Вычисляется приближенное значение функции вблизи точки.

            Механический смысл производной наглядно продемонстрирован в задачах описывающий процесс радиоактивного распада и нахождение линейной плотности вещества. Дан геометрический смысл производной и уравнение касательной.

            Дана теорема о непрерывности функции в точке. Все правила дифференцирования приведены с доказательствами.

            Раздел «Приложение производной» состоит из пунктов: производная и экстремумы; отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке; теорема Лагранжа и ее следствия; исследование функций на возрастание и убывание, достаточное условие экстремума; исследование графиков на выпуклость; точки перегиба; построение графиков функций.

Доказываются теоремы: о знаке приращения аргумента и функции; о точке экстремума. Дан план для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Теоремы: о связи между монотонностью функции на отрезке и знаке ее производной на этом отрезке, достаточные условия экстремума даны с доказательствами. Расписан план исследования функции и построение графика функции.

            Формулы дифференцирования тригонометрических, показательных и логарифмических функций даны после изучения этих функций.

            В учебнике все определения, теоремы, следствия имеют доказательства. Терминология имеет последовательную формулировку и последовательную доказательную структуру.

            Учебник Никольского С.М. рассчитан на базовый и профильный уровни. До раздела производной дан материал о пределе функции и непрерывности. Понятие производной начинается с рассмотрения задачи на вычисление мгновенной скорости прямолинейного движения, тангенса угла наклона касательной к графику функции и определение силы тока, в которых вводится понятие приращение аргумента и приращение функции.

            Приведены утверждения о механическом и геометрическом смыслах производной.

            Теоремы: производная суммы, производная разности, вынесение постоянного множителя за знак производной,непрерывность функции, имеющей производную, производная произведения, производная частного даны с доказательствами и примерами. Доказывается теорема непрерывности функции в точке и вводится понятие дифференциала функции. Даны формулы дифференцирования элементарных функций, сложной функции и обратной функции.

            Параграф применение производной содержит темы: максимум и минимум функции, уравнение касательной, приближенные вычисления, формулируются и доказываются теоремы Ролля и Лагранжа, свойства возрастания и убывания функции, дана вторая производная и производные высших порядков, выпуклость графика функции, экстремумы функции с единственной критической точкой. Поясняется геометрический и механический смысл второй производной. Приведены примеры на оптимизацию.

            В учебнике есть дополнительный углубленный материал, отмеченный звездочкой: на нахождение асимптот (материал изучается на дробно-линейных функциях), на разложение функции в ряд Тейлора.

            Ниже приведена таблица 1, в которой содержатся основные понятия и определения по теме «Производная» в рассматриваемых учебниках.

            Анализируя представленный в школьных учебника материал можно прийти к выводу, что в учебниках с углубленным уровнем изучение предмета теория по теме «Производная и ее применение» дана более обширнее и полно, чем в учебниках для изучения базового и профильного уровня. Основные понятия и правила схожи, но имеются различия в интерпретации, в применении производной.

            Узучая выбранный в соответствии с учебной программой учебник, можно брать примеры из других учебников, составлять тесты и давать домашнее задание.