Урок по алгебре в 7 классе "Взаимное расположение графиков линейных функций"
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

Тема: Взаимное расположение графиков линейных функций (7 класс)

Основные цели:

1. сформировать представление о том, что взаимное расположение графиков линейных функций зависит от значения угловых коэффициентов этих прямых;
2. формировать умение определять взаимное расположение прямых по виду их уравнений;
3. повторить и закрепить умение строить графики линейных функций, пользуясь таблицей и формулой;
4. Тренировать способность ориентироваться в системе знаний, наблюдательность, память, способность к самооценке.

Дидактические материалы:  карточки с тестами, эталон для самопроверки теста, карточки-задания с алгоритмом для работы в группах, карточки рефлексии, карточки с домашним заданием.

 Оборудование:  интерактивная доска SMART, проектор, 7 компьютеров (на которых установлена программа «Живая математика», плакаты со словами: «Абсцисса», «Ордината», «Параллельные прямые», «Координата», «Коэффициент», 3 листа ватмана, фломастеры, магниты.

Краткая аннотация к работе: Урок открытия новых знаний  разработан в соответствии с  технологией деятельностного метода. Формы организации учебной деятельности учащихся на уроке: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая. Работа содержит подробный конспект урока, дидактические материалы, презентацию в программе SMART Notebook. Карта рефлексии составлена таким образом, что ученик в течение всего урока проводит самоанализ своей деятельности.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности (1 – 2 мин.)

Цель:

1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: построение графиков линейных функций;
3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

– Здравствуйте ребята. Недавно, я услышала французскую пословицу «Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем». Как вы ее понимаете? (Слайд 2. (слайд 1 открыт до начала урока) учащиеся говорят о  своём понимании пословицы)

– А как вы понимаете, что ваши знания не убывают? (Повторяем необходимое, подводим итог повторения, работаем с пробным заданием, если оно не получается, фиксируем своё затруднение, находим место и причину затруднения, находим  способ, чтобы справиться с затруднением и узнать то, чего мы не знаем или не можем объяснить свое знание.)

– Какую большую тему мы начали изучать на прошлых уроках?  (тема «Функции»)

–  Какие виды функций вы изучали на предыдущих уроках? (Прямая пропорциональность, линейная функция).

– Что вы уже знаете и умеете делать по этой теме? (Определять вид функции, строить график функции)

– Для чего нужно уметь строить и читать графики функций? Где вам это может пригодиться? (на уроках физики, географии,… Умение читать графики функций необходимо многим специалистам: врачам-кардиологам, геологам, экономистам, …)

– Как вы думаете, все ли вы знаете о линейных функциях? (Думаем, что нам есть ещё над чем поработать по этой теме)

    2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии (4 – 7мин.)

      Цель:        

1. организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания: знать определение функции, графика функции; умение строить график прямой пропорциональности и линейной функции;
2. зафиксировать актуализированные способы действий в речи;
3.  зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны);
4. организовать обобщение актуализированных способов действий;
5. организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания: анализ, сравнение, обобщение;
6. мотивировать к выполнению пробного действия;
7.  организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;
8.  организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

–  А теперь повторим определения изученные на прошлых уроках.  (фронтально)

1. Дайте определение функции. (Слайд 3, нажимая на кнопки 1,2,3,4,5  появляются вопросы)

(Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.)

2. Дайте определение графика функции.

       (Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.)

3. Сформулируйте определение линейной функции.

      (Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида  у = kх +  b,  где  х – независимая переменная,  k и b –   любые числа.)

4. Что является графиком линейной функции?

      (Графиком линейной функции является  прямая.)

5. Как записывается формула частного случая линейной функции прямой пропорциональности? Какая особенность построения графика?

(Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х – независимая переменная, а k – не равное нулю число. Чтобы построить график функции у = kх, достаточно отметить какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.)

6. От чего зависит, как расположен график линейной функции?

(От коэффициентов  k  и b.  Если  k > 0, то угол наклона прямой  у =  kx + b к оси х острый; если  k < 0, то этот угол тупой. Если х = 0, то у = b. Значит, график линейной функции у = kx + b (при любых значениях k и b) проходит через точку  (0;b).

Как называется коэффициент k? (угловой коэффициент прямой)

7. Установите соответствие между функциями и построенными графиками. Ответ обоснуйте, не прибегая к вычислениям. (Слайд 4. Ученики  записывают ответ в тетрадь. Затем, один из них перемещает функции к выбранному графику, и комментирует свой выбор)

а)   у = - х;       б)  у = 3 – 2х;       в)  у = ;       г)  у = 0,5(х  + 2);

д) у = 0,7х;     е)  у = 6.

– Проверьте, как вы выполнили это задание. (Проверяют, сравнивая свои ответы с решением на доске)

(Ответ:  а – 2, б – 4, в – 1, г – 3, д – 6, е - 5)

–  У вас на столах лежат карты рефлексии. Чтобы вам было проще оценить свою работу на уроке, не забывайте в течение всего урока отмечать результаты своей деятельности.

 – В домашней работе, у вас было задание: найти общие точки графиков функций, не выполняя построения графиков. (Слайд 5.  Потянув закладку, проверяем ответы)

№1. у = 2х + 6, у = 2х – 1.

№2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.

№3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).

Поверим, что у вас получилось?

№1.     2х + 6 = 2х – 1                                

               0 ∙ х = - 7    

              корней нет

Ответ: графики данных функций общих точек не имеют.

№2.    - 3х + 5 = 4х – 2                у(1) = 4 ∙ 1 – 2 = 2.

                7х = 7                              ( 1; 2)

                х = 1

Ответ: ( 1; 2) – общая точка графиков данных функций

№3.     3х + 3 = 3(х + 1).

               3х + 3 = 3х + 3

               0 ∙ х = 0

               х – любое число

Ответ: графики данных функций имеют бесконечно много общих точек.

–  А как будут расположены графики этих функций на координатной плоскости?  Какие у вас есть предположения? (Ученики высказывают свои предположения)

– Сформулируйте цель? (Научиться определять взаимное расположение графиков линейных функций, не выполняя построения)

 – Сформулируйте тему урока. (Формулируют тему урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций». Тема фиксируется на доске и в тетрадях. Слайд 6.)

3. Выявление места и причины затруднения (1 – 2 мин.)

Цель:

1. Организовать восстановление выполненных операций.
2. Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.
3. Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами

(алгоритмом, понятием и т.д.).

4. На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– Что нового в задании? (Определить, как расположены графики линейных функций на координатной плоскости, не выполняя построения)

 – У кого нет ответа?

– Что вы не смогли сделать?

– Те, кто выполнил задание, можете доказать, что вы правы? (Если ученики ссылаются только на изображение графиков в системе координат, можно попросить определить взаимное расположение графиков на Слайде 7 и только потом, лопнув шарик, показать какими функциями заданы прямые)

–  Что дальше будете делать?

4. Построение проекта выхода из затруднения (3 – 4 мин.)

Цель:

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1. Учащиеся ставят цель проект а(целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).
2. Учащиеся уточняют и согласовывают тему урока.
3. Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.).
4. Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

– Какую цель вы поставите перед собой? (научиться определять взаимное расположение графиков линейных функций на координатной плоскости, уточняют тему урока).

 – Составьте план своих действий. (Учитель помогает составить план  работы)

 Алгоритм

1. Запишите две различные линейные функции

 у = k1х + b1,  у = k2х + b2.

2. Найти общие точки графиков функций в зависимости от параметров
   k1, b1, k2, b2.
3. Сделайте выводы. От чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций на координатной плоскости?

5. Реализация построенного проекта (5 – 7 мин.)

Цель:

1. Организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом.
2. Организовать фиксацию нового способа действия в речи.
3. Организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона).
4. Организовать фиксацию преодоления затруднения.
5. Организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

 – Теперь  проведем небольшое исследование.

На столах в папке найдите карточку  с заданиями. Выполните самостоятельно 1 задание. (Задание выполняется в парах,  на компьютерах в программе  «Живая математика». В нашем лицее класс на уроки математики делиться на группы, в моей группе 14 человек. Класс оснащен 9 компьютерами)

Задание:

Построить в одной координатной плоскости графики функций:

№1. у = 2х + 6, у = 2х – 5, у = 2х

№2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.

№3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).

– Как расположены графики линейных функций относительно друг друга? Предположите, что влияет на расположение прямых относительно друг друга?

– Итак, что вы получили? Как расположены  прямые в системе координат?  (Слайд 8,9,10)

– Как вы думаете, почему? Что общего вы увидели? В чем различия? Какой вывод можно сделать? (Прямые параллельны. Одинаковые угловые коэффициенты и разные b. Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.  Прямые пересекаются, так как угловые коэффициенты разные. Прямые совпадают, так как угловые коэффициенты равны и числа b равны)

 – Значит, не строя графики функций, можно заранее видеть каково взаимное расположение графиков линейных функций в одной координатной плоскости?

– А теперь докажите это в общем виде. (Работа в группах. 3 группы по 4- 5 человек . Учитель до урока говорит, кто в какой группе работает.  Алгоритм у каждой группы) (Слайд 11)

Возможное исследование групп. (Лицей физико-математический, поэтому такое задание доступно для самостоятельного исследования)

Пусть y = k1х + b1      и      y = k2х + b2 – две различные линейные функции. Решим уравнение:

k1х + b1 = k2х + b2

k1х – k2х = b2 – b1

x(k1 – k2) = b2 – b1

1 случай: если k1 = k2, то есть k1 – k2 = 0;  и  b2 ≠ b1, получаем уравнение

                0⋅x = b2 – b1

- Что можно сказать о решении?

(Нет корней, значит, нет общей точки, следовательно, графики линейных функций параллельны при одинаковых угловых коэффициентах).

2 случай: если k1 = k2 и b2 = b1, получаем уравнение 0⋅х = 0

- Какое решение?

  х – любое число

(Бесконечно много решений, значит, бесконечно много общих точек, следовательно, графики функций совпадают).

3 случай: если k1 ≠ k2, то есть k1 – k2 ≠ 0.

– Имеет ли корни уравнение? Да. Единственный корень. Значит, графики функций пересекаются в одной точке.

(Каждая группа (4 – 5 человек) оформляет свое решение на листе ватмана. Ответы групп заслушиваем у доски. Каждая группа рассматривает только один пункт. Остальные работают на дополнение и уточнение) Слайд 12

– Вы справились с затруднением? Достигли поставленной цели? (Мы доказали справедливость нашего предположения в общем виде)

– Что будем делать дальше?

 – Закреплять новое знание.

6. Первичное закрепление во внешней речи (4 – 5мин.)

 Цель:

1. Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи:

- фронтально;

- в парах или группах.

Фронтально выполнить задание (Слайд 12 открыть затенение экрана)

1)  Назовите несколько примеров функций, графики которых параллельны, пересекают, совпадают с графиком функции  у = 5х – 7.

2) задания выполняются на доске № 1085(г), 1087 (а).

№ 1085(г)

Линейная функция задана формулой  у = . Докажите, что график этой функции параллелен графику функции:

г)   у = .

Решение: г)    у = ,   k1 =

                        у = ,     у = х – ,   k2 = ,  k1 = k2 ,   

график функции   у =     параллелен графику функции  у = .

№ 1087(а)

Докажите, что график функции    у = 4,5х – 7   пересекает график функции:   а)  у = 6х – 1. Найдите координаты точки пересечения.

Решение:   а)   у = 4,5х – 7,  k1 = 4,5

                          у = 6х – 1,    k2 = 6

k1  ≠  k2 , график функции  у = 4,5х – 7 пересекает график функции  у = 6х – 1.

4,5х – 7 = 6х – 1,

1,5х  = - 6,

х = - 4 ,  

у( - 4) =  6 ∙ ( - 4) – 1 = - 25 .   (- 4; - 25) – координаты точки пересечения.

Ответ: ( - 4; - 25).

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (3 – 5 мин.)

Цель:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия.
2. Организовать соотнесение работы с эталоном для самопроверки (в случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно соотнесение  работы с подробным образцом).
3. Организовать вербальное сопоставление работы с эталоном для самопроверки*
4. (в случае, когда способ действия состоит из нескольких шагов – организация пошаговой проверки).
5. По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

* В случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно вербальное сопоставление работы с подробным образцом.

– Что теперь необходимо сделать? (Выполнить самостоятельную работу)

– С какой целью вы будете выполнять самостоятельную работу?

Вариант – 1.

1. Определите угловой коэффициент прямой.

Ответ: а)   у = 3х – 2 ,    б) у = - 2,3х –  2 ,     в) у = 0,7х – 2,    г) у = 2,3х – 2.

2. Как расположены графики функций:   у = 9х + 9     и     у =  9(х + 1)?  

Ответ: а) параллельны;

         б) пересекаются;

         в) совпадают.

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой   у = - 7х – 2.

Ответ:  а)  у = - 2х,    б)  у = -7х,       в)  у =  7х – 2,       г) у = - 7х + 2.

Вариант – 2.

1.Определите угловой коэффициент прямой.

 Ответ: а)   у = - 3х + 2 ,     б)  у = 1,5х + 2,    в) у = - 1,5х + 2,    г) у = 2х + 2.

2. Как расположены графики функций:   у = 5х + 15     и     у =  5(5х + 3)?  

Ответ: а) параллельны;

          б) пересекаются;

          в) совпадают.

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой   у =  4х + 3.

Ответ:  а)  у = 4х,    б)  у = - 4х +3,       в)  у =  - 4х,     г)  у = 3х.

Самопроверка (ответы на слайдах)   В – 1.   1) г;   2) в;   3) б

                                                                  В – 2.   1) в;   2) б;   3) а

8. Включение в систему знаний и повторение (7 – 10 мин.)

Цель:

1. Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.
2. Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

Задание 1:  Задайте линейную функцию, графиком которой является прямая, проходящая через точку  А(2;6) и параллельная графику функции у = 1,5х –3.

Решение:   Т.к. график функции у = kx + b   параллелен прямой  у = 1,5х – 3, то k = 1,5.

Т.к. график функции проходит через точку А(2; 6), то верно равенство

6 = 1,5 ∙ 2 + b,  

b = - 3,   тогда у = 1,5х + 3.

Ответ: у = 1,5х + 3.

 Задание 2: Постройте график функции у = kx + b, если он параллелен прямой  у = 2х  + 11   и пересекается с графиком     у =  х – 3   в точке лежащей на оси ординат.

Решение:   Т.к. график функции   у = kx + b   параллелен прямой  у = 2х  + 11, то  k = 2.

Т.к. график функции   у = 2x + b   пересекается с графиком     у =  х – 3   в точке лежащей на оси ординат, то  при  х = 0,    у = - 3 , т.е. график проходит через точку с координатами   (0; - 3).

 - 3 = 2 ∙ 0 + b,   b = - 3,  тогда  у = 2х -3

9. Рефлексия деятельности на уроке (2 – 3 мин.)

Цель:

1. Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.
2. Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся.
3. Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.
4. Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направлений будущей учебной деятельности.
5. Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

– Подведем итоги: что нового вы узнали на уроке? (Что взаимное расположение графиков  линейных функций зависит от коэффициентов)

– Где будете использовать  новые  знания? (При решении задач.)

– Поднимите руку, кто может определить, как расположены графики линейных функций в системе координат, не выполняя построения графиков? Определить вид графика? 

– Проанализируйте свою работу на уроке и заполните карточки рефлексии.

– Выберете домашнее задание, после того, как оцените свой уровень работы на уроке. (Дифференцированное домашнее задание. Ученикам, у которых не возникали затруднения в ходе решения задач, предлагается выполнить вариант 2)

Домашнее задание: п.39,стр.235

В – 1:     № 1086(а,в), 1085(а,в), 1087(б,г), 1088(а,в),.              

В*–2: 1) № 1087(б,г), 1091(а); 2) Постройте прямую, если ее угловой коэффициент равен – 0,5 и она проходит через точку ( - 6; 4). Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен указанной прямой и пересекает ось у  в точке  (0; 5).

Дополнительные задания (при наличии времени и для  тех учащихся, кто справился с работой раньше других)

№3. График прямой пропорциональности – прямая, параллельная графику линейной функции, проходящему через точки  А(0,5; 25) и  В(0,25; 0). Задайте эту прямую пропорциональность формулой.

 №4. При каком значении с прямые  4х + 3у = с  и  2х – 3у = 8  пересекаются в точке, принадлежащей: а) оси х;   б) оси у?

№5. Постройте график функции  у =  kx + b, если он перпендикулярен прямой   у =  - х + 15 и проходит через точку  К( - 2;4).

Комментарии к сценарию

 Использованная литература: 

1. учебник Алгебра – 7, с углубленным изучением математики Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.

2. Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации. Феоктистов И.Е.

3. Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы. Зив Б.Г., Гольдич В.А.

Место данной темы в образовательной программе.

На раздел «Функция»  в программе для классов с углубленным изучением математики  отводится 21 час, на тему «Линейная функция» -  8 часов, из них 3 часа изучается «Взаимное расположение графиков линейных функций».

Планируемые результаты:

Предметные:

Учащиеся должны знать: что взаимное расположение прямых зависит от значения угловых коэффициентов этих прямых.

Учащиеся должны уметь: строить графики линейных функций; определять взаимное расположение прямых по виду их уравнений.

Личностные:

уметь проводить самооценку на основе карты рефлексии.

Метапредметные:

Уметь  определять  и  формулировать  цель  на  уроке  с  помощью  учителя; планировать  свое  действие  в  соответствии  с  поставленной  задачей;  вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок (Регулятивные УУД).

Уметь  слушать  и  понимать  речь  других;    оформлять  свои  мысли  в  устной форме (Коммуникативные УУД).

Уметь  ориентироваться  в  своей  системе  знаний;  осуществлять  анализ объектов; находить ответы на вопросы в тексте, иллюстрациях;  преобразовывать информацию   из   одной   формы   в   другую:  составлять   ответы   на   вопросы (Познавательные УУД).