Повторяем действия с обыкновенными и десятичными дробями.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Обыкновенной дробью называется число вида  где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем.

Если n = 1, то дробь имеет вид    и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Обыкновенная дробь   называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя, то есть m < n. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя, то есть m > n.

Две дроби    и  называются равными, если 

Например,   так как     Из этого определения следует, что дробь    равна любой дроби вида  где m – натуральное число. Итак

Правило1. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной. (Основное свойство дроби)

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например,   (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например,  – несократимая дробь.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанной дроби. Для этого нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Неполное частное – целая часть смешанной дроби, остаток от деления – числитель дробной части, знаменатель дробной части равен знаменателю исходной неправильной дроби.

Например:          14:3=4 (ост. 2)                       

                                   Неполное частное

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби. . Краткая запись

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например,       

 Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например,   

Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Пусть, например, даны две дроби    и  .Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим  . Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим=  Итак, две дроби  и  приведены к общему знаменателю:  и =

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит,    Следовательно,  .

  Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби    можно привести к знаменателю 56. В самом деле: 

Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:

Решение

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

Сложение. 

Правило2. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, знаменатель остаётся прежним, то есть +=

Правило2а. Чтобы сложить смешанные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их целые и дробные части . Например

Правило 3. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями , дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Правило 3а

Чтобы сложить смешанные дроби с разными знаменателями , дробные части нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше. Например :  

Вычитание. 

Правило 4. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то -=

Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.

Умножение. 

Правило 5. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть 

Деление. 

Правило 6. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно деление заменить умножением на дробь обратную делителю. .

Например:

В случае умножения и деления смешанных чисел нужно перейти к неправильным дробям.      

Сложение чисел с одинаковым знаком.

а) При сложении двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины (модули) и перед суммой ставится общий их знак.

Примеры.
(+8) + (+11) = 19;                            (-7) + (-3) = -(7+3)= -10.

б) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (из большей вычитаем меньшую) и ставится знак того числа, у которого абсолютная величина(модуль)  больше.

Примеры.
(-3) + (+12) =12-3= 9;                                     (-3) + (+1) = - (3-1)= -2.

Вычитание (сложение) чисел с разными знаками.

Вычитание одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берется со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.

Примеры.
(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3; 

(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11; 
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;                                    (-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;

Замечание. При выполнении сложения и вычитания, особенно когда имеем дело с несколькими числами, лучше всего поступать так: 
1) освободить все числа от скобок, при этом перед числом поставить знак « + », если прежний знак перед скобкой был одинаков со знаком в скобке, и « - », если он был противоположен знаку в скобке; 
2) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак +; 
3) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак -; 
4) из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.

Пример.
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2=

=(17 + 2)+(-30-6-12) = 19+(-48)=-(48-19)=-29; 

Умножение чисел с разными знаками

При умножении двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.

Правило знаков при умножении:

Примеры. 
( + 2,4) * (-5) = -12; 
(-2,4) * (-5) = 12; 
При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей четно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечетно.

Примеры. 
(+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = -14 (три отрицательных сомножителя);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (два отрицательных сомножителя).

Деление чисел с разными знаками

При делении одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что для умножения).

Примеры. 
(-6) : (+3) = -2;        (+8) : (-2) = -4;              (-12) : (-12) = + 1.

Десятичные дроби

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000, … называют десятичной дробью. В записи десятичной дроби целая часть от дробной отделяется запятой.

Например

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении (вычитании) десятичных дробей числа  записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая под запятой, далее складывают (вычитают) как натуральные числа.

0,132                           9,871                   16,200

2,354                           7,320                     4,752  

2,486                            2,551                   11,448

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обеих множителях вместе.

     12,27      две цифры после запятой

     0,021     три цифры после запятой     2+3=5 , следовательно в произведении 5 цифр после

     1227       запятой

  2454

 0,25767

Деление десятичных дробей.

1. Деление десятичной дроби на натуральное число.

Делим целую часть десятичной дроби на натуральное число, ставим запятую и продолжаем последовательно делить десятые, сотые и т. д.

426, 12 : 12= 35,51                                          426, 12      12

                                                                          36             35, 51

                                                                            66

                                                                             60

                                                                               61

                                                                               60

                                                                                 12

                                                                                 12

                                                                                   0

2. Деление на десятичную дробь.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, затем выполнить деление на натуральное число

 1,25 : 1,6 =12,5 : 16                                           12,5               16

                                                                             11 2

                                                                                1 30

                                                                                 12 8

                                                                                      20

                                                                                      16

                                                                                        40

                                                                                         32

                                                                                         12

                                                                                         12

                                                                                            0

Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.

П р и м е р .  Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .   Деля 5 на 8, получаем 0, 625. ( Проверьте, пожалуйста! ).

В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.

П р и м е р .  Обратить 1 / 3  в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .  Деление 1 на 3 будет бесконечным:  1:3 = 0.3333… . 

                         Несократимую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если в знаменателе обыкновенной дроби 2, 5 или их комбинация (2, 4, 8, …. – степени двойки, 5, 25, … - степени пятерки, 20, 40, …. Комбинация степени двойки и пятерки)