Решение тригонометрических уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10, 11 класс)
Задание 13 профильного уровня ЕГЭ. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и показаны различные способы отбора корней.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 reshenie_trigonometricheskih_uravneniy.pptx | 1.62 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
I. Простейшие тригонометрические уравнения- это уравнения вида: Каждое из таких уравнений решается по формулам: , c
II. Основные методы решения уравнений 1. Замена переменной и сведение к квадратному уравнению Пример №1 . 1 a ) Решите уравнение:
, Решение:
Проведём отбор корней различными способами . 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
2.Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней. ,
3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.
4.Функционально-графический способ При решении тригонометрических уравнений иногда используются графики тригонометрических функций. Схематично изобразим графики функций y= cos х ,y=0,5, y =1 . И найдем абсциссы точек пересечения на заданном отрезке . х У=1 У=0,5 у
Пример № 1.2 а) Решите уравнение : . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение: . . . .
Проведем отбор корней одним из способов. Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ:
Пример №1.3 а) Решите уравнение Решение: a cosx + b sinx = C sin(x+ ), где Метод вспомогательного аргумента. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Проведем отбор корней одним из способов . Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ:
2. Разложение на множители Пример №2 . 1 а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: или или
б) Проведем отбор корней различными способами . 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. .
2.Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений . 0 . у х В указанном отрезке содержаться три корня уравнения
4.Функционально-графический способ Х у .
Пример № 2.2 а) Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу . Решение: или
б ) Проведем отбор одним из способов 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. , ,
, Ответ: , ,
3. Приведение к однородному уравнению 3. 1.Однородное линейное тригонометрическое уравнение. Пример № 3 . а)Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: . Если cos2x=0 , то и sin2x=0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому cos2x отличен от нуля и на него можно разделить обе части уравнения. , , .
б) Проведем отбор одним из способов Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
3.2. Однородное квадратное тригонометрическое уравнение Пример № 4. а)Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Если cos 2 x =0 то из уравнения следует, что sin 2 x =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому cos 2 x =0 отличен от 0, на него можно поделить обе части уравнения:
б) Проведем отбор одним из способов При отборе корней в данном уравнении удобно использовать тригонометрическую окружность, так как одна из серий решения содержит значения обратных тригонометрических функций, которые не являются табличными. ,
4.Метод вспомогательного аргумента. a cosx + b sinx = C sin(x+ ), где ᵩ - вспомогательный аргумент , или Пример №5 . а) Решите уравнение: б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. 0 x .
5. Универсальная тригонометрическая подстановка . Уравнения вида F( sinx , cosx , tgx ) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки , выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла по формулам Но при данной замене может быть потеря корней Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить отдельно. Пример №6 . а)Решите уравнение : 2+sin2x=3tgx. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Заменим sin 2 x через tgx . Данная замена не сужает ОДЗ, поэтому не приведет к потере корней. Так как сумма коэффициентов равна 0, то t =1-корень уравнения. Получим ( t -1)(3 t 2 + t +2)=0 Второй множитель корней не имеет, так как дискриминант отрицателен. Тогда получим
б) Проведем отбор одним из способов Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
III . Тригонометрические уравнения, содержащие ОДЗ Пример №7.1. а) Решите уравнение : б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, то
б) Проведем отбор одним из способов Функционально-графический способ
Решение:
б ) Проведем отбор корней одним из способов 3.Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. 0
IV. Функционально-графический способ . Пример №8 . а)Решите уравнение : sinx+sin9x=2 Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-2π 0;] Решение: Так как -1≤ sint ≤1, то данное равенство возможно только при условии, что каждое из слагаемых будет равно 1. Найдем такие целые значения n и m , при которых решения в полученных сериях совпадают, т.е. Подставляя во второе уравнение найденное значение для k получим
б) Проведем отбор корней одним из способов 1.Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Ответ : а)
V . Комбинированные уравнения. Пример № 9 . б ) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. Заданному промежутку принадлежит одна точка ,
Пример №10 . а)Решите уравнение: б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
б) Проведем отбор одним из способов Заданному промежутку принадлежат 3 точки. Геометрический способ: изображение корней на единичной окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.
Задачи для самостоятельного решения. II 1.а) Решите уравнение . б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку 2. а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 3.а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения на интервале 4.а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 6. б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
III . 7. a) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 8.а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 9. б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
IV . 11. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 12. а) Решите уравнение б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 1 3 . Решите уравнение 1 4 . Решите уравнение
V . 15. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 16.а) Решите уравнение: б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку . 18.а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 1 9. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 20.а) Решите уравнение б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Литература Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – Математика ЕГЭ 2012. Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ » https://ege.sdamgia.ru/ . Образовательный портал «Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике» https://math100.ru/ . Математический портал https://www.mathm.ru/
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений
видеоурок интегрированного урока по математике и информатике...
урок по теме "Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений"
Класс 10Урок закрепления....
решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул
конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...
урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»
Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений,...
Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.
Вопросы, включенные в программу курса недостаточно изложены в школьных учебниках, поэтому необходимо расширить количество часов, отводимых на их изучение и круг задач, связанных как ...
Конспект урока «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга»
Конспект урока в 10 классе по теме «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга» с использованием интерактивных презентаций по объяснению и тренажеры по проверке усв...
Карта урока по теме:Повторение. Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений.
Карта урока по теме:"Повторение. Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений."Образовательная цель: Коррекция и тренинг изученных понятий, формул, приемов и ...