Неравенства. Общие свойства
консультация по алгебре

Неравенства. Общие свойства

Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.

Из двух чисел a и b справедливо одно из следующих соотношений: а > b, а < b, a = b.

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если разность a – b положительна, то а > b; если разность а – b отрицательна, то а < b; если разность а – b равна нулю, то a = b.

Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.

Неравенства а > b и а < b называют строгими неравенствами. Рассматриваются также нестрогие неравенства:

• неравенство a ≥ b, читают «а больше или равно b», или «а не меньше b»; это неравенство верно, если а > b или a = b
• неравенство a ≤ b, читают «а меньше или равно b», или «а не больше b»; это неравенство верно, если a < b или a = b.

Например, верными являются неравенства 7 ≥ 2, 7 ≥ 7, 5 ≤ 6.

Справедливы следующие свойства неравенств:

• (1) если а > b, то b < а;
• (2) если а > b и b>с, то а > с (транзитивность неравенства);
• (3) если а > b и с – любое число, то a + с > b + с;
• (4) если а > b и с > 0, то ac > bc; если a > b и с < 0, то ас < bс;
• (5) если а > b и c > d, то a + с > b + d;
• (6) если а > b и с > d и a, b, с, d – положительные числа, то ас > bd.

Свойство (3) читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить любое число. Слово «можно» здесь (и далее) означает, что при таком преобразовании получается неравенство, равносильное данному, т. е. оно будет верным, если данное неравенство было верным, и неверным, если исходное неравенство было неверным. Из этого свойства следует, что любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на –1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства –10 < 2, получим 10 > –2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b < с, получим –а ≥ –b > –с, или в более привычной записи –с < –b ≤ –а.

Свойства (5) и (6) читают так: неравенства одного знака можно почленно складывать; неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать.

Аналогичные неравенства справедливы и для знаков >, <, ≥, ≤.

Примеры решения задач на неравенства

Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и

b. Выберите из следующих утверждений верное.

1) а – b < 0;                2) а – b < –2;
3) а – b > –2;              4) а – b > 2

При выполнении задания используется определение понятий «больше» и «меньше» и свойство транзитивности. Из рисунка видно, что а > b. Отсюда а – b > 0. Значит, неравенства 1 и 2 не являются верными. Рассмотрим неравенство 3. Так как a – b > 0 и 0 > – 2, то a – b > – 2, т. е. это утверждение верно. Убедимся на всякий случай в том, что неравенство под номером 4 не является верным. Действительно, из а – b > 0 не следует, что a – b >2, так как, например, при а=1, b = 0 разность а – b равна 1, т. е. меньше 2.

Ответ: 3.

Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию:  I. ху > 200;   II. ху > 100;   III. ху > 400 ?

1) I и II                        2) I и III           3) II и III          4) I, II и III

Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.

Ответ: 1.

Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b:   10 < a < 11,   4 < b < 5.

Неравенства одинакового смысла можно складывать, поэтому заменим разность суммой: a + (–b) и найдём границы числа –b:   –4 > –b > –5, или –5 < –b < –4. Теперь сложим почленно двойные неравенства: 10 < a < 11 и –5 <–6 < –4, получим 5 < a – b < 7.

Пример 4. Докажем, что если a и b – положительные числа, то а2 > b2 в том и только в том случае, когда а > b.

Воспользуемся алгебраической трактовкой отношения «больше». Сначала докажем, что если а > b > 0, то а2 > b2. Для этого рассмотрим разность а2 – b2:

а2 – b2 = (а – b) (а + b).

Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а2– b2 > 0, отсюда следует, что а2 > b2. Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а2 > b2, то а > b:

а2 – b2 = (а – b) (а + b).

Из того что а2 > b2, следует, что а2 – b2> 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b.