Урок по теме "Графическое решение квадратных уравнений"
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Приветствие учащихся.

Фиксация отсутствующих на уроке.

   Проверка подготовленности к уроку: наличие учебника, тетради, письменных принадлежностей.

   Приветствие учителя.

Дежурные называют отсутствующих

в классе ребят.

   Проверяют наличие учебных

принадлежностей.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке?

   Как называется функция вида:

 y = +b +c?

   Что представляет собой график квадратичной функции?

   Как найти координаты вершины параболы y = +b +c?  

   Верно. Давайте вспомним, по какому алгоритму мы строили графики квадратичной функции.

    На прошлом уроке мы занимались построением графиков функции

 y = +b +c.

   Данная функция называется квадратичной.

   График квадратичной функции – это парабола.

   Координаты вершины параболы () мы вычисляем по следующим формулам:

   Графики данной квадратичной функции мы строили по следующему алгоритму:

1. Определить коэффициенты

a, b и c.

2. Найти абсциссу вершины и ось симметрии.
3. Вычислить ординату вершины .
4. Найти контрольные точки для функции .
5. Построить параболу по найденным точкам от вершины относительно оси симметрии.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Откройте тетради, запишите дату, классная работа.

   Постройте график функции

   Чему равны коэффициенты

a, b и c?

Чему равна абсцисса вершины .

Чему равна ордината вершины параболы.

Найдите контрольные точки для функции .

И по найденным точкам постройте параболу от вершины относительно оси симметрии.

Хорошо. А что произойдет, если заменить yна 0?

   Как называется такое выражение?

   Умеем ли мы решать такие уравнения?

   Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

   Как вы думаете, можно ли использовать наше умение строить график функции для решения уравнения +b +c=0?

   Какова цель урока?

   Выполняют построение графика функции самостоятельно в тетради, по ранее изученному алгоритму. После проверяем около доски.

1. Коэффициенты равны:

a=1, b=-2, c=-3.

2.

x=1 – ось симметрии.

3. ;

   (1; -4) – вершина параболы.

4.

5.

   Если заменить yна 0, то получим выражение .

   Такое выражение называется уравнением.

   Нет, мы не умеем решать уравнения такого вида.

   Сегодня на уроке мы будем учиться решать уравнения вида +b +c=0.

   Высказывают свою точку зрения.

   Научиться решать уравнения вида +b +c=0 графическим способом.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

И так, мы определили цель сегодняшнего урока, давайте сформулируем тему урока.

Запишите тему сегодняшнего урока.

   Давайте вернемся к полученному нами уравнению .

  Как вы думаете, можем ли мы решить данное уравнение, используя ранее построенный график?

   Ребята, а где на по построенном графике находится прямая y = 0?

  Верно.

И для того, чтобы найти решение исходного уравнения, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ.

   В каких точках график функции

пересекает ось ОХ?

   Правильно, чему равны абсциссы найденных точек?

Решили ли мы данное уравнение?

   А теперь давайте подставим найденные числа в данное уравнение.

  Что у нас получилось?

   Следовательно, найденные числа действительно являются корнями уравнения.

  Что запишем в ответ?

  А теперь давайте составим алгоритм решения уравнений вида +b +c=0 графическим способом.

   Что мы делали, для того чтобы найти корни уравнения?

   Верно. Как мы будем строить график данной функции?

  А что мы делали после построения графика функции?

  Все наши действия можно записать в следующий алгоритм.

Алгоритм решения уравнений вида +b +c=0 графическим способом:

1. Определить коэффициенты

a, b и c.

2. Найти абсциссу вершины и ось симметрии.
3. Вычислить ординату вершины .
4. Найти контрольные точки для функции .
5. Построить параболу по найденным точкам от вершины относительно оси симметрии.
6. Найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.
7. Найти абсциссы точек пересечения. – это и есть корни уравнения.

   Замечание:

   Однако, графическим способом мы можем решить не всякое квадратное уравнение.

   Например,

 – невозможно определить по графику функции чему равны корни уравнения.

–ограниченные размеры тетрадного листа не дают построить график исходной функции с такими коэффициентами.

Формулируют тему урока: «Графическое решение квадратных уравнений».

   Записывают тему урока в тетрадь.

   Высказывают свои предположения.

   Прямая y = 0 совпадает с осью ОХ.

   График функции

пересекает ось ОХ в двух точках: (-1; 0) и (3; 0)

 Абсцисса первой точки:

 Абсцисса второй точки:

   Да, решили.

   Самостоятельно подставляют найденные корни в исходное уравнение:

;

   В ответ запишем: -1; 3.

   Нужно построить график функции +b +c.

  График данной функции мы будем строить по ранее изученному алгоритму.

  Искали точки пересечения построенного графика функции с осью ОХ.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   У каждого на столе лежат карточки с алгоритмом решения уравнений вида +b +c=0 графическим способом. Выполним следующие задания на применение данного алгоритма.

   Работа с задачником:

Откройте задачник на странице 145, выполним упражнение 23.1 (а,б) письменно.

№ 23.1 Решите уравнение двумя способами – графическим и аналитическим:

а)

   Как будем решать заданное уравнение?

   Какой общий множитель можно вынести за скобку?

   Верно. Вынесем общий множитель за скобку и что у нас получится?

   Сколько корней имеет полученное уравнение?

   Что запишем в ответ?

   Верно. Теперь перейдем к решению уравнения графическим способом.

    Как мы будем решать данное уравнение?

   Что нужно сделать первым шагом?

   Правильно. Чему будут равны коэффициенты a, b и с?

   Теперь давайте найдем вершину параболы. Чему будут равны  и ?

   Какими координатами будет задана вершина параболы?

   Верно. Что нужно сделать следующим шагом?

  Постройте параболу самостоятельно.

   А теперь найдем корни уравнения. Где мы из будем искать?

   Верно, а теперь запишем ответ.

  Выполним это же упражнение под буквой б:

б)

   (рассуждения по поиску решения аналогичны предыдущему уравнению).

№ 23.2 Решите уравнение двумя способами – графическим и аналитическим:

а)

   Как будем решать заданное уравнение?

Разложим на множители левую часть данного уравнения, что у нас получится?

   Верно. Сколько корней имеет полученное уравнение?

   Что запишем в ответ?

Верно. Теперь перейдем к решению уравнения графическим способом.

    Как мы будем решать данное уравнение?

   Что нужно сделать первым шагом?

   Правильно. Чему будут равны коэффициенты a, b и с?

   Теперь давайте найдем вершину параболы. Чему будут равны  и ?

   Какими координатами будет задана вершина параболы?

   Верно. Что нужно сделать следующим шагом?

  Постройте параболу самостоятельно.

   А теперь найдем корни уравнения. Где мы из будем искать?

   Верно, а теперь запишем ответ.

б)

   (рассуждения по поиску решения аналогичны предыдущему уравнению).

  Чем отличались эти задания друг от друга? Какие трудности появились при их выполнении?

№ 23.4 Решите графически уравнение:

а)

   Как будем решать исходное уравнение?

   Что нужно сделать первым шагом?

   Правильно. Чему будут равны коэффициенты a, b и с?

   Теперь давайте найдем вершину параболы. Чему будут равны  и ?

   Какими координатами будет задана вершина параболы?

   Верно. Что нужно сделать следующим шагом?

  Постройте параболу самостоятельно.

   А теперь найдем корни уравнения. Где мы из будем искать?

   Верно, а теперь запишем ответ.

б)

     (рассуждения по поиску решения аналогичны предыдущему уравнению).

№ 23.6 Решите графически уравнение:

а)

 (рассуждения по поиску решения аналогичны предыдущему уравнению).

б)

(рассуждения по поиску решения аналогичны предыдущему уравнению).

Дополнительно:

№ 23.13 Выясните, сколько корней имеет уравнение:

б)

   Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы узнать количество корней исходного уравнения?

   Открывают задачник на указанной странице, и приступают к выполнению упражнения самостоятельно.

   Один человек выполняет около доски, остальные решают самостоятельно.

а)

Аналитический способ:

  Заданное уравнение будем решать вынесением общего множителя за скобки.

   За скобку можно вынести: x.

  При вынесении общего множителя за скобку получим:

   Полученное уравнение имеет 2 корня:    или    ;

    или  

   Ответ: 0; 2.

Графический способ:

   Данное уравнение будем решать по выведенному ранее алгоритму.

   Для начала нужно определить, чему равны коэффициенты a, b и с.

   Коэффициенты будут равны: a = 1, b = -2, c = 0.

 – ось симметрии;

 – вершина параболы.

   Нужно построить график функции относительно полученной оси и вершины параболы.

   Контрольные точки для :

  Найдем абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ.    

; .

Ответ: 0; 2.

   Решают самостоятельно, один человек решает около доски:

б)

Аналитический способ:

 или  

;

Ответ: 0; 6.

Графический способ:

    1. a = -1, b = 6, c = 0.

    2.  – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. Находим корни уравнения (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ):

; .

Ответ: 0; 6.

   Выполняют упражнение самостоятельно, один человек решает около доски.

   а)

Аналитический способ:

  Данное уравнение будем решать разложением многочлена на множители, с помощью формулы разность квадратов:

 Разложив на множители получим:

   Полученное уравнение имеет два корня:

 или   ;

     или      

Ответ: -2; 2.

Графический способ:

   Данное уравнение будем решать по выведенному ранее алгоритму.

Для начала нужно определить, чему равны коэффициенты a, b и с.

Коэффициенты равны:

a = 1, b = 0, c = -4.

 – ось симметрии;

 – вершина параболы.

   Нужно построить график функции относительно полученной оси и вершины параболы.

   Контрольные точки для :

 Найдем абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ:

; .

Ответ: -2; 2.

б)

Аналитический способ:

 или   ;

     или      

  Ответ: -1; 1.

Графический способ:

    1. a = -1, b = 0, c = 1.

    2.

 – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. Находим корни уравнения (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ):

;          .

Ответ: -1; 1.

  В первом задании мы решали уравнение вынесением общего множителя за скобки, а во втором разложением на множители при аналитическом способе. Так же в первом задании коэффициент с=0, а во втором коэффициент b=0.

   Называют трудности, с какими столкнулись при выполнении заданий.

   Решают упражнение самостоятельно, один человек около доски.

   Данное уравнение будем решать по ранее алгоритму, выведенному вначале урока.

   Для начала нужно определить, чему равны коэффициенты a, b и с.

   Коэффициенты равны:

a = 1, b = 2, c = -3.

 – ось симметрии;

 – вершина параболы.

   Нужно построить график функции относительно полученной оси и вершины параболы.

 Контрольные точки для :

Найдем абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ:

;          .

Ответ: -3; 1.

   б)

    1. a = 1, b = -4, c = 3.

    2.

 – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. Находим корни уравнения (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ):

;          .

Ответ: 1; 3.

   Решают упражнение самостоятельно, по выведенному алгоритму, один человек решает около доски.

а)

    1. a = -1, b = 6, c = -5.

    2.

 – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. Находим корни уравнения (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ):

;          .

Ответ: 1; 5.

б)

    1. a = -1, b = -6, c = -8.

    2.

 – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. Находим корни уравнения (абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ):

;          .

Ответ: -4; -2.

   Дополнительное задание решается учащимися, если останется время до конца урока.

   Для того чтобы узнать количество корней данного уравнения, построим график функции  и найдем его пересечение с осью ОХ.

    1. a = 1, b = 6, c = 9.

    2.

 – ось симметрии;

3.

 – вершина параболы.

4. ;

5. График функции

 пересекает ось ОХ в одной точке, следовательно, уравнение имеет один корень

Ответ: 1 корень.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

      У каждого на столе лежит лист для самооценки.

    Отметьте тот смайл, который

отражает ваше впечатление от

пройденного урока. Как вы

оцениваете свою работу?

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Чем мы занимались сегодня на уроке?

   По какому алгоритму мы решали квадратные уравнения графическим способом?

    Ко всем ли квадратным уравнениям применим графический способ решения?

   Приведите примеры таких уравнений?

   По какой причине данный алгоритм не применим к исходным уравнениям?

  Какой отсюда можно сделать вывод?

   Выставление оценок за урок.

   Сегодня на уроке мы учились решать квадратные уравнения графическим способом.

   Мы решали квадратные уравнения по следующему алгоритму:

1. Определить коэффициенты

a, b и c.

2. Найти абсциссу вершины и ось симметрии.
3. Вычислить ординату вершины .
4. Найти контрольные точки для функции .
5. Построить параболу по найденным точкам от вершины относительно оси симметрии.
6. Найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.
7. Найти абсциссы точек пересечения. – это и есть корни уравнения.

   Нет, не ко всем.

   Например,

.

   Данный алгоритм не применим т.к. невозможно определить по графику функции чему равны корни уравнения, размеры тетрадного листа не дают построить график функции с большими коэффициентами.

   Алгоритм решения квадратных уравнений графическим способом применим только для тех функций, коэффициенты которых невелики, и значение корней уравнения, которых можно определить по графику.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   А теперь откройте дневники и запишите домашнее задание:

  п. 23 с.127;

Для тех, кто учится на «3»:

№23.2 (в, г), 23.4 (в, г).

Для тех, кто учится на «4, 5»:

   № 23.4 (в, г), 23.13 (в, г).

   Открывают дневники и записывают задание на следующий урок.