Использование монотонности и непрерывности функций при решении неравенств различного типа

В различных математических пособиях приведено множество разных схем для решения неравенств различного типа. Чаще всего это логарифмические неравенства различного типа или иррациональные неравенства.

Одной из наиболее часто встречающихся схем, является схема решения логарифмического неравенства с переменным основанием.

Задумаемся, а как получилась данная схема.

Рассмотрим неравенство:

Оно равносильно системе:

Задумаемся, а почему это так. Ясно, что логарифмическая функция с основанием логарифма 2 является возрастающей, следовательно , большему значению аргумента соответствует большее значение функции и обратно большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, если нас интересует знак выражения,  мы от функции можем перейти к аргументу. В схеме (1) множитель ( h(x)-1)  учитывает  характер  монотонности  функции.

Подобную идею можно применять ко многим неравенствам. Понятно, что при этом необходимо записывать и учитывать   область допустимых значений исходного неравенства (ОДЗ). Рассмотрим, например, такое неравенство:

Перепишем его в виде:

И дальнейшее решение:

                                    X

                                             -2    -1                   2                   5

                        X

                                                                                          4

Также, существенно упростить решение неравенств может свойство непрерывности функции. Известно, что непрерывная функция может поменять  знак только или при переходе через корень или при переходе через разрыв в области определения.

Рассмотрим, например, такое неравенство:

Рассмотрим функцию:

Найдем ее корни и область определения:

Нанесем ее корни и границы области определения на числовую ось.

Определим знак функции на правом конце:

И ответ:

Такие идеи , конечно, требуют от учащихся определенной  математической эрудиции и умения применять знания о свойствах функций к решению неравенств, но с другой стороны, существенно упрощают решение некоторых неравенств.