Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации

и профессиональной переподготовки работников образования

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ

Итоговая аттестационная (проектная) работа

Элективный курс

«Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Работа выполнена:

слушателями курсов повышения квалификации учителей

Серебряковой Н.М., учителем математики I квалификационной категории МБОУ «Малошильнинская СОШ» Тукаевского муниципального района РТ,

Гатиной Г.И., учителем математики II квалификационной  категории  МБОУ «Лицей №4 города Азнакаево» Азнакаевского муниципального района, РТ

Руководитель проекта:

Гильмуллин М.Ф.,

доц. кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ, к.п.н., доцент

Работа допущена к защите:

Анисимова Т.И.

зав. каф. мат. анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ к.п.н., доцент

____________________

(подпись)

Елабуга, 8-26 октября 2012 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………….3

Глава 1. Методико-математические особенности разработки

элективных курсов и теория использование свойств

 функций при решении уравнений и неравенств ………………………..9

1.1. Цели изучения математики в старшей школе

на базовом и профильном уровнях ………………………………………9

1.2. Использование свойств функций при решении уравнений

и неравенств………………………………………………………………..11

1.2.1.    Общие методы решения уравнений………………………….....11

1.2.2. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств……………………………………………………………….....11

Глава 2. Программа элективного курса по математике

«Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

2.1. Пояснительная записка ……………………………………………...18

2.2. Цели изучения курса «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств» ………………………………..………………..18

2.3. Требования к знаниям и умениям …………………………………..19

2.4. Формы контроля ……………………………………………………..19

2.5. Тематическое планирование учебного материала ………………....20

Заключение …………………………………………………………………21

Список использованной литературы …………………………………… 24

Приложение…………………………………………………………………24

Введение

Модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей. Большую роль в формировании математических способностей играют элективные курсы (курсы по выбору).

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы. Концепция модернизации российского образования на период до 2015 г. предусматривает создание “системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда… отработка гибкой системы профилей”.[17] Широкий переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации начался с 2006/07 учебного года.

В России имеется опыт дифференцированного обучения. В 1864 г. было введено разделение образования на два типа - “классическое” (открывающее путь для поступления в университет) и реальное. Проект реформы образования 1915–1916 гг. предусматривал разделение на три варианта: новогуманитарное, гуманитарное и реальное образование. С 1918 по 1934 г. в старших классах выделялось три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. В 1934 г. были введены единые учебные планы и единые учебные программы. Но дальнейшее развитие социалистического строительства вызвало необходимость дифференциации обучения. Для этого, наряду с развитием системы школ (классов) с углубленным изучением отдельных предметов, в 1966 г. были организованы массовые факультативные курсы в общеобразовательных школах.

В 1970–1980 гг. обучение старшеклассников было связано с получением массовых профессий в системе учебно-производственных комбинатов. Однако этот опыт оказался малоэффективным: существенные затраты на узкопрофильное обучение не восполнялись из-за невостребованности этих профессий на рынке труда. Федеральный закон “Об образовании”, принятый в 1992г., открыл возможности для создания широкого спектра общеобразовательных учреждений (лицеев, гимназий, колледжей), широко реализующих вариативные программы обучения, в том числе и профильной предпрофессиональной подготовки [15].

В настоящее время программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира [32]. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объем знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращается. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [18] особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Мотивами для выбора элективного курса у учеников могут быть следующие:

- подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

- поддержка изучения базового курса математики;

- заинтересованность математикой;

- профессиональная ориентация.

Реальная организация профильного обучения в школах сегодня далека от совершенства. Время, отведенное на профильные и элективные курсы, в основном, используется для закрепления и углубления материала обязательного содержания образования. В их тематических планах большая часть вопросов связана с подготовкой к сдаче предстоящих экзаменов, а также ЕГЭ. Таким образом, нарушаются концептуальные принципы профильного обучения. Вопросы разработки программ и методических материалов по элективным курсам для предпрофильной подготовки и профильного обучения учащихся сегодня решены не до конца.

В настоящее время научно-методические исследования проблем профильного обучения развертываются полным ходом. Например, этим проблемам был посвящен Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов под руководством А.Г. Мордковича [Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы XXV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. – Киров; М.: ВятГГУ, МГПУ, 2006. – 300 с.]. Летний тематический номер (2007. – № 14) учебно-методической газеты «Математика» посвящен вопросам разработки элективных курсов (см., например, [Лукичева Е.Ю. Разработка элективных курсов: опыт, проблемы, решения // Математика. – 2007. –№ 14. – С. 3-5.]), где опубликованы и примерные программы таких курсов для предпрофильной подготовки и профильного обучения. Опубликован сборник программ элективных курсов, разработанных Национальным фондом подготовки кадров. В принципе, можно считать, что требования к разработке элективных курсов определены.

Среди этих требований, приоритетными в изучении элективных курсов считаются междисциплинарная интеграция, содействие становлению целостного мировоззрения, практическая ориентированность, обучение через опыт и сотрудничество, учет индивидуальных потребностей учащихся. Поэтому в этой системе обучения ведущими должны стать активные поисковые методы и формы работы: исследовательские, проектные, информационные.

Элективные курсы решают также проблему фундаментальности математического образования, так как ее современное понимание включает не только готовые знания, но и опыт творческой деятельности и эмоционально-ценностных отношений. Они решают и многие другие задачи профильного обучения. Это положительная мотивация обучения математике, повышение общей математической культуры, установление связи между различными частями математики, изучение математики в прикладном аспекте, реализация деятельностного подхода в обучении. В рамках любого такого курса есть возможность обучения работе с дополнительной литературой, написанию рефератов, проектов. Учащиеся овладевают элементами исследовательской деятельности, связанной с поиском, отбором, анализом, обобщением материалов и представлением результатов.

В обязательный минимум содержания программы по алгебре профильного уровня входит исследование функций и использование свойств функций для решения уравнений и неравенств.

В курсы может быть включен материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Он составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы. Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений  и неравенств с параметром и т.д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств [25]. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

- Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

- Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

-  Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений, неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов остается в стороне, но в ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на курсы по выбору.

Таким образом, тема данной работы «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы» актуальна.

Объект исследования: процесс применения свойств функции как метода решения уравнений, неравенств на элективных курсах в старших классах.

Предмет исследования: методика изучения темы «Использование свойств функций для решения уравнений и неравенств» на элективных курсах.

Цель работы: разработать методику применения свойств функции для решения уравнений и неравенств на элективных курсах.

Гипотеза: умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся решать их на сознательной основе, использовать различные способы решения, выбирая из них наиболее рациональные, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Глава 1. Методико-математические особенности разработки

элективных курсов и теория использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

1.1. Цели изучения математики в старшей школе на базовом и профильном уровнях

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

1. Овладение математическими знаниями, достаточными для изучения смежных дисциплин на современном уровне и для продолжения образования в высшей школе по любой специальности, не требующей высокого уровня владения математическим аппаратом.
2. Интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности.
3. Развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном обществе.
4. Формирование представлений о математики как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах математики, об особенностях математического исследования и его отличии от методов естественных и гуманитарных наук.

Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижении следующих целей:

1. Формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов.
2. Овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.
3.  Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности.
4. Воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Данные цели направлены на формирование математической (прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы.

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы будет способствовать

• умению использовать теоретический материал при решении задач;
• умению пользоваться математическими формулами;
• умению выполнять переход от частного к общему;
• владению аппаратом построения графиков и их преобразований.

Социально-личностная компетентность будет способствовать 

• владению стилем мышления, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;
• умению проводить аргументированные рассуждения, делать логические обоснования, выводы;
• умению проводить обобщения на основе анализа частных примеров, выдвигать предположения и их обосновывать;
• умению ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выбирать из информационного потока нужный материал.

Общекультурная компетентность будет способствовать

• умению понимать и объяснять значимость математики как части общечеловеческой культуры;
• умению использовать математическую символику, термины ,символы и формулы;
• умению представлять особенности математического языка и соотношения их с русским языком.

Предметно-мировоззренческая компетентность будет способствовать

• умению понимать особенности применения математических методов к исследованию.

1.2. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

1.2.1.   Общие методы решения уравнений

В методической литературе [25], [26] принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы, делить на три группы:

-    метод разложения на множители;

-   метод введения новых переменных;

-  функционально-графический метод.

В данной проекте мы рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.

К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».

Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т.п. входящих в них функций.

1.2.2.     Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

  Использование области определения функции.

 Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].

Пример 1. Решить уравнение 

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 2. Решить неравенство 

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

 Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств.

Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [21], [31]:

• Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.
• Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнениеf(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.
• Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение  имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при  будет , а решением данного неравенства будет . Значение  легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение 

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим .Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

  Уравнения вида . 

При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [2], [5], [31]:

1)         пусть область существования функции  есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение  будет равносильно системе ;

2)         если множество M совпадает с R, то уравнения  и  равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

3)        уравнение  равносильно системе (При условии, что );

4)       для любого натурального числа 2m уравнение   равносильно системе     .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

 Пример 5. Решить уравнение 

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

  Использование понятия области изменения функции.

При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X1  и X2. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1∩X2. Если множество A пустое (A=), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1)=, где f(x1) – значение функции f(x) при x=x1, а  значение функции при x=x1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и  имеют общие элементы (Y1∩Y2≠). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1∩Y2≠, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].

Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X1  и X2, причем X1∩X2≠.Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если промежуток  является решением неравенства, то для любогоx из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а  значение функциипри x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и  имеют общие элементы (Y1∩Y2≠). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Пример 7. Решить уравнение .

ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f(x)=  множество Y1=, область изменения функции =  множество Y2=. Тогда Y1∩Y2=∩={2}. Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x, при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция  принимает это значение только один раз, при x=0. Нетрудно убедиться, что f(0)=2.

Ответ: x=0.

Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.

Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)=0, F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

1.  Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

2.  Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (  x2,  x1).

3.  Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x≥0 (x≤0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)≥0 (F(x)≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода [41].

Выводы по параграфу: анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Выводы по главе: введение элективных курсов предоставит учащимся возможность, комбинируя их с базовыми и профильными предметами, выстроить индивидуальный маршрут получения полного среднего образования. Это позволит школьникам к окончанию учебного заведения выйти с разным уровнем подготовки как минимальным, так и максимально возможным.

В соответствии с изложенными целями, задачами, типами и требованиями к элективным курсам будет разработан элективный курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

Глава II. Разработка элективного курса

«Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

2.1. Пояснительная записка.

Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Данный элективный курс связан с основным курсом математики. Развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся. В данном элективном курсе рассматривается метод решения уравнений и неравенств, основанный на применении свойств функций (монотонность, ограниченность, четность и др.). Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.

2.2 Цели изучения курса:

  Познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций, показать применение производной при решении уравнений или неравенств;

• обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений;
• углубление и расширение знаний учащихся;
• привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;
• формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
• выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;
• подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.

2.3 Требования к подготовке учащихся. 

Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:

• поддержание изучения базового курса алгебры;
• социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;
• обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Ожидаемый результат изучения курса:

•    знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;
•   умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;
•    приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений и неравенств;
•   практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

2.4 Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. 

Уровень достижений учащихся определяется в результате:

• наблюдения активности на практикумах;
• беседы с учащимися;
• анализа творческих, исследовательских работ;
• проверки домашнего задания;
• выполнения письменных работ;
• самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными.

Итоговая аттестация проводится в виде зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.

Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация элективного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития.

2.5 Тематическое планирование учебного материала.

 Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (2 часа в неделю, всего 11 часов). Это обусловлено тем, что во втором полугодии уже изучены основные функции и их свойства.

1.  Функции и их основные свойства.(1час)

Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций.

2.  Использование области определения функций.(1час)

Решение уравнений и неравенств с использованием области определения входящих в них функций

3. Использование монотонности функций.(2 часа)

Теоремы о корне. Нахождение промежутков монотонности с помощью производной. Решение уравнений и неравенств. Уравнения вида .

4.  Использование понятия области изменения функции при решении уравнений.(3 часа)

Способы определения области изменения функции: с помощью построения схемы графика, введение нового неизвестного, сведение к простой функции с помощью преобразований. Решение уравнений и неравенств. Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство.

5.  Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.(1 час).

В результате изучения данного элективного курса ученик должен

знать:

• основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;
• о применении производной при решении уравнений и неравенств;

уметь:

• объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;
• применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство;
• использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Заключение

Элективные курсы представляют собой новейший механизм дифференциации и индивидуализации процесса обучения. Их введение позволит учащимся определить свою программу обучения и получить образование с углублением в любую область знаний (выбранную самим учеником).

В ходе исследования получены следующие результаты:

1) в школьных учебниках не уделяется большого  внимания методу решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций;

2) результаты ЕГЭ показывают, что большинство учащихся решают уравнения с использованием стандартных, алгоритмических методов, что дает иногда очень громоздкие выкладки. В связи с этим процент выполнения заданий второй и третьей частей невысокий.

В результате исследования были решены следующие задачи:

1.  Проанализирована программа и основные учебники, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 10-11 классов, с точки зрения применения свойств функций при решении уравнений и неравенств.

2.  Проанализированы задания и результаты ЕГЭ.

3.  Подобрана система заданий для работы на элективных курсах по математике.

4.  Разработаны методические рекомендации по обучению решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций.

5.  Проведено опытное преподавание.

Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся выбирать наиболее рациональный способ решения получила положительные подтверждения через опытное преподавание. Из-за недостатка возможности и времени для проведения эксперимента нельзя сделать точные статистические выводы о том, в какой мере повысилась эффективность изучения темы. Но, опираясь на полученные положительные результаты, можно сделать вывод, что цель работы была достигнута.

Список литературы:

1.    Алгебра и начала анализа 10-11класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов [и др.].  М.: Просвещение.-1993. – 254с.

2.    Алгебра и начала анализа 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / С. М. Никольский [и др.].  М.: Просвещение.-2009. – 464с.

3.    Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 частях. Ч. 1 [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В.Семенов. – М.: Мнемозина, 2007. – 287 с.

4.    Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник / Под ред. А.. Н.  Колмогорова. – М.: Просвещение, 1991. 320 с.

5.    Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

6.    Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

7.    Варшавский, И. К., Гаиашвили, М. Я., Глазков, Ю. А. Степени, корни и показательная функция в заданиях ЕГЭ [Текст] / И. К. Варшавский [и др.] //Математика в школе. – 2005  №9. С 2 – 12.

8.    Варшавский, И. К., Гаиашвили, М. Я., Глазков, Ю. А. Функция, ее производная и первообразная на ЕГЭ [Текст] / И. К. Варшавский [и др.] //Математика в школе. – 2005  №8. С 2 – 15

9.    Василевский, А. Б.  задания для внеклассной работы по математике: 9-11 классы [Текст]: книга для учителя / А. Б. Василевский.  Минск.: Народная асвета, 1988. – 175 с.

10.  Ваховский, Е. Б., Рывкин, А. А. Когда помогают графики [Текст] / Е. Б. Ваховский, А. А. Рывкин // Квант. – 1975.  №2. С 43-48.

11.  Вопросы обучения математики в школе [Текст]: сборник статей. – Киров, 1962. – 143 с.

12.  Глейзер, Г.Д. История математики в школе [Текст] / Глейзер Г. Д. – М.: Просвещение, 1964. 375 с.

13.  Горнштейн, П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн, А. Г.  Мерзляк [и др.]. – М.: Илекса, 2004. – 236 с.

14.  Денищева, Л. О.,Глазков, Ю. О. Единый государственный экзамен 2007. математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся [Текст] / Л. О. Денищева, Ю. О. Глазков [и др.]. – М.: Интеллект-Центр, 2007. – 272 с.

15.  Ермаков, Д. С. Элективные курсы для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков // Педагогика. – 2005.  №2. С. 36-41.

16.  Ермаков, Д. С., Петрова, Г. Д. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков, Г. Д. Петрова // Школьные технологии. – 2003.  №6.

17.  Концепция модернизации российского образования на период до 2010г. [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. - №3.

18.  Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. – № 5.

19.  Крутихина, М. В. Элективные курсы [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – 40с.

20.  Кузнецов, А. А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание [Текст] / А. А. Кузнецов // Стандарты и мониторинг в образовании. – 2003. – № 3.

21.  Лященко, Е. И.  Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы [Текст]: книга для учителя / Е. И. Лященко. – Минск.: Народная асвета,1970. – 175 с.

22.  Маркова, В. И.  Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] \ В. И. Маркова. – Киров: КИПК и ПРО, 2006. – 200 с.

23.  Математика: 10 настоящих вариантов заданий для подготовки к единому государственному экзамену-2012 [Текст] / А. Г. Клово. – М.: Федеральный центр тестирования, 2012. – 94 с.

24.  Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов [Текст] / Сост. Г. И. Ковалева [и др.]. – Волгоград: Учитель, 2011. 494 с.

25.  Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учебное пособие / А. Я. Блох, В. А. Гусев [и др.]; сост. В. И. Мишин. – М.:Просвещение,1987. – 416 с.

26.  Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. [Текст]: учебник для вузов / Ю. Колягин [и др.]. – М.: Просвещение, 1977. – 317с.

27.  Мигина, Л. Решение уравнений с применением оригинальных приемов [Текст] / Л. Мигина //Математика. – 2001.  №37. – с. 26-29.

28.  Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики. [Текст] / А. Г. Мордкович. – М.: Мир и образование, 2005.

29.  Мордкович, А. Г. Общие методы решения уравнений [Текст] / А. Г. Мордкович // Математика для школьников. – 2005.  №4. С 40 – 49.

30.  Нараленков, М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи [Текст]: учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. – М.: Экзамен, 2003. – 448 с.

31.  Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. – М.: Дрофа, 2004. – 192 с.

32.  Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы [Текст] / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - М.: Дрофа.-2004. – 320 c.

33.  Саакян, С. М. Задачи по алгебре и началам анализа [Текст]: пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений / С. М.. Саакян [и др.]. – 4-е издание. – М.: Просвещение, 2003. – 286 с.

34.  Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 классов [Текст]: пособие для учителя / Б. М.  Ивлев [и др.]. – М.: Просвещение, 1978. – 272 с.

35.  Супрун, В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике [Текст] / В. П. Супрун. – Мн.: Полымя, 1998. – 108 с.

36.  Ткачук, В. В.  Математика – абитуриенту [Текст] / В. В. Ткачук. – М.: МЦНМО, 2005. – 944 с.

37.  Шандер, В. Н.  Уравнения и неравенства. Методические разработки для учащихся ВЗМШ [Текст] / В. Н. Шандер. – М.: изд. РАО, 1992. – 67 с.

38.  Шарыгин, И. Ф., Голубев, В. И. Факультативный курс по математике: решение задач [Текст]: учебное пособие для 11 класса средней школы / И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.

39.  Шунда, Н. Н.  Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств [Текст] / Н. Н.  Шунда //Математика в школе. – 1970.  №3. – с. 61-64.

40.  http://www.ege.edu.ru.

Приложение.

 Разработка занятий элективного курса

 Занятие №1 Тема: «Функции и их основные свойства».

Цели: обобщение и систематизация имеющихся у учащихся знаний по теме «Функции. Основные свойства функций».

Форма работы: беседа.

Ход занятия:

1.  Организационный момент. Введение в элективный курс «Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств», сообщение целей и задач курса, требований к учащимся, форм работы, системы контроля уровня достижений учащихся и критериев оценки, ожидаемого результата по окончании изучения курса. Вопросы учащихся по организации данного курса и ответы на них учителя.

2.  Обзорная лекция по теме «Функция. Основные свойства функций». Повторение имеющихся знаний программы общеобразовательной школы по теме «Функция. Основные свойства функций»: понятие функции, область определения и область изменения функции, ограниченность, определения возрастающей, убывающей функции, четность, нечетность и периодичность функций.

1)  Историческая справка. Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков — на 18 овец; если из одного ведра глины изготовляли 4 горшка, то из двух ведер глины можно было сделать 8 горшков, а из трех ведер — 12 горшков. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин. Впервые термин «функция» (от латинского «функтус» — выполнять) в конце XVII века употребил Лейбниц (1646—1716) [12].

2)  Что называется функцией?

Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.

3)  Какие свойства функций вам известны?

• Область определения функции. Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
• Область значений (область изменения) – множество всех значений функции .
• Ограниченность функции. Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого xиз области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
• Возрастание, убывание функции. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.
• Четность, нечетность функции. Функцию  называют четной (нечетной), если для любого значения x из множества Xвыполняется равенство  ().
• Периодичность функции. Функцию  называют периодической, если существует число , такое что для любого x из области определения X число , число  и справедливо равенство и . Число T  называют периодом функции f(x).

4)  Привести пример для каждого свойства.

3.  Подведение итогов занятия. На занятии мы вспомнили основные сведения о свойствах функции. В течение элективного курса мы увидим, как работают свойства при решении уравнений и неравенств.

4.  Постановка домашнего задания. Повторить теоретический материал.

 Занятие №2 Тема: «Использование области определения функций».

Цель: познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении области определения, входящих в них функций.

Ход занятия:

1.      Актуализация знаний

1)         Что называется областью определения функции?

2)         Найдите область определения функций:

А); Б).

3)         Что называется областью определения уравнения (неравенства)? (Множество всех значений переменной, при которых уравнение (неравенства) имеет смысл, или ОДЗ).

Найдите ОДЗ уравнения .

4)         Учитель делает вывод, что для того, чтобы найти ОДЗ переменной данного уравнения, необходимо найти область определения функций, в него входящих, и посмотреть при каких x одновременно имеют смысл выражения, стоящие в левой и правой частях.

2.      Изучение нового материала.

1)  Рассмотрим пример: . Найдем корни этого уравнения. Заметим, что если уравнение имеет решения, то они содержатся только в области определения уравнения. А ОДЗ мы уже нашли {-2;2}. Осталось подставить эти значения в уравнение. Ответ: 2.

2)    Рассмотрим на примере, как знание области определения помогает найти решение неравенства: 

ОДЗ неравенства есть все x, удовлетворяющие условию . Для всех x из этого промежутка имеем , а . Следовательно, решением этого неравенства является промежуток .

3.   Решение задач. Учащиеся самостоятельно решают в тетради. Ответы проверяются и фиксируются на доске учителем. Задания, вызвавшие затруднения, разбираются учителем или одним из учеников на доске.

Решите уравнение или неравенство (список задач написан на доске):

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  ;

8)  .

4.  Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за работу на занятии. Если решены первые четыре задания – 1 балл, за задания 5-8 по одному баллу. Всего за урок можно получить 5 баллов.

5.  Постановка домашнего задания.

1)  Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите неравенство .

Подготовить доклады на тему «Способы доказательства возрастания (убывания) функций» (по определению, с помощью производной) и «Как монотонность помогает решать уравнения и неравенства» (сформулировать теоремы о корне, 1 доказать). Это задание выполняют два ученика по желанию.

 Занятие №3 Тема: «Использование монотонности функций»

Цели:

а) познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении монотонности функций;

б) обобщить и систематизировать знания учащихся о монотонности функций, способах исследования функции на монотонность.

Ход занятия:

1.  Проверка домашнего задания. Решение первого задания учитель разбирает устно, ученики проверяют в тетради. Решение 2-ого и 3-его один ученик выписывает на доску до начала занятия. Школьники сверяют со своим решением, учитель комментирует решение.

2. Изучение нового материала.

1) Доклад «Способы доказательства возрастания (убывания) функций».

2) Доклад «Как монотонность помогает решать уравнения и неравенства».

3) Учитель делает выводы по докладам.

3.  Решение задач. Список задач написан на доске. 1-ое задание разбирается учителем. На остальные дается время для самостоятельного решения. После ученики по желанию показывают свое решение на доске.

Решите уравнение или неравенство:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  .

4.  Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за работу на занятии. По одному баллу за доклад, по одному баллу за каждую задачу, решенную у доски.

5.  Постановка домашнего задания.

 1)  ;

2)  ;

3)  

4)  .

 Занятие №4 Тема: «Уравнения вида .»

Цель: систематизировать и обобщить знания о методе решения уравнений вида .

Ход занятия:

1.  Организационный момент. Постановка целей занятия, темы и плана его проведения.

2.  Проверка домашнего задания. Решение каждой задачи с места объясняют ученики. Если нужно, учитель корректирует и комментирует ответы учеников.

3.   Решение задач. Решение первой задачи учитель подробно разбирает на доске.

1)         .

В обеих частях уравнения стоят функции, похожие внешне. Поэтому имеет смысл рассмотреть функцию .

 Назовите область определения этой функции (R).

 Исследуйте функцию на монотонность (убывает на R).

Если выполняются эти условия, то исходное уравнение равносильно уравнению . Найдем корни этого уравнения, они будут корнями исходного уравнения.

2)         . В этом задании следует обратить внимание учеников на то, что функция  определена не на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно системе ;

3)         ;

4)         ;

5)         .

4.  Подведение итогов занятия.

Учащимся, решившим верно все задания, за урок ставится 3 балла.

5.  Постановка домашнего задания.

1)  Повторить теоретический материал, связанный с понятием области изменения функции.

2)  Решить уравнения:

;

;

;

.

6.  Проверочная работа.

Вариант №1

1)  ;

2)  ;

3)  .

Вариант №2

1)  ;

2)  ;

.

Критерии оценивания:

«5» - верно выполнены все задания;

«4» - верно выполнены любые два задания;

«3» - верно выполнено любое одно задание.

Занятие №5 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

 Цели:

а) изучить теоретический материал по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»;

б) познакомить с основными способами определения множества значений функции.

Ход занятия:

1.   Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Если у большинства учащихся есть затруднения в решении, то задание разбирается на доске. Если задание вызвало затруднение у небольшой группы учащихся, то к каждому из них «приставляется» ученик, выполнивший задание, с целью объяснить решение.

2.   Лекция по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Утверждение 1. Пусть дано уравнение , причем функции  как правило разнородные. Если множества значений этих функций имеют общую точку (или небольшое конечное число общих точек) ; , то уравнение равносильно системе .

В системе можно решить только одно уравнение, а второе проверить подстановкой получившихся корней.

Утверждение 2. Если области изменения функций, входящих в уравнение (неравенство), не имеют общих точек, то уравнение (неравенство) решений не имеет.

Существует несколько способов определения множества значений функций. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Найти область изменения функции .

Для решения задачи построим схему графика с помощью производной:

1) область определения функции y промежуток ;

2) с помощью производной найдем экстремумы. В точке  функция принимает свое максимальное значение;

3) найдем значения функции в точке максимума и на концах отрезка области определения: ; ; .

4) таким образом, получаем .

Пример 2. Найти область изменения функции .

Преобразуем функцию к виду .

Область изменения этой функции находится непосредственно: .

Для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций удобно пользоваться следующим фактом.

Утверждение 3. Функция вида  изменяется на отрезке 

Пример 3. Найти область изменения функции .

Введем замену  и рассмотрим функцию , . Ее область изменения с помощью производной найти гораздо проще. .

Рассмотрим на примере, как при решении уравнений знание области изменения функций, в него входящих, упрощает поиски корней.

Пример 3. Решить уравнение 

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, . Найдем их множество значений . Воспользуемся утверждением 1: так как множества значений имеет общую точку 2, от уравнения можно перейти к системе . Решением системы, а, значит, и исходного уравнения является .

Утверждение 4. Пусть дано неравенство . Если множества значений этих функций имеют общую точку; , то неравенство равносильно системе .

Пример 4. Решить неравенство .

ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка  и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x:  ();  ();  (). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке, то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства .

3.   Постановка домашнего задания.

1) Выучить теоретический материал.

2) Найти множество значений функций:

а);         б) .

3) Решить уравнение .

Занятие №6 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Цель: закрепить знания по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Ход занятия:

1.   Проверка домашнего задания. До начала занятия один из учеников записывает домашнее задание на доске учитель и другие ученики проверяют решение.

2.   Решение задач. На доске написан список задач. Учащиеся по одному решают у доски. Учитель напоминает, что данные уравнения и неравенства решаются  с использованием множества значений функций, в них входящих.

 1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   ;

6)   ;

7)   ;

8)   ;

9)   ;

10)  .

3.   Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за занятие: 1 балл за решение домашнего задания, по одному баллу за решение задач у доски

4.   Постановка домашнего задания

Решить уравнения и неравенство:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Занятие №7 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».

Цели:  познакомить учащихся с приемом решения уравнений и неравенств, состоящих из неотрицательных функций.

Ход занятия:

1.   Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Уравнение, вызвавшее трудности, разбирается учеником, выполнившим его.

2.   Изучение нового материала.

Утверждение 1. Пусть имеется уравнение . Если множество значений каждой из функций  принадлежит промежутку , то уравнение равносильно системе .

Назовите функции, которые принимают неотрицательные значения на всей области определения ().

Пример1. Решить уравнение .

Преобразуем уравнение . Наше уравнение будет равносильно системе , которая не имеет решений. Значит и исходное уравнение решений не имеет.

Аналогичное утверждение можно сформулировать и для неравенств.

Утверждение 2. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций  принадлежит промежутку , то неравенство равносильно системе .

Пример 2. Решить неравенство .

Так как для любого x справедливы неравенства , то неравенство равносильно системе , решением которой является . Значит, неравенство имеет единственное решение .

Утверждение 3. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций  принадлежит промежутку , то решениями неравенства являются все x из ОДЗ, за исключением тех x, которые являются решениями системы .

Пример 3. Решить неравенство 

ОДЗ неравенства . Для нахождения решения неравенства нужно исключит из его ОДЗ все решения системы . Решениями неравенства являются все x из множества .

3.   Решение задач. На доске написаны два варианта заданий. Учащиеся в течение 13-15 минут решают каждый свой вариант, затем в паре обмениваются тетрадями и проверяют решение соседа по парте и ставят баллы (по одному за каждое верное решение уравнения или неравенства). Учитель выписывает ответы на доске.

Вариант 1.

1)      ;

2)      ;

3)      .

Вариант 2.

1)  ;

2)  ;

3)  .

4.   Подведение итогов занятия. Учитель выставляет баллы полученные учениками. 1 балл ставится ученику, объяснявшему домашнее задание.

5.   Постановка домашнего задания

Решите уравнения и неравенство:

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   .

Занятие №8 Тема: «Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций».

Цель: знакомство с новым приемом решения уравнений и неравенств – использование свойств четности, нечетности и периодичности функций.

Ход занятия:

1.          Проверка домашнего задания. До начала занятия двое учащихся выписывают решение на доске. Остальные на занятии проверяют правильность решения.

2.         Актуализация знаний.

Какие функции называются четными, какие нечетными?

Приведите примеры.

Исследовать функции на четность: ;.

Сформулируйте определение периодической функции.

Какие из перечисленных функций являются периодическими, укажите их период: , , .

Изучение нового материала.

Утверждение 1. Пусть дана функция  с областью существования X. Пусть дано число α ≠0. Тогда функция  имеет область существования X1, которая характеризуется свойством: для любого  число , а для любого  число . При этом, если функция  имеет период T, то функция  имеет период .

Утверждение 2. Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение.

Утверждение 3. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Утверждение 4. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (  x2,  x1).

Утверждение 5. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x≥0 (x≤0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)≥0 (F(x)≤0), то нам будет известно, при каких значениях xF(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (илиx<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Решение задач. Список заданий написан на доске. Первое и второе учитель подробно разбирает. Остальные учащиеся самостоятельно решают в тетради и по желанию демонстрируют свое решение на доске.

1) Решить уравнение 

Период, входящих в уравнение функций Т=200p. Возведем обе части в квадрат и получим ; . Проверим корни в пределах периода:

Решением уравнения является .

2) Решить уравнение ;

Заметим, что в обеих частях уравнения стоят четные функции, поэтому решим данное уравнение с использованием свойств четной функции. С учетом сказанного выше для четной функции, достаточно найти решения для x≥0. Но x=0 не есть корень уравнения. Рассмотрим два промежутка (0, 2], (2, ∞). На промежутке (0, 2] имеем ; ; x=. На промежутке (2, ∞) имеем ; ; 3x=2x; x=0. Но так как x=0 не является корнем уравнения, то для x>0 данное уравнение имеет корень x=. Но тогда x=   также является корнем уравнения.

3) ;

4) .

3.  Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы учащимся по одному баллу за решение домашнего задания и за решение у доски.

Постановка домашнего задания. На этом занятии завершается теоретическая часть курса. Следующий урок посветим решению разных задач. Поэтому вам нужно повторить всю теорию, посмотреть приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные нами на предыдущих занятиях. Занятие пройдет в форме игры. Класс нужно разделить на команды. Каждая команда готовит название, девиз.

 Занятие №9 «Морской бой»

Цели: закрепить имеющиеся знания учащихся по изученному материалу.

Правила игры. Занятие проводится в форме игры «Морской бой». Основой игры является детская игра «Морской бой». Поле с проставленными на нем очками является игровым полем для данной игры. Например, для морского боя 5*5 клеток игровое поле и поле ведущего будут выглядеть следующим образом:

На игровом поле проставлены очки и буквы «Б» блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов), «М» - музыкальный конкурс (спеть песни, в которых содержаться числительные, кто больше), «К» - конкурс капитанов.

На поле у ведущего расположены корабли, координат которых играющие не знают.

Команды распределяют между собой поровну корабли (по 2 корабля каждой команде) и ведущий называет командам в тайне от других координаты этих кораблей.

Та команда, которой выпадает по жребию начинать игру, называет координату первого «выстрела». Если на этой клетке стоит корабль, то команда получает в плюс очки, проставленные на клетке и продолжает стрельбу. Если на этой точке нет корабля, то ведущий предлагает команде вопрос той сложности, сколько очков стоит на этой клетке. Если команда ответила правильно, то очки засчитываются в плюс, если неправильно или не ответила, то в минус. Ход переходит к противнику.

Команда выбывает из игры, если «потоплены» все её корабли. Выигрывает та команда, которая к моменту, когда сбиты все корабли, наберет больше очков (победителем может считаться и та команда, у которой остался последний корабль «на плаву»).

Участники: команды по 10 человек.

Продолжительность игры: около 90 минут.

Система судейства: воспитатели и группа детей.

Реквизит: игровое поле, табло для очков, модели кораблей для жеребьевки, фломастеры, для обозначения ходов на игровом поле.

Ход занятия:

1. Представление команд.

2. С помощью жребия выбирают, кто ходит первым.

Задания. 5 баллов:

1.   ;

2.   ;

4 балла:

1.   ;

2.   ;

3.   ;

3 балла:

1.   ;

2.   ;

3.   ;

4.   ;

2 балла:

1.   ;

2.   ;

3.   ;

4.   ;

5.   ;

1 балл:

1.   ;

2.   ;

3.   ;

4.   ;

5.   ;

6.   ;

7.   .

«К» - конкурс капитанов.

1.  «БУКВЫ»: для проведения этого конкурса понадобится подготовить буквы алфавита по 3 – 4 пары каждой. Капитаны команд вытягивают из ящика (коробки) заранее оговоренное ведущим число букв (8 – 10). Задание – из букв сложить возможное количество слов. Победителем становится тот, кто быстрее и правильнее выполнит задание.

2.  «СЛОГИ»: капитаны обмениваются слогами, перебрасывая, друг другу мяч. Например, первый говорит «да», второй «ча». И так до тех пор, пока кто-нибудь не запнется, не сможет составить слово. (Составляемые слова должны быть по изученной теме)

«М» - музыкальный конкурс (спеть песни про математику или в тексте которых содержится числительное, кто больше).

«Б» - блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов).

Примерные вопросы:

Что называется функцией?

Перечислите основные свойства функций.

Что называется областью определения функции?

Что называется множеством значений функции?

Какая функция называется четной?

Какая функция называется четной?

Приведите пример ограниченной функции.

Какая функция называется монотонной?

Приведите пример функции возрастающей на всей области определения.

Подведение итогов: выяснить допущенные ошибки, недостатки в проведении игры. Узнать мнение участников и зрителей о проведенном мероприятии. Команде-победителю вручается диплом и каждому члену команды ставится 5 баллов. Команде, занявшей второе место ставится 4 балла. Можно наградить отдельных участников в номинациях «Приз зрительских симпатий», «Лучший капитан», и т.д.

В конце урока напомнить учащимся, что следующее занятие зачетное.

Занятие №10 Зачет.

Цели: проверить знания учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».

Оборудование и средства: карточки с заданиями на 2 варианта.

Ход занятия:

1.  Организационный момент. Постановка целей занятия, настрой на работу. На занятии ученикам предстоит выполнить зачётную работу, составленную по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, поэтому её можно считать непосредственно подготовкой к сдаче ЕГЭ, который предстоит пройти по окончании школы.

2.  Проверка уровня знаний и умений. В работе предлагается три задания уровня А, с выбором ответа, три заданий уровня В, где требуется написать свой ответ. Далее учащиеся выполняют одно задание поля С, где требуется привести полное подробное решение. После проверки учителем выставляется итоговая оценка.

Зачетная работа.

Вариант 1.Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение .

1) -2;         2) 2;             3)1;       4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение  и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корень только один, и он положительный;

2) корень только один, и он отрицательный;

3) корней два, и они разных знаков;

4)корней два, и они отрицательные.

А3. Найдите область значений функции .

1)[-2;0];            2)[-2;1];        3)[-3;1];        4)[-2;2].

Часть 2

Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение 

В3. Решите неравенство 

Часть 3

На листке запишите номер задания, а затем приведите  полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции 

Вариант 2.

Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение .

1) -5;         2) 5;             3)4;       4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение  и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корней два, и они разных знаков;

2) корней два, и они положительные;

3) корень только один, и он положительный;

4) корень только один, и он отрицательный.

А3. Найдите область значений функции .

1)[3;+∞);          2)(-∞;+∞);           3)(-∞;3);              4)(3;+∞).

Часть 2

 Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение 

В3. Решите неравенство 

Часть 3

На листке запишите номер задания, а затем приведите  полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции .

Ответы к зачетной работе.

 Критерии оценок:

Часть А: каждое задание оценивается по 1 баллу. Всего можно получить 3 балла.

Часть В: за верное выполнение задания выставляется 1 балл. Всего – 3 балла.

Часть С: максимум – 3 балла, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования выполнены верно, получен верный ответ;

2 балла – приведена верная последовательность всех шагов решения, при решении одного из уравнений допущена одна описка, или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения;

1 балл  приведена верная последовательность всех шагов решения, допущена грубая ошибка в тождественных преобразованиях, в результате которой получен неверный ответ;

0 баллов – все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

Оценка: «5» – 7-9 баллов;

«4» – 5-6 баллов;

«3» – 2-4 балла;

Не зачтено – 0-1 балл.

3.  Подведение итогов занятия. Учащимся выставляются оценки за урок. На следующем занятии конференция. Ученикам предлагается подготовить выступление.

 Занятие №11 Конференция.

Цель: подведение итогов изучения элективного курса;

Ход занятия:

1.   Выступление учащихся. Учащиеся выделяют наиболее интересные темы и задачи, наиболее трудные и легкие для усвоения; отмечают «плюсы» и «минусы» данного курса, вносят свои предложения по его изучению, оценивают свою деятельность и работу учителя.

Учитель фиксирует для себя сказанное учениками.

2.   Выступление учителя.

Обобщает все сказанное учениками.

Подводит итоги по табелям баллов: сообщает уровень, на котором ученики освоили данный курс: 1 уровень – более 45 баллов; 2 уровень – 30-44 балла; 3 уровень – менее 30 баллов.

3.   Подведение итогов. Вручение ученикам сертификатов, подтверждающих прохождение курса, с отмеченным в нем уровнем освоения курса.