Использование свойства монотонности функции
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

В  статье  рассматривается один  из  способов,исползующий  при  решении  задач   свойство  монотонности  функции

Скачать:


Предварительный просмотр:

Использование  свойства монотонности функции.

Функциональная  направленность изучения  математики  в средней  школе  

предполагает  умение  и  понимание  использования свойств функции  при  решении задач. ·

Это  позволит  обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений,  позволит привить  навыки

 использования  нестандартных методов  рассуждения, что , несомненно , способствует  подготовке  к  ЕГЭ.

Остановимся  на  свойстве  монотонности  функции. Данное  свойство ,  как  правило,  не вызывает затруднений у  учащихся. Другое  дело  умение  определять   наличие  свойства  монотонности  у  функции. Для   этого  необходимо понимание  наличия свойства  монотонности  основных    элементарных  функций ,  а  также   функций  являющихся  композицией   элементарных  функций. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях .

1.Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x0  – корень, то решениями неравенства будут значения   х, принадлежащие области определения f( x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

1.Решить неравенство. Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение  

   имеет не более одного решения, причем если x =1 – решение этого уравнения, то при  будет решением 

 а решением данного неравенства будет  .

Ответ:

2.Решить уравнение:

Данное уравнение имеет очевидное решение х=1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим .

Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х=1

Уравнения вида  =hПри решении уравнений данного вида используются следующие утверждения

1) пусть область существования функции  есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение    =hбудет равносильно системе f=g, f

g

 Рассмотрим  задание   предлагаемое  на    ЕГЭ

3. . При  каких  значениях  a  уравнение  не  имеет  решений.

 Преобразуем   уравнение

Рассмотрим  функцию

=

Правая   и  левая  часть   уравнения  есть  значение  этой  функции  при  

t=2x    и    t=3x+a   соответственно.

f’(x) = при  любом  x. Это  значит  ,  что  функция   f(x) возрастает,          

то есть  она  каждое  свое  значение  принимает  только  один  раз.

Это  значит  что    

Уравнение  не  имеет  решений   если  дискриминант  отрицательный.

 D=9+16a,  

Ответ:  a

Решение  следующих  уравнений   будет   полезным  для  совершенствования  навыков  решения  подобных  задач.

1.При  каких   а  уравнение  не  имеет   решений

2.Решить  уравнения  или  неравенства

а)

б)

в)+

г)



Предварительный просмотр:

 Урок по алгебре и началам в 11 классе

Тема: «Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства»)

Цели урока:

Обучающая цель: Привести в систему знания, полученные по данной теме, тем самым подготовить учащихся к сдаче выпускного и вступительного экзамена по математике.

Развивающая цель: Развивать логичность, точность и быстроту мышления.

Воспитывающая цель: Воспитывать любовь и интерес к математике.

Ход урока.

1.Вступительное слово учителя.  

2. Актуализация  опорных знаний

3.Применение знаний

4. Самостоятельная работа

5. Анализ работы

6.Домашнее  задание      

1.  Сообщается   тема урока. Умение работать  с  тригонометрическими  выражениями,  решать  уравнения-   необходимые навыки для изучения следующей  темы, а также для готовности к экзамену .

2.Повторение формул и определений  (устная работа)

а)             

б)

в)

 г)

 д)

е)Что  такое   arcsinа,  arccosa

Разбираем на чертежах геометрический   смысл этих  понятий, а также тождество

               arcsina+arccosa=

3.Решаем упражнения (полуписьменно)                      ответ                                                  

1вар. четные        2 вар.  нечетные (10 мин)

А1. . Вычислите:

                                 2

A2. Найдите значение выражения

                                                      3

А3. Найдите значение дроби

               

                                                    1

А4. Вычислите значение выражения

 

                                                          3

А5. Упростите выражение

                                    4

А6. Упростите выражение

                                      3

А7. Упростите выражение

                                          4

А8. Упростите выражение

                                                        1

А9. Упростите выражение

                                             1

А10. Вычислите

                                                                     1

А11. Найдите значение выражения

                                                                  4

А12. Вычислите:

                                                          2

А13. Найдите значение выражения

                                                                    2

А14. Вычислите:

                                                               4

4.Следующая  группа заданий  требует  более  сложных

действий.  Разбираем 1 группу из трех заданий

В1.Вычислите:

cos(π/17)cos(2π/17) cos(4π/17) cos(8π/17)

В2.Количество всех корней уравнения?

(tgπx-√3)(arcsin(|x|/5)-π/6)=0

В3.Найдите наибольший корень уравнения:

sin(5arcsinх)=1/2

Самостоятельная работа

I  вариант

В1.Вычислите:

sin239º+cos39ºsin51º-2,7                                                                               -1,7

В2.Наименьший положительный корень уравнения равен?

cos5πx sin10πx=3sin5πx                                                                                    0,2

В3.Решите уравнение:

4arcsinx+arccosx=π                                                                                      0,5

II  вариант                                                                                    

1.Вычислите:

В1. sin2α, если cos2α=1/4

В2.Наибольший отрицательный корень равен?

sinπx+ cosπx =√2

В3.Решите уравнение

Arcsinx(ctg(0,5arcsinx)=π/2

Домашнее задание: 1.  Вычислить

     

2.  Решить   уравнения

     а)  

     б)