Использование свойства монотонности функции
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему
В статье рассматривается один из способов,исползующий при решении задач свойство монотонности функции
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
ispolzovanie_svoystva_monotonnosti_funktsii.docx | 18.82 КБ |
urok_po_algebre_i_nachalam_v_11_klasse.docx | 209.13 КБ |
Предварительный просмотр:
Использование свойства монотонности функции.
Функциональная направленность изучения математики в средней школе
предполагает умение и понимание использования свойств функции при решении задач. ·
Это позволит обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, позволит привить навыки
использования нестандартных методов рассуждения, что , несомненно , способствует подготовке к ЕГЭ.
Остановимся на свойстве монотонности функции. Данное свойство , как правило, не вызывает затруднений у учащихся. Другое дело умение определять наличие свойства монотонности у функции. Для этого необходимо понимание наличия свойства монотонности основных элементарных функций , а также функций являющихся композицией элементарных функций. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях .
1.Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.
2.Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.
2.3.Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения х, принадлежащие области определения f( x).
Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.
1.Решить неравенство. Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение
имеет не более одного решения, причем если x =1 – решение этого уравнения, то при будет решением
а решением данного неравенства будет .
Ответ:
2.Решить уравнение:
Данное уравнение имеет очевидное решение х=1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим .
Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: х=1
Уравнения вида =hПри решении уравнений данного вида используются следующие утверждения
1) пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение =hбудет равносильно системе f=g, f
g
Рассмотрим задание предлагаемое на ЕГЭ
3. . При каких значениях a уравнение не имеет решений.
Преобразуем уравнение
Рассмотрим функцию
=
Правая и левая часть уравнения есть значение этой функции при
t=2x и t=3x+a соответственно.
f’(x) = при любом x. Это значит , что функция f(x) возрастает,
то есть она каждое свое значение принимает только один раз.
Это значит что
Уравнение не имеет решений если дискриминант отрицательный.
D=9+16a,
Ответ: a
Решение следующих уравнений будет полезным для совершенствования навыков решения подобных задач.
1.При каких а уравнение не имеет решений
2.Решить уравнения или неравенства
а)
б)
в)+
г)
Предварительный просмотр:
Урок по алгебре и началам в 11 классе
Тема: «Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства»)
Цели урока:
Обучающая цель: Привести в систему знания, полученные по данной теме, тем самым подготовить учащихся к сдаче выпускного и вступительного экзамена по математике.
Развивающая цель: Развивать логичность, точность и быстроту мышления.
Воспитывающая цель: Воспитывать любовь и интерес к математике.
Ход урока.
1.Вступительное слово учителя.
2. Актуализация опорных знаний
3.Применение знаний
4. Самостоятельная работа
5. Анализ работы
6.Домашнее задание
1. Сообщается тема урока. Умение работать с тригонометрическими выражениями, решать уравнения- необходимые навыки для изучения следующей темы, а также для готовности к экзамену .
2.Повторение формул и определений (устная работа)
а)
б)
в)
г)
д)
е)Что такое arcsinа, arccosa
Разбираем на чертежах геометрический смысл этих понятий, а также тождество
arcsina+arccosa=
3.Решаем упражнения (полуписьменно) ответ
1вар. четные 2 вар. нечетные (10 мин)
А1. . Вычислите:
2
A2. Найдите значение выражения
3
А3. Найдите значение дроби
1
А4. Вычислите значение выражения
3
А5. Упростите выражение
4
А6. Упростите выражение
3
А7. Упростите выражение
4
А8. Упростите выражение
1
А9. Упростите выражение
1
А10. Вычислите
1
А11. Найдите значение выражения
4
А12. Вычислите:
2
А13. Найдите значение выражения
2
А14. Вычислите:
4
4.Следующая группа заданий требует более сложных
действий. Разбираем 1 группу из трех заданий
В1.Вычислите:
cos(π/17)cos(2π/17) cos(4π/17) cos(8π/17)
В2.Количество всех корней уравнения?
(tgπx-√3)(arcsin(|x|/5)-π/6)=0
В3.Найдите наибольший корень уравнения:
sin(5arcsinх)=1/2
Самостоятельная работа
I вариант
В1.Вычислите:
sin239º+cos39ºsin51º-2,7 -1,7
В2.Наименьший положительный корень уравнения равен?
cos5πx sin10πx=3sin5πx 0,2
В3.Решите уравнение:
4arcsinx+arccosx=π 0,5
II вариант
1.Вычислите:
В1. sin2α, если cos2α=1/4
В2.Наибольший отрицательный корень равен?
sinπx+ cosπx =√2
В3.Решите уравнение
Arcsinx(ctg(0,5arcsinx)=π/2
Домашнее задание: 1. Вычислить
2. Решить уравнения
а)
б)