Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс)

Слайд 1

Тема: Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Слайд 2

Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. К.Маркс

Слайд 3

Цель осознать практическую значимость математических знаний для решения задач из различных областей практики; организовать деятельность по применению математических методов при решении практических задач в процессе деятельности. рассмотреть различные методы к решению практических задач, применяемых в различных областях науки, а также выработка навыков математического моделирования реальных процессов.

Слайд 4

«Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы» Александров А. Д.

Слайд 5

«В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога» Гнеденко Б.В

Слайд 6

Сфера приложения математики: МАТЕМАТИКА Химия Физика Экономика Астрономия География Биология

Слайд 7

Показательная функция в физике: Барометрическая формула: p=p 0 e –h/H Движение тела в сопротивляющейся среде: V=v 0 e -kt/m Охлаждение тел: T=T 1 - C e -kt Радиоактивный распад: m(t)=C e –kt =m 0 2 -t/T

Слайд 8

Как быстро остынет только что вскипяченный при нормальной атмосферном давлении чайник полный воды до температуры 92 градуса Цельсия? Решение: Скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T 1 -T 0 )e -kt +T 1

Слайд 9

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m 0 2 -t/T .В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m 0 = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого равен Т = 15 ч. В течении скольких часов содержание натрия-24 в веществе будет превосходить 3 мг? Решение: Подставим в данную формулу известные данные, получим: 12*2 -t/15 >3 2 -t/15 >1/4 2 -t/15 >2 -2 -t/15>-2 t<30 Ответ: В течении 30 часов.

Слайд 10

Математика и химия. И естествоиспытателем нельзя быть, не получивши начальных знаний в математике. Менделеев Д.И.

Слайд 11

Логарифмы в химии. Равновесные процессы Расчет скорости химической реакции Расчет рН Гидролиз растворов солей

Слайд 12

На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растет в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10 о ? Решение: 3 x =59000; lg 3 x = lg 59000; x lg3 = lg 59000; 10° · x = 10° · 10°= 100° Ответ: Надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции.

Слайд 13

Реакция при температуре 50°С протекает за 2 мин. 15 сек. За сколько времени закончится эта реакция при температуре 70°С, если в данном температурном интервале температурный коэффициент скорости равен 3?

Слайд 14

Решение. При увеличении t с 50° до 70° С скорость реакции в соответствии с правилом Ван-Гоффа возрастает: = γ (t2-t1)/10 Где t 2 = 70° С, t 1 =50°C, а υ t2 и υ t1 – скорости реакции при данных температурах. Получаем: = 3 (70-50)/10 = 3 2 = 9 , т.е. скорость реакции увеличится в 9 раз. В соответствии с определением, реакция обратно пропорциональна t реакции, следовательно: ,где τ – время реакции при температуре t 1 и t 2 , следовательно τ t2 = τ t1 * υ t1 / υ t2 Учитывая, что τ t1 = 135 сек., определяем t при 70°С: τ t2 = 135 * 1/9 = 15 сек Ответ: τ t2 =15 сек.

Слайд 15

Математика и биология. В биологии так же широко используется показательная функция. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей и ферментов подчиняются одному закону: N=N 0 e kt . По этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.

Слайд 16

Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?

Слайд 17

Решение: Применим для вычисления времени формулу сложных процентов: 2 тыс. – численность животных по истечению искомого времени; 5 тыс. – численность животных в начальный момент времени; p = 8 - % сокращения численности животных. Предварительно разделив обе части уравнения на 1000, получим: Ответ: Приблизительно через 11 лет.

Слайд 18

Математика и экономика. Заглянем в кабинет экономиста одного из торговых предприятий. Перед которым возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В. Можно закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В. Торговое предприятие остановилось на первом варианте, т.к. при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товара А. Какова цена товара А и товара В?

Слайд 19

Пусть стоимость единиц товара А – х рублей, единиц товара В – у рублей. Тогда мы получим систему уравнений: 5х+8у=92; 5х+8у=92 I*(-1,2); 8х+5у=92+2х; 6х+5у=92; -6х-9,6=-110,4; 6х+5у=92; 4,6у=18,4; Тогда, 5х+32=92; у=4. 5х=60; х=12. Ответ: Стоимость одной единицы товара А-12 тысяч рублей, а цена одной единицы товара В-4 тысячи рублей.

Слайд 20

Рассмотрим еще одну задачу: Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли, которых в минувшем году составила 13 млн. рублей. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго - на 140%. В результате, суммарная прибыль фирмы должна вырасти в 2 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: 1)в минувшем году? 2)в текущем году?

Слайд 21

Решение: Обозначим через х млн.рублей прибыль первого отдела и через у млн.рублей прибыль второго отдела в минувшем году. Тогда по условию задачи составим и решим систему уравнений с двумя переменными: х+у=13; х=13-у; 1,75х+2,4у=26; 1,75((13-у)+2,4)=26; 22,75-1,75у+2,4у=26; 0,65у=3,25; у=5. Тогда х=13-5=8. Значит:1)Прибыль в минувшем году у первого отделения 8 млн.рублей, у второго-5 млн.рублей. 2)Прибыль в этом году у первого отделения 14 млн. рублей,у второго- 1 2 млн.рублей.

Слайд 22

А теперь заглянем в кабинет экономиста некоторой фирмы, которая производит детские велосипеды. Экономисты рассчитывают, сколько велосипедов в день надо производить по цене х рублей, чтобы прибыль была максимальной. И в этот раз нам не обойтись без математики…

Слайд 23

Изначально надо установить зависимость между ценой х руб. одного велосипеда и количеством у единиц товара, приобретаемого за один день.

Слайд 24

Математическими методами было определено, что данная зависимость задана формулой у=570-3х. (1) Выясним, какую цену на товар установит фирма для того, чтобы прибыль от его реализации была наибольшей. Прибыль р находится по формуле р=ху. Согласно (1), р=х(570-3х), или р=-3х 2 +570х.

Слайд 25

Таким образом получается, что функция р=-3х 2 +570х является квадратичной. Функция будет достигать своего наибольшего значения при х=-570/(-3)*2=95. Это наибольшее значение равно р=27075 . Получается, что наибольшая выручка в 27075 рублей будет достигаться в том случае, если фирма реализует по цене 95 р. у=570-3*95=285 единиц товара.

Слайд 26

Математика в практических задачах. Решено комнату (включая потолок) оклеить обоями. Обои покупаются с запасом 20 % от оклеиваемой площади. Стоимость обоев указана в таблице. Потолок решено оклеить белыми обоями, стены – зелеными. Ширина двери комнаты равна 0,8 м, высота – 2 м. Ширина окна – 1,5 м, высота – 1 м. Сколько рублей надо заплатить за обои?

Слайд 27

Цена обоев за 1м 3 (в руб.) в зависимости от покупки: до 30м 2 от 30 до 100 м 2 Свыше 100 м 2 Белые 14 13 12 Зеленые 12 11 10 Решение задачи: Площадь с учетом 20% запаса Стоимость обоев Площадь передней и задней стен 2,5х6=15 0,8х2=1,6-дверь 30-1,6=28,4 Площадь боковых стен 4,5х2,5=11,25 1,5х1=1,5-окно 22,5-1,5=21 Площадь всех стен 28,4+21=49,4 20%-4,94х2=9,88 49,4+9,88=59,28 59,28х11=652,08 Площадь потолка 4,5х6=27 20%-2,7х2=5,4 27+5,4=32,4 32,4х13=421,2 Ответ: Стоимость всей покупки 1073,28 рублей.

Слайд 28

С.Л.Соболев “ Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей.” С.Л.Соболев

Слайд 29

Задача 1 Розничная цена сборника для ЕГЭ 354 руб., она на 18% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких сборников можно купить по оптовой цене на 7000 рублей?

Слайд 30

Задача 2 Студенты собрались в путешествие по Волге. Они заказали теплоход, рассчитанный на 650 мест и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех студентов и всех членов команды?

Слайд 31

Задача 3 Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд стоит 940 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 10 литров бен­зина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19 руб. за литр. Сколько придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих? Ответ выразите в рублях.

Слайд 32

Задача 4 Из пункта А в пункт D ве­дут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 42 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 32 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 64 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Слайд 33

Домашнее задание Составить и решить по две задачи: с экономическим содержанием на нахождение наибольшего и наименьшего значения связанных с химией