Разработка урока по алгебре в 9 кл "Решение простейших иррациональных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Разработка урока алгебры в 9 классе по теме

«Простейшие иррациональные уравнения»

учителя математики ГБОУ СОШ № 521 Рябчиковой Людмилы Ильиничны

Тип урока:                изучение нового материала и его первичное закрепление

Образовательная цель                создать условия для осознания и осмысления

блока новой учебной информации

Развивающая цель                развитие логического мышления, внимания,

памяти, кругозора

Воспитательная цель                повышение интереса к решению уравнений,

формирование навыков самоконтроля

Ход урока

1. Проверка домашнего задания

На прошлом уроке мы изучали тему: «Решение показательных уравнений». Сейчас на доске мы разберём наиболее сложные уравнения из домашнего задания. К доске вызываются два человека для решения этих уравнений.

2. Подготовка к восприятию нового материала:

Пока вызванные к доске решают уравнения из домашнего задания, мы с вами вспомним тот материал, который будет необходим для восприятия новой темы.

1. Вспомним определение арифметического корня n-й степени числа а.

1. Определение: арифметическим корнем натуральной степени, где n из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Его можно записать равенством:  ,  , где  a,b.

Из определения арифметического корня следует равенство:

=  при .

Когда с неотрицательным числом делают прямое и обратное действие сразу, оно не изменяется.

2. Устно:  Используя это определение, подберите корни для уравнений:  1)            2)            3)  
3. Устно:  Найти значение выражения:

1)            2)            3)  

2. Вспомним формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

а)  квадрат суммы  

б)  квадрат разности  

в)  раскрыть скобки:        

3. Новый материал:

1. Мы научились решать линейные, квадратные, показательные уравнения. Сегодня познакомимся с ещё одним видом уравнений. Называются они иррациональные. Запишем тему урока «Иррациональные уравнения».

Определение:  Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня.

Например:  ,       и т.п.

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака корня  n-й степени  .  Для этого с обеими частями уравнения нужно сделать обратное действие – возвести в  n-ю степень, т.е. использовать равенство, вытекающее из определения арифметического корня: корень  n-й  степени из  а  в  n-й степени равен  а:     =

2. Замечание 1. Перед возведением в степень нужно по возможности «уединить» корень, т.е. оставить его с одной стороны уравнения, а все прочие слагаемые перенести в другую часть уравнения. Например:                 

3. Необходимо различать уравнения с корнями чётной и нечётной степени.

1. Правило. В нечётную степень обе части уравнения можно возводить сразу после «уединения» без ограничений. Это вытекает из определения корня нечётной степени.

Пример 1                

Ответ:        

2. По определению арифметического корня чётной степени уравнение вида    имеет корни при    и не имеет корней при  .

Пример 2                

Ответ:        

Пример 3                

Ответ:        нет корней

Рассмотрим уравнение чётной степени, если справа находится не число, а выражение с переменной.

Пример 4                                        (1)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

                                                (2)

Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1). При подстановке увидим, что    не является корнем уравнения (1).

Ответ:        

В ходе решения уравнения (1) обе части уравнения были возведены в квадрат. Получилось уравнение (2).

Уравнение (1) имеет один корень  , а уравнение (2) имеет два корня:  .

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) появился посторонний корень. Это получилось потому, что при    неверное равенство:    при возведении в квадрат обеих частей этого уравнения превратилось в верное равенство:  .

Таким образом, при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут получиться посторонние корни.

Замечание 2 При решении уравнений чётной степени полученные корни обязательно следует проверять подстановкой в данное уравнение.

Пример 5.                

При подстановке этих корней в левую и правую часть уравнения получим, что корень    посторонний.

Ответ:        

Пример 6.                

Проверка показывает, что этот корень посторонний.

Ответ:        нет корней

Проверка корней представляет собой иногда трудоёмкий процесс, если корни большие или дробные, поэтому можно поступать по-другому: поскольку правая часть уравнения должна быть положительной, то на неё накладывается дополнительное условие (ДУ), т.е. в рассматриваемом примере 6 дополнительным условием будет выражение  , т.е.  . Полученный корень    не удовлетворяет ДУ. Ответ – нет корней.

4. Закрепление.

1. Повторим ещё раз ход решения иррациональных уравнений:

1. Уединяем корень.
2. Определяем степень корня.
3. Возводим в эту степень обе части уравнения.
4. Решаем уравнение.
5. Если в условии есть корень чётной степени, делаем проверку или записываем дополнительное условие.
6. Выбираем корни, удовлетворяющие данному уравнению или дополнительному условию.
7. Записываем ответ.

2. Теперь решим несколько уравнений самостоятельно, своё решение можно проверить с помощью таблицы, в которой правильные ответы закодированы буквами. Если расположить буквы в том порядке, в котором они записаны в задании, то получится кодовое слово.

5. Сейчас мы рассмотрим иррациональные уравнения, которые можно решить, не производя никаких действий с ними, а лишь логически рассуждая:

Это равенство невозможно, т.к. при вычитании из меньшего выражения большего не может получиться положительное число.

Ответ:        нет корней

Сумма двух неотрицательных выражений не может быть отрицательной.

Ответ:        нет корней

Нетрудно догадаться, что корнем будет число 3.

6. Домашнее задание.

Повторить ход решения иррациональных уравнений и решить уравнения из противоположного варианта.