Подготовка к ОГЭ по алгебре.
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

Подготовка к ОГЭ по алгебре.

Метод параболы, метод интервалов, обобщенный метод интервалов

и метод промежутков

При подготовке к выпускному экзамену по алгебре учащиеся 9-х классов задают вопрос: как оформлять решение неравенств вида ? При этом имеются в виду два метода, изученные в курсе алгебры 9 класса и весьма похожие при оформлении. Первый метод, основанный на представлениях учащихся о графике квадратичной функции, иногда называют «методом параболы». Напомним его суть.

МЕТОД ПАРАБОЛЫ

Пусть дано неравенство , где  и . Рассмотрим квадратичную функцию . Ее график – парабола с ветвями, направленными вверх, и нулями  и . Пусть для определенности .

Рисунок 1

Изобразим схематически график данной функции в системе координат, в которой ось ординат не изображается, но подразумевается направленной вверх (рисунок 1). В этой системе координат не указываются ни начало отсчета, ни единичный отрезок, поскольку эскиз графика квадратичной функции служит лишь для того, чтобы определить, для каких значений аргумента значения функции положительны.

По схематическому изображению параболы определяем множество тех значений , для которых : очевидно, это . А теперь – вопрос учащихся: нужно ли изображать на рисунке точки  и  выколотыми?

На наш взгляд, никаких «выколотых» точек в данном случае не нужно изображать, поскольку квадратичная функция не только определена, но непрерывна на всей числовой прямой, а изображали мы эскиз графика квадратичной функции. Если бы нас просили изобразить на координатной прямой, к примеру, множество точек , то иллюстрацией этого множества был бы отрезок с выколотыми концами. Выколотые точки координатной прямой изображаются в том случае, если бы мы, например, решая систему , изображали множества решений каждого неравенства системы и их пересечение.

С «методической» точки зрения проще сказать ученикам, что во всех случаях, когда мы имеем строгое неравенство, то точки на координатной прямой нужно изображать выколотыми. Но при этом слабые ученики все равно будут регулярно ошибаться^[1], а сильных учащихся мы будем заведомо вводить в заблуждение.

Второй метод решения квадратичных неравенств, известный учащимся 9-го класса, – метод интервалов. Он основан на очевидном факте: двучлен  принимает положительные значения при всех  и отрицательные значения – при всех . Для решения любого неравенства этим методом левую часть неравенства представляют в виде произведения^[2]. А далее действуют по описанной ниже схеме.

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Рисунок 2

Пусть дано неравенство , где  и . Разложим квадратный трехчлен  на множители по формуле , где  и  – его корни, причем . Тогда исходное неравенство примет вид .

На координатной прямой отметим точки  и . Слева под координатной прямой запишем двучлены  и  (рисунок 2). Под соответствующими промежутками запишем знаки, которые имеет каждый двучлен в этом промежутке. Далее перемножим полученные в каждом столбике знаки и запишем результат над соответствующими промежутками координатной прямой (рисунок 3). С рисунка считываем ответ: .

Рисунок 3

Метод интервалов используется не только для произведения, но и для частного двучленов. При этом рассуждения проводятся аналогично, поскольку при умножении и при делении «правила знаков» одинаковы.

И снова на вопрос учащихся о выколотых точках можно ответить отрицательно: не нужно выкалывать точки на координатной прямой. Изображение интервалов (и знаков под ними) носит характер поиска ответа, а не изображения уже заданного множества точек.

Возражения учителей будут вновь теми же самыми – с методической точки зрения, проще объяснить учащимся, что в случае «строгих» неравенств точки «выкалывают».

Также в 9-м классе можно показать еще один способ решения неравенств, в которых участвуют два двучлена. Этот способ основан он на том, что произведение (или частное) двух двучленов положительно тогда и только тогда, когда двучлены имеют один и тот же знак, и отрицательно – когда двучлены имеют противоположные знаки. Другими словами, неравенство сводится к совокупности двух систем линейных неравенств.

СВЕДЕНИЕ К СОВОКУПНОСТИ ДВУХ СИСТЕМ

Решим неравенство . Произведение двух множителей положительно тогда и только тогда, когда оба множителя имеют одинаковые знаки, т.е.  или . Поскольку , то первая система имеет решением промежуток , а вторая – промежуток . Естественно, решение каждой системы проводится с помощью координатной прямой. Окончательный ответ: .

Заметим, что здесь концы отрезка на рисунке обязательно должны быть выколотыми точками, поскольку речь идет об изображении числовых промежутков, их пересечения и объединения.

Отметим также, что рассмотренный выше метод правила знаков апеллирует не только к решению систем неравенств, что должны уметь делать все учащиеся 9-х классов, но и к объединению решений двух систем, т.е. к решению совокупности двух систем, что не предусмотрено программой общеобразовательных классов.

Кстати заметим, что правила расстановки знаков в числовых промежутках при решении неравенств методом интервалов также следует отнести к предпрофильной подготовке учащихся. Речь идет о теореме: если все старшие коэффициенты двучленов (и, вообще, многочленов), записанных в левой части неравенства  (или ) положительны, то знак крайнего правого интервала положительный. И еще: при переходе через корень четной кратности знак не меняется (меняется четное число раз), при переходе через корень нечетной кратности – меняется. Это дальнейшее развитие метода интервалов значительно упрощает решение неравенств, но существенно затрудняет описание хода решения, его оформление.

Последнее: для решения нестрогих неравенств целесообразно разбивать их на решение строго неравенства и соответствующего уравнения, т.е.,   . Данный равносильный переход (для учащихся предпрофильного класса) как раз в духе современных тенденций, существующих в школьной математике.

При подготовке к выпускным экзаменам в 11-м классе целесообразно повторить эти три метода решения одного и того же неравенства и присовокупить к ним третий метод, который иногда ученики (к сожалению) используют для решения квадратичных неравенств. Это очень «сильный», универсальный метод решения неравенств – обобщенный метод интервалов. Он изучается, как правило, в 10 классе и основан на следующем утверждении: если функция  непрерывна на интервале I и не равна нулю ни в одной точке этого интервала, то функция в любой точке интервала I принимает одинаковые по знаку значения (сохраняет на этом интервале свой знак). Напомним алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов.

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Для решения неравенства , где, для определенности, положим , рассмотрим функцию  (для того, чтобы «попасть» в условие теоремы). Чтобы найти промежутки, в которых функция  сохраняет знак, найдем нули функции и точки (или даже, как это иногда бывает, промежутки) разрыва.

Находим нули функции:     .

Найдем промежутки, в которых функция  непрерывна, для чего найдем точки разрыва, то есть, фактически, область определения функции. В данном случае, функция  непрерывна на множестве всех действительных чисел, кроме .

Рисунок 4

Отметим на координатной прямой найденные точки (нули – обычными точками, точки разрыва – выколотыми; рисунок 4). Они делят координатную прямую на интервалы, в каждом из которых функция  непрерывна и не обращается в нуль, т.е. принимает значения одного знака. Знак функции в каждом интервале находим методом пробной точки. Если , и , то  для любых . Аналогично, если  и , то  для любых ; если  и , то  для любых . На рисунке после этих вычислений, часто проводимых формально, «для галочки», ставят соответствующие знаки и считывают с рисунка ответ.

Заметим, что далеко не всегда знаки чередуются; не всегда знак крайнего правого интервала «+». Особенно, если в неравенстве участвуют выражения, содержащие иррациональности, показательные и логарифмические выражения.

В заключение приведем еще один пример «метода интервалов», который существует в школьной математике. Он основан на том, что уравнение можно решать не на всей числовой прямой, а на нескольких промежутках, объединением которых служит множество . Тогда решением исходного уравнения будет объединение найденных корней из каждого промежутка. Для того, чтобы не путать (терминологически) этот метод с методом интервалов, будем называть его методом промежутков.

МЕТОД ПРОМЕЖУТКОВ

Пример. Решим уравнение .

Решение. Так как  и , то числовая прямая точками 2 и –3 разбивается на три промежутка, на каждом из которых можно по-разному «снять» знак модуля. Решим данное уравнение на каждом из промежутков.

1)     ;

2)     ;

3)     .

Теперь решения уравнений объединяем и получаем окончательный ответ.

Ответ: .