Подготовка к ГИА по алгебре
статья по алгебре (9 класс) по теме

ФГОУ «Московский кадетский корпус «Пансион воспитанниц МО РФ»

УТВЕРЖДАЮ

      Начальник цикла «математика,

основы информатики  и ВТ»

                                                                                                                Н. Стаценко

“____ ”  _________ 2011 года

«Подготовка к ГИА. Решение уравнений. Задания повышенного уровня сложности», 9 класс

                                             Методическая разработка

                                                    преподавателя цикла (математика, основы информатики и ВТ)

Матвеевой Елены Юрьевны.

                                                 Москва

                                             2010 - 2011 учебный год  

                         Содержание

1. Вступление. Уравнения старших степеней______________________3

2. Различные способы решений__________________________________3

3. Решение способом разложения на множители___________________ 3

4. Решение способом введения новой переменной__________________5

5. Особые случаи_______________________________________________6

6. Дополнительные задания _____________________________________8

7. Заключение__________________________________________________9

8. Литература__________________________________________________10

        Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач реального мира сводится к решению различных видов уравнений.

Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

           Для уравнений 3 и 4 степени известны формулы корней, но они очень сложны и неудобны для практического применения так как содержат радикалы 2-ой и 3-ей степени. Что касается уравнений пятой и более высоких степеней, то общих формул корней не существует. Однако для уравнений высокого порядка частных видов существуют методы их решения. Стоит отметить, что навыки в решении таких уравнений совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться к ГИА и успешно выступать на математических конкурсах и олимпиадах.

           В большинстве случаев решение уравнения стараются свести к решению квадратных и линейных уравнений. При этом  наиболее часто употребляемыми преобразованиями  для решения уравнений старших порядков являются:

1. Метод разложения на множители;
2. Метод введения новой переменной;
3. Графический метод.

          При решении уравнений  мы наиболее часто применяем два  из этих методов -  метод разложения многочлена на множители и метод введения новой переменной.

Рассмотрим  1-ой способ:   Метод разложения на множители. Основа данного метода  не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Если в уравнении Р(х)=0 многочлен Р(х) разложить на множители методом группировки или другим равносильным преобразованием и затем приравнять каждый множитель к 0, то решив получившиеся уравнения, находим корни уравнения Р(х)=0.

Пример 1. Решить уравнение: 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 . 

Р е ш е н и е . Разложим левую часть этого уравнения на множители:

x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 ) .

Решим уравнение: x 2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 .

Теперь решим уравнение: 3x 2 + 6x – 9 = 0, и получим:

x3 = 1 и x4 = – 3 .

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня:

x1 = x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = – 3 .

Пример 2.  Решить уравнение:   x6-5x4-5x2+1=0

   x6-5x4-5x2+1=0

  (x6+1)-(5x4+5x2)=0

  x6+1=(x2)3+1=(x2+1) (x4-x2+1)

  (x2+1)(x4-x2+1)-5x2(x2+1)=0

  (x2+1)(x4-x2+1-5x2)=0

  (x2+1)(x4-6x2+1)=0

   x2+1=0    или   x4-6x2+1=0

 нет корней         x1=-1+21/2

                             x2=-1-21/2

                             x3=1+21/2

                             x4=1-21/2

Ответ: 1-21/2

Пример 3.  Решить уравнение:   x(x+1)(x+2)(x+3)=120

x(x+1)(x+2)(x+3)=120

x4+6x3+11x2+6x-120=0

x4+6x3+11x2+6x-120=(x4-2x3)+(8x3-16x2)+(27x2-54x)+(60x-120)=

=x3(x-2)+8x2(x-2)+27x(x-2)+60(x-2)=

(x-2)(x3+8x2+27x+60)=0

x1=2    и  x3+8x2+27x+60=0

              (x3+5x2)+(3x2+15x)+(12x+60)=x2(x+5)+3x(x+5)+12(x+5)=(x+5)(x2+3x+12)=0

x2=-5     и       x2+3x+12=0

                       корней нет

Ответ: -5,2.

  x(x+1)(x+2)(x+3)=120

  x4+6x3+11x2+6x-120=0

Подбираем целый корень. х=2-  корень

Делим уголком на x-2 и т.д.

Рассмотрим  2-ой способ:  Введение  новой  переменной.

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1:   x(x+1)(x+2)(x+3)=120

Перемножим 1-ый и 4-ый множитель  и 2-ой и 3-ий:

( x2+3x)(x2+3x+2)=120

t= x2+3x

 t*(t+2)=120

t2+2t-120=0

t1=-12                       t2=10

x2+3x +12=0            x2+3x-10=0

нет корней               x1=2    x2=-5

Ответ:-5,2.

Пример 2:   (x2-6x)2-2(x-3)2=17

                     (x2-6x)2-2(x2-6x+9)=17

                     t=x2-6x

                     t2-2t-35=0

                     t1=-5              t2=7

x2 - 6x+5=0            x2-6x-7=0

x1=1    x2=5          x3=-1    x4=7

Ответ:-1;1;5;7.

Рассмотрим  особый  случай,  когда при решении применяют несколько способов.

Комбинированный способ:

Пример 1:   Решите уравнение и запишите в ответ сумму корней:

а) (5х + 1)2 + 2(5х + 1)(х2 + 1) + (х2 + 1)2 = 4.

Выполним замену: (5х + 1) = a  и  (х2 + 1) = b 

Получим уравнение:

Отсюда:                              или

Обратная замена:

Найдем сумму корней:                                                                

 Ответ: - 10.

Пример 2:   а) Прямая  2х + 3у = с, где с – некоторое число, касается гиперболы   у=6/х   в точке с отрицательными координатами. Найдите с.

   Рассмотрим функции: 2х+3у=с – линейная функция, ограничений на переменную х нет.              у=6/х – обратная пропорциональность.

Накладываем условие на переменную:  х ≠ 0.

Подставим выражение      вместо у в первое уравнение                  

Получим уравнение:                    . Умножим обе части уравнения на х ≠ 0.

Получим уравнение:                          

Графики функций имеют единственную точку в том и только том случае, когда уравнение имеет единственный корень.

Т.к. точка касания имеет отрицательные координаты, то с < 0. Поэтому условию задачи удовлетворяет только с = -12.

В этом случае получаем прямую,                     которая касается ветви гиперболы, расположенной в 3 четверти, т.е. в точке с отрицательными корд-ми.  Ответ: с =  - 12.

Пример 3:   а) Прямая   у = 2х + b касается окружности    х2+у2=5   в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Выполним подстановку                   и  найдем значения  b  при которых уравнение имеет единственное решение:

Полученное уравнение имеет единственное решение, если D=0.

Решив уравнение                       , получим b = ±5.

Т.о. получили уравнения двух прямых, касающихся окружности:               и                                  

 Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение

При b = 5 получим уравнение:                                

Этот корень не удовлетворяет условию задачи.

При b = - 5 получим уравнение:                                

Найдем соответствующее значение  у = 2·2 - 5 = -1. Координаты точки касания (2; - 1).    

 Ответ: (2; - 1)            

Дополнительные задания:

1. Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнения:

1 уровень:                                   

а) х4 + 2х2 – 8 = 0;  

б) х3+ 2х2 – х – 2 = 0.

2 уровень:

а)   х – 2  – 15 = 0

б) (х – 2)2(х – 3) = 12(х – 2).

3 уровень:

а) (1 – х)4  + (1 – х)2 = 20;  

б) х5 – 3х4 + 2х3 – 6х2 – 3х + 9 = 0.

2. Задания для самостоятельного решения:

Уровень 1. Решите уравнение и запишите в ответ сумму корней:

б) (2х2 + 1)2 –2(2х2 + 1)(х + 4) + (х + 4)2 = 0.

Уровень 2.

б) Прямая  х + 4у = с, где с – некоторое число, касается гиперболы    у=4/х    в точке с положительными координатами. Найдите с и координаты точки касания.

Уровень 3.

б) Прямая   у = х + b  касается окружности    х2+у2=8     в точке с отрицательной абсциссой. Определите координаты точки касания.

3. Задания для самостоятельного решения:

1. Очевидная замена                          II.      Неочевидная замена

1. 2х⁴+х²-1=0                                    1) (х²-6х)²-2(х-3)²=81

            2)  (х²+3х+1)( х²+3х+3)+1=0                      2) (8х²-3х+1)²=32х²-12х+1

               3) (х+3)⁴-3(х+3)²+2=0                      3) (х²+х+1)²-3х²-3х-1=0

               4) +  +4 =0                            4) (х²+2х)²- (х+1)²=55

5)   -  +1=0                                  5) (х²-5х+7)(х-2)(х-3)=2

4. Задания для самостоятельного решения:

1. (х+1)⁴+(х+5)⁴=32
2. (х+3)⁴+(х+5)⁴=16
3. (х-1)⁵+(х+3)⁵=242(х+1)                                  
4. (х-2)⁶+(х-4)⁶=64
5. (х+3)⁴+(х+1)⁴=20

Заключение

       Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет

назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и

решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С

помощью таких уравнения решались разнообразные задачи землемерия,

архитектуры и военного дела. Точный язык математики позволяет просто

выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным

языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины,

обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав

задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения

уравнений составляют в основном предмет того раздела математики,

который называется алгеброй и теорией чисел.

       Рассмотренные примеры показывают основные способы решения

алгебраических уравнений степени n= 3: разложение многочлена на

множители, деление на одно и тоже выражение, введение новой переменной.

Все указанные способы позволяют понизить степень уравнения и свести

решение данного уравнения к решению квадратного или линейного уравнения.

       Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n – ой степени нет. В данной работе на конкретных примерах рассмотрели различные способы понижения степени уравнения.

Литература:

1. Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 кл. /[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. — 5-е изд.— М.: Просвещение, 2010.— 239 с.
2. Сычева, Г. В. Алгебра: Экспресс-репетитор для подготовки к ГИА: «Уравнения», «Системы уравнений»: 9 кл. / Г.В. Сычева, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев. - М: ACT: Астрель: Полиграфиздат, 2010. - 126 с.
3. ГИА. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Тематические тренировочные задания. Повышенный уровень. /Е.А. Семенко, Е.Н. Белай, Г.Н. Ларкин, В.Н. Сукманюк; под ред. Е.А. Семенко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. — 77 с.
4. Авторы: Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б.

5.  Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. 5-е изд.  – М.: Просвещение, 2010. — 304 с.