Подготовка к зачету по алгебре по теме: "Показательная функция", 11 класс
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Подготовка к зачету по алгебре по теме: «Показательная функция», 11 класс

Теория

Знать:

1. Определение показательной функции.

2. Свойства показательной функции.

3. Определение  показательного уравнения.

4. Определение показательного неравенства.

5. Способы решения показательных уравнений.

6. Правила решения показательных неравенств.

Практика

1.  Умение схематически строить график показательной функции у = ах, при 0

  a >1.

2. Умение находить область значений показательной функции.

Пример: Определите область значений функции у = 2х+1 – 4.

Решение: Область значений показательной функции у = 2х+1 является промежуток (0; + ∞), следовательно, имеем:  2х+1 > 0 | вычтем – 4;

                                          2х+1 – 4 > 0 – 4,   2х+1 – 4 > -4. Значит Е(у) = (-4; +∞).

3. Умение сравнивать числа.

Пример: Сравните числа 2,5-1 и 2,5-4.

 Решение: Т. к. основания степени одинаковые, то сравниваем показатели -1 > -4, учитывая свойства показательной функции у = 2,5х, которая является возрастающей при а = 2,5; 2,5 > 1:

2,5-1 > 2,5-4 (знак сохраняется).

4. Умение находить значение выражения, содержащего степень, корни и упрощать данные выражения.

Пример 1: Найдите значение выражения .

Решение: .

Пример 2: Найдите значение выражения при х > 0/

Решение: Упростим: .

5. Умение решать показательные уравнения

Пример 1: Решите уравнение 3х+1 = .

Решение: Приведем к одному основанию левую и правую части уравнения: 3х+1 = 3-1. Следовательно, переходим к равносильному уравнению  х + 1 = -1, х = -1 – 1, х = -2.

Ответ: -2

Пример 2: Решите уравнение 3х – 3х+3 = -78

Решение: Используя свойства степени, получим 3х – 3х ∙ 33 = -78, 3х – 3х ∙ 27 = -78.

Вынесем общий множитель за скобки: 3х(1 – 27) = -78, 3х ∙ (-26) = -78, 3х = 3, х = 1.

Ответ: 1.

Пример 3: Решите уравнение 22х - 6∙2х  + 8 = 0

Решение: Введем новую переменную 2х = t, t > 0. Получим уравнение: t2 – 6t + 8 = 0, D1 = 9 – 8 = 1, x1 = , x2 = . Вернемся к замене: 1) 2х = 4, 2х = 22, х = 2; 2) 2х = 2, х = 1.

Ответ: 1; 2.

 Пример 4: Решите уравнение

Решение: Преобразуем левую часть: . Разделим обе части уравнения на 8х > 0. Имеем: , .

Ответ: 0.

Пример 5: Решите систему уравнений:

Решение: Преобразуем систему уравнений:
перейдем к равносильной системе: решим способом сложения, умножив второе уравнение системы на -1:  сложим: (2х – х) = 2, х = 2, найдем у из первого уравнения: 2 ∙ 2 – у = 3,  4 – у = 3, у = 4 - 3  = 1.

Ответ: (2; 1).

6. Умение решать показательные неравенства

Пример 1: Решите неравенство 0,54х +3 0,56х-1

Решение: Т.к. функция у = 0,5х  - убывающая  (а = 0,5;  0 < 0,5 < 1), то знак неравенства изменится при переходе к равносильному неравенству: 4х + 3  6х – 1;  4х – 6х  -1  - 3;  

-2х  -4;  х  2.

Ответ: х  2 или х ϵ [2; +∞).

Пример 2: Решите неравенство 4х - 3∙ 2х – 4 < 0.

Решение: 22х - 3∙ 2х – 4 < 0. Пусть 2х = t, t > 0. Решим неравенство t2 – 3t - 4< 0 графическим способом.

1. у = t2 – 3t – 4 – квадратичная функция, парабола, ветви вверх
2. нули функции: t2 – 3t – 4 = 0

D = 9 – 4 ∙ (-4) = 25 > 0, 2 корня

t1 =  ; t2 =  

4. Вернемся к замене: -1 < t < 4, t > -1 не удовлетворяет условию t > 0, следовательно,

t < 4;  2х < 4;  2х < 22, т.к. функция у = 2х – возрастающая (а = 2, а >1) и знак сохраняется. Значит х < 2.

Ответ: х ϵ (-∞; 2).