Интегрированное занятие по теме «Геометрические фракталы и L-системы в векторных редакторах» в рамках интегрированного элективного курса: «Математика. Искусство. Графика».
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Этап урока

Ход урока

Оборудова-

ние

1. Мотивация

Фрактально-музыкальная композиция.

Как вы думаете, то, что мы увидели, это – математика, искусство или компьютерная графика? (небольшое обсуждение).    

В общем, я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности.

     Так писал в 1977 году французский математик Бенуа Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы».

Сегодня на занятии мы постараемся заглянуть в таинственный мир фрактальной геометрии. Мы узнаем, как она описывает законы природы, и, как ни удивительно это прозвучит, как фрактальная геометрия помогает развиваться современному искусству.

Слайды 1-42

  2.Введение  нового материала

     Евклидова геометрия изучает фигуры с размерностью 1,2,3. Увеличение линейного размера отрезка в 2 раза приводит к увеличению его длины также в 2 раза. Увеличение линейных размеров квадрата в 2 раза приводит к увеличению его площади в 4 раза. Увеличение линейных размеров куба в 2 раза приводит к увеличению его объема в 8 раз.

То есть размерность показывает, по какому закону растет внутренняя область объекта.

Рассмотрим муху, которая хочет сесть на клубок шерсти. Смотрит на клубок издалека – видит точку (размерность 0). Подлетает ближе, сначала видит круг (размерности 2), потом шар (размерности 3). Когда муха сядет на клубок, она уже не увидит шара, а рассмотрит ворсинки, нитки, пустоты, то есть объект с дробной размерностью (размерность в этом случае будет выражаться дробным числом).

1.Фрактал – фигура, обладающая дробной размерностью.

2. Самоподобие – вторая характеристика фрактала. Небольшая часть фрактала содержит информацию о самом фрактале. Вид и форма объекта целиком повторяются в сколь угодно малых частях фигуры.

3. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus – «сломанный, разбитый».

Давайте рассмотрим примеры образования некоторых геометрических фракталов. Показать салфетку Серпинского, кривую Гильберта, кривую Коха, Пифагорово дерево.

Если решить обойти снежинку Коха по периметру, то это не удастся, так как потребуется бесконечно долгое время. Также привести слова Чезаро о снежинке Коха.

Слайды 43-64

3. Работа со сравнитель-ной таблицей

Заполняем сначала левую часть таблицы на примере кривой Коха. Основная закономерность – на каждом отрезке фигуры строим шаблон. Выявляем в процессе проблемного диалога, что является базовой фигурой и шаблоном для фрактала кривая Коха.

Раздаточный

материал

4. Введение понятия

L-system

Учитель математики читает стихотворение:

Как объяснить, как движется река,

И как растут деревья год за годом,

Как обретают форму облака

И как они освещены восходом?

Порядок на земле и в небесах

Для всех вещей, что велики и малы!

Их имя возникает на устах,

И я шепчу с доверием: фракталы.

      Мы всегда задумываемся о красоте окружающего нас мира. Мы заворожены формой облаков, строением деревьев. Во время роста живых организмов, особенно растений, можно четко видеть регулярно повторяющиеся многоклеточные структуры. Маленькие листочки, которые являются частью большого взрослого листа, имеют ту же форму, что весь лист на раннем этапе формирования. Как же такое возможно? Венгерский биолог Аристид Линденмайер, который изучал развитие простых многоклеточных организмов, предложил математическую модель, относящуюся к фрактальной математике. Свои идеи Линденмайер изложил в книге «Алгоритмическая красота растений».  Эта модель получила название L-system. Основная идея системы Линденмайера – в перезаписи элементов объекта. Эта идея используется в графических редакторах.

Слайды

65-66

5. Работа в векторном редакторе Inkscape

С появлением компьютерной графики изменился и сам подход к исследованию в точных науках. Если раньше учёным приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие красивые картинки изучаемых явлений.

Вы  уже использовали  язык программирования  ЛОГО, РОБОТА, ЧЕРТЕЖНИКА на уроках информатики, где писали команды исполнителю  нарисовать геометрическую фигуру. LOGO создали в 1967 году, уже в 1968-м венгерский биолог Аристид Линденмайер предложил модель для изучения простых многоклеточных организмов, которая была расширена и сегодня используется для моделирования сложных ветвящихся структур — разнообразных деревьев и органики. В основе подхода можно увидеть уже знакомого исполнителя:

F (вперед с рисованием линии)

f (вперед без рисования)

+ (поворот влево)

— (поворот вправо)

& (поворот вниз)

^ (поворот вверх)

\ (наклон влево)

/ (наклон вправо)

| (развернуться на 180°)

В отличие от простых процедур ЛОГО, L-Systems даже на самом простом уровне имеет природу рекурсии, самоповторяемости, которая называется перезапись (rewriting). Достаточно написать строчку команд (правил) рисующих треугольник, и задав количество шагов,  и угол ветвления мы получим звездочку или снежинку. Так к примеру с помощью L-Systems генерируются красивые деревья и органика в 3D.

 Существует  много программ по созданию фрактальных изображений. Эти программы имеют свои достоинства и недостатки. С развитием технологий количество программ увеличивается, а их качество и возможности улучшаются.

Чтобы лучше понять, как это работает,  рассмотрим на  примере программы Inkscape пример построения фрактальной веточки.

 1. Запускаем векторный редактор Inkspase

2. Панель инструментов Расширения – Отрисовка – Система Линденмайера

3. Выберем порядок 0, 1, 2, 3.

Обсуждаем с учащимися аксиому и шаблон, что показывает порядок, как происходит работа программы, как заложена рекурсия?

Вместе с учащимися прослеживаем аналогию между геометрическим способом построения фрактала и L-системой. Потом предлагаем самостоятельно подобрать аксиому и правило для кривой Коха (работа в парах за компьютерами)

Возвращаемся к таблице и заполняем правую часть.

Слайды

67-71

Компью-

теры

6. Подведение итога урока

Наверное, сложно найти людей, которых бы не завораживало созерцание фрактальной графики – в ее таинственных элементах кому-то может представляться ночное пламя костра, кому-то – длинные плети колышущихся водорослей в толще воды, кому-то – целое таинство Вселенной. Но так или иначе фрактальная графика однозначно притягивает наши взоры, а программные пакеты для ее создания могут стать той ступенькой, которая позволит приблизиться к настоящему фрактальному творчеству.

Эта история началась в одно  тысяча девятьсот восьмидесятом году, когда сотрудник корпорации Boeing Лорен Карпентер представил на выставке  двухминутный ролик, изображающий сложнейший и чрезвычайно реалистично смотрящийся ландшафт, сформированный на основе фрактальных геометрических алгоритмов. Узрев такое величие, фирма Джорджа Лукаса  поспешила переманить Карпентера к себе - и в 1982 году честной народ снова ахнул, увидев в фильме «Звездные войны»  сцену "быстрого терраморфинга" целой планеты. Показ фрагмента из «Звездных войн».

В финале трейлера узнаем "фрактальные" ландшафты - но это сейчас они узнаваемы почти для всех, кто, так или иначе, имел дело с компьютерной графикой. На тот момент подобный спецэффект потрясал воображение киноманов.

Вернемся к вопросу, с которого мы начали занятие. То, что мы видели в начале урока, - это и математика, и искусство, и компьютерная графика. Это – пример их великолепного взаимодействия.

Реализация фрактальных идей с помощью компьютерных программ на основе L–систем дала возможность создавать реальные изображения природных объектов, практически неотличимых от фотографий. Развитие 3D технологий позволило создавать спецэффекты высочайшего качества. В кино победила  визуальная составляющая, зрелищность стала основной чертой современной киноиндустрии.

Слайд

72-73