Программа элективного курса "Неравенства: простые и сложные"
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс)

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«Неравенства: простые и сложные»

для учащихся 10 – 11 классов

Пояснительная записка

Математика является предметом, обязательным для всех общеобразовательных учреждений Российской Федерации, осуществляющих основное и среднее общее образование. Это обусловлено ролью предмета в интеллектуальном и общекультурном развитии человека.

В программе курса предусмотрено значительное увеличение активных форм работы, направленных на вовлечение учащихся в математическую деятельность, на обеспечение понимания ими математического материала и развития интеллекта, приобретение практических навыков, умений проводить рассуждения, доказательства. Наряду с этим в ней уделяется внимание использованию компьютеров и информационных технологий для усиления визуальной и экспериментальной составляющей обучения математике.

Неравенства представлены во многих темах программного материала:  «Тригонометрические неравенства», в задачах на оптимизацию, «Показательные неравенства», «Иррациональные неравенства», «Логарифмические неравенства», «Неравенства с модулем», традиционно предлагаемые на государственной аттестации по математике. Это одна из самых сложных тем на экзамене и вызывает трудности у многих учащихся.

Предлагаемый курс содержит не включенные в базовый курс школьной математики вопросы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10-11 классов, которым интересна математика. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя.

Занятия могут проводиться как на высоком уровне сложности, так и  включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Неравенства являются важным средством обучения математике. Прежде всего, необходимо усвоить способы решения типовых задач: способы решения линейных, квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других неравенств, тождественные преобразования алгебраических и неалгебраических выражений, построение графиков элементарных функций и многое другое.

Решение неравенств – это деятельность сложная для обучающихся. Сложность её определяется, прежде всего, комплексным характером: определить вид неравенства, получить аналитическую модель, изобразить графически и выполнить символическую запись.

Приступая к решению задачи, необходимо научиться внимательно, читать её     условие и вопрос.

Для решения сложных задач нужно иметь не только прочные навыки в решении типовых задач, но и знания специальных приёмов.

Так неравенства включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы ЕГЭ, олимпиадные задачи.

Данная программа составлена для работы с обучающимися 10-11классов, которые желают овладеть эффективными способами решения неравенств.

Условия задачи (нахождение в некоторых из них ОДЗ) позволяет ученику устанавливать различные связи (объединение или пересечение промежутков), осознать идею решения, его логику, увидеть и понять способы решения.         

Решение неравенств становится для школьников увлекательным занятием и значительно повышает интерес к изучению темы курса алгебры и начала математического анализа в перечисленных ранее темах.

Элективный курс «Неравенства: простые и сложные» рассчитан на 70 часов. 10 класс – 35 часов; 11 класс – 35 часов. Количество часов – 1 час в течение двух лет обучения.

Цели курса:

• систематизация и развитие знаний обучающихся о методах, приёмах, способах решения неравенств, их видах;
• развитие математических знаний, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

Задачи курса:

• научить решать неравенства более высокой сложности, по сравнению с обязательным уровнем;
• научить детей решать задачи различными способами и методами, что способствует развитию логического мышления у учеников, развивает сообразительность, интуицию учащихся;
• научить обосновывать правильность решения неравенств, проводить проверку, самопроверку, взаимопроверку, формировать умение пользоваться различными методами и способами для поиска правильного его решения;
• приобрести определённую математическую культуру;
• помочь оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;
• приобщить учащихся к работе с математической литературой.

Требования к уровню подготовки учащихся

 После изучения курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

        Знать/понимать:

•   основные виды неравенств;
•   способы решения неравенств различных видов.

Уметь:

•   определять тип неравенства, особенности методики его решения, используя   при этом разные способы решения;
•   уметь использовать дополнительную математическую литературу;
•   использовать математические средства наглядности (справочники, таблицы,   схемы, и т.д.) для определения грамотного решения неравенства;
•   составлять область допустимых значений;
• обосновывать правильность решения неравенства;
•  уметь формировать искомый ответ.

         Использовать на практике:

• применять полученные математические знания в решении жизненных задач.

Обоснование актуальности, новизны и значимости курса

Современный социальный заказ системе образования на федеральном уровне формулируется так: государству нужен здоровый и свободный человек. На сегодняшний день существует компетентностная модель выпускника – это выпускник, обладающий ключевыми общепредметными, предметными компетенциями в интеллектуальной, гражданско-правовой, информационной, коммуникационной и прочих сферах современной жизни. Данное требование являлось приоритетным условием при разработке содержания и организации данного курса.

Практическая направленность курса

Структура материала рассчитана так, что соблюдается единство программы курса. Отдельные занятия и весь курс в целом взаимосвязаны.

С целью предотвращения перегрузки учебный материал распределен так, что практически не требуется домашняя подготовка.

Новизна программы:

– в добавлении учебных часов на углубленное изучение уравнений и неравенств;

- в построении учебного материала;

- в определенном планировании занятий;

- в представлении разноуровневых заданий, которые используются по усмотрению учителя (в зависимости от уровня подготовки учащихся);

- в акцентировании внимания на взаимопроверке, самопроверке и рецензировании работ.

Значимость данной программы:

-  углубление знаний по основам уравнений и неравенств;

- овладение умением приёмами аналитико-синтетической деятельности при решении задач

- формирование умений применять полученные знания на практике;

- обеспечение сознательного усвоения материала.

- прикладная направленность курса по выбору.

Принципы, на которых базируется программа:

- учет индивидуальных особенностей учащихся;

- активность и сознательность обучения;

- личностно ориентированный подход при разработке занятий;

- связь теории и практики;

- наглядность;

- системность и последовательность.

Основные виды деятельности учащихся, используемые на занятиях, которые предусматривают организацию самостоятельной познавательной деятельности:

- анализ решаемых заданий;

- взаимопроверка заданий;

- работа с дополнительной литературой (справочниками);

- составление таблиц;

- подготовка и обсуждение собственных решений учащихся;

- организация самостоятельных, практических работ.

- выполнение геометрических наглядных пособий.

Особенности возраста учащихся 10-х классов:

Специфика адаптации  10-классников определяется особенностями  возраста и спецификой профильного обучения. Важной социальной потребностью данного возраста является потребность в поисковой активности, в самоопределении, в простраивании жизненных перспектив.

Учащиеся, которые целенаправленно выбрали данный элективный курс, планируют в дальнейшем сдавать ЕГЭ по данному направлению и поступать в ВУЗ. Выбранное направление в обучении соответствует психофизиологическим и личностным  особенностям , интересам и склонностям учащегося , то, несмотря на повышенные требования и увеличение учебной нагрузки, утомление и связанные с ним невротические явления наблюдаются гораздо реже, а эффективность обучения повышается.

Тематическое планирование

Использование ИКТ и ЦОР на занятиях элективного курса

Содержание программы

Тема 1 (8ч) Введение. Линейные и квадратные неравенства

Повторение алгоритма решения линейных неравенств и квадратных неравенств, систем неравенств. Рассматриваются решения демонстрационных материалов ОГЭ. Привить навыки решения неравенств «от начала к концу», формировать ответ в виде числовых промежутков.

Тема 2 (7ч) Решение неравенств методом интервалов

Повторение алгоритма решения неравенств методом интервалов.  

Рассматривается решение демонстрационных примеров. Решение заданий.

Выполняется практическая работа, состоящая  из 8-12 неравенств, систем неравенств.

Тема 3 (6ч) Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Рассматриваются

 неравенства вида v0, где f(x)˅g(x) представлены в виде множителей и так же

описывается метод интервалов, как способ быстрого решения таких неравенств. Область определения функции. Рассматриваются решения демонстрационных примеров, 4 вида неравенств, в зависимости от знака сравнения. Практическое занятие по теме состоит из 10 неравенств.

 Тема 4 (12ч) Неравенства, содержащие знаки  модуля

Повторение понятия модуля числа и функции. Рассматриваются 4 вида равносильных

замен, которые применяются при решении неравенств и на каждый вид замен приводится пример. Приводятся примеры раскрытия знака модуля числа и числового выражения, раскрытие знака модуля элементарных функций, упрощение выражений, содержащих более одного знака модуля. Рассматривается 8 видов неравенств, содержащих модули. Рассматриваются задания разной степени сложности, которые могут быть использованы для дифференцированной работы различного уровня подготовки. Тренировочные упражнения состоят из 8 примеров по теме на каждый вид неравенств. Приводится 10 заданий повышенной сложности, предлагаемых на ЕГЭ.

Тема 5 (2ч) Решение избранных задач ЕГЭ

Тема 6 (11ч) Обобщённый метод интервалов

Предполагает использование метода интервалов при решении неравенства вида ах2 +вх+с˅0; изучения способа решения неравенств вида (a1х+b1)˖(а2х+b2)˖…˖(аnх+bn)˅0

c использованием метода интервалов. Решение неравенств вида способом замены эквивалентной системой условий:

Предполагается  отработка алгоритмов на примерах продвинутого уровня.

Тема 7 (6ч)  Показательные неравенства

Решение показательных неравенств  рассматривается на примерах, проводятся равносильные преобразования. Тренировочные упражнения берутся из заданий ЕГЭ. Решение неравенств по пройденной теме «Показательные неравенства»

Самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства». 

Тема 8 (6ч)  Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств вида .

Рассматриваются различные схемы равносильных преобразований неравенств

логарифмического вида с числовым основанием. Тренировочные задания состоят из

заданий ЕГЭ. Решение неравенств по пройденной теме «Логарифмические неравенства». Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства».

Тема 9  (4ч) Тригонометрические неравенства 

Рассматривается решение тригонометрических неравенств: метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод введения дополнительного угла, приводимых к сравнению тригонометрических функций с нулём методом интервалов и отбор корней через двойное неравенство.

Тема 10  (6ч) Решение неравенств по материалам ЕГЭ 

Предлагаемые задания различны по уровню сложности: от простых неравенств на

применение изученных приёмов до достаточно трудных неравенств, предлагаемых на

вступительных экзаменах в технические университеты.

Тема 11  (2ч) Итоговое занятие по защите проектов учащихся

       Курс является открытым, в него можно добавлять новые методические приёмы,

развивать тематику или заменять, какие – либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объёму, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. даёт возможность уменьшить количество задач при установлении степени достижения результатов. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Критерии  оценки  и  система  оценивания  знаний,

умений и навыков обучающихся

        По окончании изучения каждой темы предусмотрена самостоятельная работа по решению неравенств на данную тему. По итогам года осуществляется защита проектов, выполненных учащимися. Темы проектов учащиеся выбирают самостоятельно, защита проектов осуществляется в два этапа:

1. защита презентации (теоретическая часть);
2. решение задач  по теме проекта (практическая часть).

По итогам полугодия учащимся выставляется «зачёт/незачёт», по итогам года

оценка. Зачёт получают учащиеся, посетившие не менее 75% занятий и имеющие оценку не ниже «3» за самостоятельные и практические работы.

Нормы оценок знаний, умений и навыков учащихся при выполнении письменных работ.

При оценке работ, состоящих только из задач, ставятся следующие отметки:

«5» – без ошибок;

«4» – допущены 1 -2 недочёта;

«3» – допущены 1 грубая и 3 недочёта;

«2» – допущены 2 и более грубых ошибок.

Оценивание решения одного неравенства.

Решение неравенства состоит из нескольких этапов:

• определить вид неравенства;
• наметить пути его решения;
• решить неравенство, учитывая его свойства;
• изобразить аналитическую модель на числовой прямой;
• выполнить символическую запись;
• сформировать правильно ответ.

Оценивая выполненную работу, естественно учитывать результаты деятельности

 учащегося на каждом этапе; правильность выбранного метода, выполнение последовательных действий, а так же степень осуществления этого плана при выставлении оценки нужно считать решающими. Т.о. при оценке учитывается весь алгоритм решения неравенства, какие навыки и умения были показаны, какие использовались методы.

        При устном ответе по теоретическому материалу решающим является умение формулировать свойства неравенств, правильно определять его вид, видеть связи между понятиями, уметь грамотно и стройно излагать свои мысли.

Методическое обеспечение программы курса

1. Дидактический и раздаточный материал
2. Функции организации занятий

– индивидуальные;

– фронтальные;

– групповые.

3. Технологии

– личностно – ориентированные;

– технологии исследовательской деятельности;

– технологии проблемного обучения.

4. Методы обучения

– коммуникативный метод, предлагающий организацию учебного обучения как средства освоения общеучебных навыков;

– метод наглядной передачи информации и зрительного восприятия информации;

– метод передачи информации с помощью практической деятельности.

5. Формы обучения

– лекция;

– практические занятия;

– презентация творческих работ.

6. Методы и формы контроля

– устный опрос;

– письменная работа;

– самоконтроль;

– самооценка;

– оценка за защиту индивидуального проекта (реферата) ученика.

7. Описание материально – технического обеспечения

– компьютер;

– видеопроектор;

– документкамера;

– интерактивная доска.

Список литературы для учителя: