Способы устных решений квадратных уравнений
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Способы устных решений квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, а=/0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными.

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
   
   
   1) Если а+ b+c= 0, то х=1, х=.
   
   Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.
   
   а+ b+c= 0, х=1, х=. 1+ 4+(–5)= 0.
   
   Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
   
   D= b– 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36.
   
   х=== – 5.
   
   х===1.
   Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х=1, х=.
   
   
   2) Если b= а+c, то х= –1, х=.
   
   Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.
   Если b= а+c, то х= –1, х=. 8 =2 +6.
   
   Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
   
   D= b– 4ас=8– 4∙2∙6= 16.
   
   х=== –3

х=== –1.

Отсюда следует, что если b= а+c, то х= –1, х=.

2. Способ переброски.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

2х2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0
х= 10; х=1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

Ответ: 5; 0,5.

3. Закономерность коэффициентов.
   
   1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
   
   х= –а; х= –.
   
   ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0
   Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.
   
   х= –6; х= –.
   
   
   2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
   
   х= а; х= .
   
   ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0 
   
   Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.
   
   х= 15; х= –.
   3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 
   
   х= –а; х= .
   
   ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0
   
   Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.
   
   х= –17; х=.
   
   
   4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 
   
   х= а; х= –.

ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0.

х= 10; х= –.

Дидактический материал.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

а) 4х2– 100= 0, б) 2х2+ 10х= 0,

4х2 = 100, х (2х+10) = 0,

х2 =25, х = 0 или 2х+10 = 0,

х =5. 2х = –10,

 х = –5.



2. Решение квадратных уравнений по формуле:

а) 4х2+ 7х + 3 = 0.

D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0; 2 корня;
х===;

х=== –1.



б) 4х2 – 4х + 1 = 0,


D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0; 1 корень;



х= 

3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

а) х2 – 9х + 14 =0. б) х2 +3х – 28 = 0.

х1 +х2 = 9, х1 +х2 = –3,

х1· х2 = 14. х1· х2 = –28.

х=2; х= 7. 

4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0.

а+ b+c= 0, х=1, х=. а+ b+c= 0, х=1, х=. 

х=1, х= 2. х=1, х= 5.

5. Решение квадратных уравнений способом переброски.

а) 6х2 – 7х–3= 0.

х2 – 7х–18= 0,

D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D >0; 2 корня;

х==== –2;

х=== 
Корни 9 и (–2).

Делим числа 9 и (–2) на 6: 

х= х2 =

б) 2х2 – 11х +15= 0,

х2 – 11х + 30= 0,

D = b2 – 4ас = (– 11)2 – 4· 1 ·30= 212 –120= 1; D >0; 2 корня; 

х==

х==

Корни 5 и 6.

Делим числа 5 и 6 на 2:

х= х2 = 3.

6. Закономерность коэффициентов:

а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0.

b = (а2 +1); b = (а2 –1);

х= –5; х= – х= –7; х=