Способы устных решений квадратных уравнений
презентация к уроку по алгебре (8 класс)
Открытый урок
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 518.41 КБ |
![]() | 1.14 МБ |
Предварительный просмотр:
Способы устных решений квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, а=/0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными.
- Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
1) Если а+ b+c= 0, то х=1, х=.
Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.
а+ b+c= 0, х=1, х=. 1+ 4+(–5)= 0.
Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b– 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36.
х=== – 5.
х===1.
Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х=1, х=.
2) Если b= а+c, то х= –1, х=.
Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.
Если b= а+c, то х= –1, х=. 8 =2 +6.
Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b– 4ас=8– 4∙2∙6= 16.
х=== –3
х=== –1.
Отсюда следует, что если b= а+c, то х= –1, х=.
2. Способ переброски.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:
2х2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0
х= 10; х=1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.
Ответ: 5; 0,5.
- Закономерность коэффициентов.
1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х= –а; х= –.
ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.
х= –6; х= –.
2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х= а; х= .
ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.
х= 15; х= –.
3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х= –а; х= .
ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.
х= –17; х=.
4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны
х= а; х= –.
ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0.
х= 10; х= –.
Дидактический материал.
1. Решение неполных квадратных уравнений:
а) 4х2– 100= 0, б) 2х2+ 10х= 0,
4х2 = 100, х (2х+10) = 0,
х2 =25, х = 0 или 2х+10 = 0,
х =5. 2х = –10,
х = –5.
2. Решение квадратных уравнений по формуле:
а) 4х2+ 7х + 3 = 0.
D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0; 2 корня;
х===;
х=== –1.
б) 4х2 – 4х + 1 = 0,
D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0; 1 корень;
х=
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:
а) х2 – 9х + 14 =0. б) х2 +3х – 28 = 0.
х1 +х2 = 9, х1 +х2 = –3,
х1· х2 = 14. х1· х2 = –28.
х=2; х= 7.
4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:
а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0.
а+ b+c= 0, х=1, х=. а+ b+c= 0, х=1, х=.
х=1, х= 2. х=1, х= 5.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски.
а) 6х2 – 7х–3= 0.
х2 – 7х–18= 0,
D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D >0; 2 корня;
х==== –2;
х===
Корни 9 и (–2).
Делим числа 9 и (–2) на 6:
х= х2 =
б) 2х2 – 11х +15= 0,
х2 – 11х + 30= 0,
D = b2 – 4ас = (– 11)2 – 4· 1 ·30= 212 –120= 1; D >0; 2 корня;
х==
х==
Корни 5 и 6.
Делим числа 5 и 6 на 2:
х= х2 = 3.
6. Закономерность коэффициентов:
а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0.
b = (а2 +1); b = (а2 –1);
х= –5; х= – х= –7; х=
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , a=/0 . Квадратные уравнения бывают: полными ax 2 + bx + c = 0 неполными ax 2 + c = 0 или ax 2 + bx = 0 приведенными x 2 + p x + q = 0 .
Способы решения квадратных уравнений:
1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , где а ≠0 . Свойство 1 . Если а + b + с = 0 (т е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю) , то х 1 = 1, х 2 = с/а Свойство 2 . Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – с/а
2. Способ переброски . Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , где а ≠0 . Если а ± b+c ≠0, то используется прием переброски При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат . Пример. 2 х 2 – 11 х+ 5=0, 2-11+5=-4, 2*5=10 х 2 – 11 х+ 10= 0 х = 10; х = 1. Корни уравнения необходимо поделить на а=2 . Ответ : 5; 0,5.
3. Закономерность коэффициентов (а=с) 1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен ( а 2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 + 1)∙ х+ а= 0), то его корни равны Пример. Рассмотрим уравнение 6 х 2 + 37 х +6 = 0. х = –6; х = – . 2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен ( а 2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 - ( а 2 + 1)∙ х+ а= 0) , то его корни равны Пример . Рассмотрим уравнение 15 х 2 –226 х +15 = 0. х = 15; х = – .
3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен ( а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 – 1)∙ х – а= 0) , то его корни равны Пример. Рассмотрим уравнение 17 х 2 +288 х – 17 = 0. х = –17; х = . 4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен ( а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 – 1)∙ х – а= 0) , то его корни равны Пример . Рассмотрим уравнение 10 х 2 –99 х – 10 = 0. х = 10; х = – .
Вывод: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер
Литература 1. http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/resheniekvadratnyixuravneniyrazlichnyimisposobami.doc 2. http ://edu.of.ru/attach/17/76716.doc
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических,...
"Устные способы решения квадратных уравнений" 8 класс
Урок систематизации и обобщения знаний...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/04/picture-334108-1383586803.jpg)
Урок алгебры в 8 классе "Устные способы решения квадратных уравнений"
Содержит опорный конспект по теме "решение квадратных уравнений".Урок акцентирован на отработку устных способов решения квадратных уравнений...
![](/sites/default/files/pictures/2018/10/03/picture-1064887-1538544626.jpg)
мастер - класс по математике «Приемы устного решения квадратного уравнения»
Добрый день, уважаемые коллеги! Я, Загоскина О.А., учитель математики. Сейчас я проведу с вами мастер –класс на тему «Приемы устного решения квадратного уравнения»В школьном курсе...
Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени
Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени...
![](/sites/default/files/pictures/2021/06/16/picture-143697-1623840140.jpg)
Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»
Цель урока: закрепить графический способ решения квадратных уравнений при решении задач практического содержания, формировать умения строить математические модели, совершенствование навыков пост...
Буклет "Способы решения квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним"
Буклет в виде памятки по решению распространненных видов квадратных уранений (полных и неполных), а ткаже уравнений, приводимых к квадратным....