Открытый урок по алгебре в 8-м классе "Решение квадратных уравнений"

Если ты услышишь, что кто-то не любит
математику, не верь. Её нельзя не любить – её
можно только не знать

Тип урока: обобщение изученного материала.

Цели урока:

• обобщить изученный по теме материал;
• формировать умения применять математические знания к решению практических задач;
• развивать познавательную активность, творческие способности;
• формировать учебно-познавательную мотивацию школьников на уроке с помощью компьютерных технологий;
• воспитывать интерес к предмету.

Оборудование и материалы:

1. Презентация по теме «Квадратные уравнения».
2. Оценочный лист для контроля и самоконтроля.
3. Карточки-задания для устной и индивидуальной работы.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

См. «Приложения к уроку» - «Оценочный лист»
См. Презентацию «Квадратные уравнения», слайд 2

II. Теоретическая разминка.

Цель: повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать.

См. Презентацию «Квадратные уравнения», слайды 3, 4
См. «Приложения к уроку» - «Вопросы теоретической разминки»

Работа проходит устно в парах (каждый ученик получает возможность говорить, отвечать, проверять, оценивать).
Учитель в это время следит за работой пар, оценивает их работу (включенный контроль)

Проверяются знания определения квадратного уравнения, его видов, умение различать квадратное уравнение среди других видов.
За разминку дети ставят друг другу оценку в «Оценочный лист»
Подводятся итоги теоретической разминки.

III. Индивидуальная работа по карточкам

Цель: проверка необходимых умений различать квадратное уравнение среди других видов, определять вид квадратного уравнения, определять коэффициенты квадратного уравнения.

См. «Приложения к уроку» - «Карточка 1, Карточка 2, Карточка 3».
См. Презентацию «Квадратные уравнения», слайд 5.

Каждый учащийся получает карточку с индивидуальным заданием (задания различного уровня сложности), после окончания работы сдаются на проверку экспертам или учителю.
Оценки экспертов оглашаются для выставления в оценочный лист.
Подводятся итоги данного этапа урока.

IV. Совместная работа учителя с классом

Цель: повторение способов решения:
               а) неполных квадратных уравнений,
               б) полных квадратных уравнений.

См. Презентацию «Квадратные уравнения», слайды 6 – 11
См. «Приложения к уроку» - «Карточка 4»

На данном этапе организуется фронтальная работа по повторению способов решения квадратных уравнений.
Затем в презентации демонстрируются уравнения различного уровня сложности, учащимся предлагается выбрать уровень по своему усмотрению, решить самостоятельно уравнения и оценить себя.
Работы сдаются экспертам, которые их проверяют и оглашают оценки, оценки выставляются в «Оценочный лист».
Подводятся итоги данного этапа урока.

V. Исторические сведения
Цель: формирование учебно-познавательной мотивации школьников на уроке, воспитание интереса к предмету.

См. Презентацию «Квадратные уравнения», слайды 12, 13

На данном этапе учащимся сообщается, а также демонстрируется в презентации материал из истории возникновения квадратных уравнений, сведения об известном французском математике Франсуа Виете.
Затем учащимся предлагается решить самостоятельно задачу Бхаскары.

VI. Подведение итогов урока
При подведении итогов урока подчеркивается, что серьезное отношение к теории помогает углубить и расширить круг упражнений и задач по теме.

VII. Домашнее задание: Подготовка к контрольной работе.

ПРИЛОЖЕНИЯ К УРОКУ:

О

Оценочный лист

Фамилия, имя _______________________

Франсуа Виет

Жизнь Виета представляет для нас интерес во многих отношениях.

XV век в Западной Европе был веком ожесточенных религиозных волнений, и к началу XVI целый ряд стран отпал от католической церкви.

Всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала отклонение от своих учений. Церковный суд – инквизиция – всех попавшихся под подозрение карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и математики.

Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с помощью дьявола.

В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений было найдено вторично.

Мэтр Виет также был на волосок от костра.

В ту пору наиболее могущественное государство в Европе, Испания вела победоносную войну с Францией.

Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные очень сложным шифром (тайнописью). Виет с помощью математики сумел найти ключ к этому шифру. С этих пор французы, зная планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления.

Инквизиция обвинила Виета в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Но так как французы благодаря Виету в дальнейшем побеждали, он не был выдан инквизиции.

В родном городке Виет  был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом его жизни была математика. Биографы Виета пишут, что он мог несколько ночей подряд не спать, решая очередную математическую задачу.

БХАСКАРА (Бхасхара Ачарья) (1114 - ум . позднее 1178), индийский математик и астроном. Труд "Венец учения" ("Сиддханта-широмани", 4 книги, в т. ч. "Лилавати" и "Биджаганита"), содержащий методы решения ряда алгебраических и теоретико-числовых задач, астрономические сведения.

БХАСКАРА

Имя латиницей  BKHASKARA

Другое имя  Бхасхара Ачарья

Пол  мужской

Дата рождения: ..1114

Дата смерти: ..1185  Возраст (71)

По восточному Лошадь

География ИНДИЯ.

Решение нестандартных задач древности

Якунина Татьяна Николаевна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Ключевые слова астрономия,  знание,  математика.

Цель:

1) показать древние решения задач;

 2) научить решать нестандартные задачи;

 3) увлечь учащихся решением сложных задач.

Ход урока

Задача Бхаскары

На две партии разбившись,

 Забавлялись обезьяны.

 Часть восьмая их в квадрате

 В роще весело резвилась.

 Криком радостным двенадцать

 Воздух свежий оглашали.

 Вместе сколько ты скажешь

 Обезьян там было в роще?

Эту задачу сам Бхаскара решал примерно так: если обозначим число всех обезьян х, то задача сведется к решению уравнения

После приведения к одному знаменателю и упрощения получим

Прибавляя к обеим частям квадрат 32, будем иметь

После извлечения квадратного корня получаем

“В данном случае, - говорит Бхаскара, - отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16”.

Задача

Решить в общем виде квадратное уравнение

Решение Бхаскары

Умножив обе части уравнения ах?+bх=с на 4а, получим

Далее, прибавим к обеим частям равенства по b?:

Так как левая часть обращается в квадрат, то

2ах+b=

Откуда

Что касается отрицательных значений корней, то Бхаскара замечает, что “люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел”.

Задача

Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя остались дома. Одна пчела полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлеченный приятным ароматом, и не может оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчел роя.

Решение Бхаскары

Полагая, что число роя 2х?, получим уравнение

или

Откуда х=6 и 2х?=72

Задача Бхаскары

Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел. Чтобы убить Карну; половину он употребил на собственную защиту, а учетверенное количество квадратного корн – против лошадей; 6 стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны, разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову. Сколько было стрел у Арджуны (сына Притхи)?

Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:

После упрощения получаем

откуда  и

Следовательно, х=52+48 и х=52-48 .

Таким образом, имеется два корня: x=100 и x=4 , причем непосредственном проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.

Задача Безу

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил?

Решение.

Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял  пистолей.

Следовательно, согласно условию задачи

Решая полученное квадратное уравнения, получим два результата: х=40 и х=60.

Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пистолей.

Решенная задача составлена французским математиком Этьеном Безу (1730 – 1783). Его перу принадлежат исследования по общей теории алгебраических уравнений (1779), а также известная теорема Безу о делимости алгебраического многочлена на разность х-а, где а – корень многочлена. Безу является также автором многих учебников, написанных для средней школы.

Задача Эйлера

(Из учебника “Введение в алгебру”).

Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: “Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров”. Вторая ответила: “А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера”. Сколько яиц было у каждой?

Наиболее остроумный способ решения этой задачи таков.

Предположим, что вторая крестьянка имела в т раз больше яиц, чем первая.

Поскольку обе крестьянки выручили одинаковые суммы, то первая должна продавать свои яйца дороже, чем вторая, в т раз. Если бы перед началом торговли они поменялись новым количеством яиц, то первая крестьянка, имея яиц в т раз больше и продавая их в т раз дороже, выручила бы в т раз больше, чем вторая.

Откуда

Следовательно, m=3/2.

Разбив 100 яиц в отношении 3:2, находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая – 60 яиц.

Эту задачу можно решить и алгебраическим путем, для чего стоит только обозначить через х число яиц у первой крестьянки. Тогда у второй крестьянки число яиц будет 100 – х.

Откуда первая крестьянка продала свои яйца по цене  (крейцеров),

вторая по  крейцеров.

Так как выручка одинаковая, то 15/(100-x)=20*(100-x)/3*x

или

Откуда x = 40 , x = -200,

Следовательно, у первой крестьянки было 40 яиц, у второй – 60.

316. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Решение. Пусть некто купил лошадь за x пистолей. Продав её за 24 пистоля, он потерял на этой продаже x – 24 пистоля. Выразим убыток в процентах:  По условию задачи он равен x. Составим уравнение:

        ,        (11)

которое перепишем в виде:

        .        (12)

Уравнение x2 – 100x + 2400 = 0 имеет корни 40 и 60, которые не обращают в нуль знаменатель x дроби, следовательно, это корни уравнения (12), а значит, и равносильного ему уравнения (11). Оба корня удовлетворяют условиям задачи, следовательно задача имеет два решения: лошадь стоит или 40, или 60 пистолей.

Ответ. Или за 40, или за 60 пистолей.

Замечание. Задача Безу даёт редкий пример задачи с неоднозначным ответом.