Урок алгебры в 8 классе "Решение квадратных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

 Урок алгебры  в 8 классе  « Решение квадратных уравнений»

Цели урока  :

Образовательные: 
– систематизация и закрепление знаний по теме “Квадратные уравнения”;
– формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
– развитие логического мышления, способности находить оптимальное решение.

Регулятивные:

- различать способ и результат действия;

- вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета сделанных ошибок.

 Познавательные:

-проводить сравнение, классификацию по заданным критериям;

- ориентироваться на разнообразие способов решения задач.

Коммуникативные:

- договариваться и приходить к общему решению совместной деятельности.

Тип урока: урок комбинированный

Оборудование:  написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, карточки-задания.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Блиц-опрос по теории.

– Дайте определение квадратного уравнения.
– Какие квадратные уравнения называются неполными?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх2 + bх = 0?
– Как найти корни неполного квадратного уравнения aх2 + c = 0?
– Какие квадратные уравнения называются приведенными?
– Расскажите алгоритм решения квадратного уравнения.
– Назовите формулы для нахождения дискриминанта и вычисления корней квадратного уравнения.

3. Устный счет.

– Правильно ли записано на доске квадратное уравнение?

1. 3х2 + 5х – 2 = 0, где a = 3, b = 5, c = 2. Ответ: нет (с = –2).

2. х2 – 5х = 0, где a =1, b = – 5, c = 0. Ответ: да.

3. 4х2 + 8х + 2 = 0, где a = 4, b = 2, c = 8. Ответ: нет (b = 8, с = 2).

4. –х2 = 0, где a = –1, b = 0, c = 0. Ответ: да.

5. 5х2 – 3х + 7 = 0, где a = 5, b = – 3, c = 7. Ответ: да.

6. х2 + 16 = 0, где a = 1, b = 16, c = 0. Ответ: нет (b = 0, с = 16).

– Составьте квадратное уравнение с заданными коэффициентами (на доске выписаны первые три столбика таблицы):

4. Выполнение заданий различных уровней сложности.

– Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение.

1) х2 – 7х + 6 = 0.

Решение. Так как D = 25 > 0, то данное уравнение имеет два корня.

2) 2х2 – 16х + 32 = 0.

Решение. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень.

3) 2х2 + 18 = 0.

Решение. Уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть равной нулю.

4) 15х2 + 30х = 0.

Решение. Неполное квадратное уравнение вида aх2 + bх = 0 всегда имеет два корня.

– Решите уравнения.

Группа А.

Группа В.

– При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение?

1) ах2 – 6х + 9 = 0. 

Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а. 36 – 36а = 0, а = 1.

2) 4х2 – ах + а – 3 = 0.

Решение. Так как данное уравнение имеет один корень при D = 0, получим уравнение относительно параметра а.

а2 – 16(а – 3) = 0, а1 = 4, а2 = 12.

5. Историческая справка.

Ученики выступают с сообщением о Франсуа Виете и напоминают Теорему Виета и обратную ей.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

6. Решение уравнений с применением теоремы Виета.

– Составьте приведенное квадратное уравнение:

1) х1 = 5, х2 = 2.

Решение. По теореме Виета х1 + х2 = – р, х1х2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х2 – 7х + 10 = 0.

1) х1 = 3, х2 = –4.

Решение. По теореме Виета х1 + х2 = – р, х1х2 = q. Следовательно уравнение имеет вид х2 + х – 12 = 0.

– В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Решение. Используя теорему Виета, получаем следующие выражения:

–9 + х2 = – р, –9 х2 = –18. Решив второе уравнение получаем х2 = 2. Подставив полученное значение в первое уравнение найдем р = 7.

7. Работа в группах с целью поиска способа решения уравнений вида: ах2+ вх + с = 0 , где коэффициенты связаны соотношениями  а + в + с= 0 и

 а - в + с = 0.

Ребятам выдаются карточки с уравнениями такого вида :

1. 3 х2 - 2х - 1 = 0
2. 12х2 +13х -25 = 0
3. 19х2  - 21х - 2 = 0

После совместного поиска выдвигаются гипотезы и делается вывод о способе решения таких уравнений.

7. Самостоятельная работа:  Решите уравнения.

8. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Какие способы решения используются при решении квадратных уравнений?

 9. Домашнее задание :

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Попробуйте решить задачу Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

 Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. С ним мы еще познакомимся позднее.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Имя этого математика нам скоро встретится.

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары:

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – .
Составим уравнение: + 12 = х

На данном этапе учащимся сообщается материал из истории возникновения квадратных уравнений, сведения об известном французском математике Франсуа Виете. (Сообщения готовили учащиеся)
Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары.

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

 и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как  есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Но комментатор Бхаскары Кришна Бхатта говорил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятая часть стаи вычитается из трех, то второе решение, а не первое удовлетворяло бы условию. Цель: закрепить умения и навыки решения квадратных уравнений различными способами.

1. Комментированное решение у доски.

№ 1. Решите уравнение .

Решение.

Разложим многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ группировки и вынесения общего множителя за скобки. Уравнение примет вид:

.

Тогда

Ответ:

№ 2. Решите уравнение .

Решение.

Решим данное уравнение методом введения новой переменной. Пусть , тогда данное уравнение примет вид . Для решения получившегося уравнения воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета

Очевидно, что

Тогда

Решим уравнение (1):

Решим уравнение (2):

Ответ: корней нет.

№ 3. Решить задачу.

Цена товара дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость была 2000 рублей, а окончательная – 1805 рублей?

Решение.

Пусть цена товара дважды снижалась на х %, тогда после первого снижения товар стал стоить рублей, а после второго снижения рублей, что по условию задачи равно 1805 рублям. Составим и решим уравнение .

,

195 – посторонний корень

Ответ: цена товара дважды снижалась на 5%.

№ 4. Самостоятельное решение уравнений (по выбору учащихся) с последующей проверкой.

5. Итог урока. (2 мин.)

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели и решены задачи урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснения по домашнему заданию.

6. Домашнее задание.

Составьте задания к дидактической игре “Лото” по теме “Методы решения квадратного уравнения”.