Обобщающий урок по теме "Тригонометрические выражения"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Урок обобщающего повторения по теме:

«Тождественные преобразования тригонометрических выражений».

Урок проводится в 10 классе после прохождения темы «Тригонометрические функции числового аргумента», либо в 11 классе в разделе итогового повторения. Тригонометрия обычно сложна для восприятия учащихся, но эта тема встречается в едином государственном экзамене в заданиях В7, В5  и С1. Длительность урока 45 минут. Класс разбит на две группы, одна из них сильная.  

        Цель урока:

• Обобщить теоретические знания по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»;
• Повторить  основные тригонометрические формулы, формулы сложения, двойного аргумента, половинного аргумента, формулы приведения;
• дать возможность каждому ученику как можно более полно самостоятельно раскрыть свои возможности;
• научить самостоятельно анализировать и находить ошибки в своей работе.

Обордование:

1. Интерактивная доска, применяется во время самостоятельной работе и в ходе самопроверки.
2. Раздаточный материал, приготовленный учителем для организации самостоятельной работы, карточки  с заданиями разного уровня для работы на уроке. Таблица со справочным материалом в электронном виде.  Карточки с домашним заданием.

Ход урока.

I этап урока – организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится у них на партах.

II этап урока (12 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа контролирующего характера

1. Перед самостоятельной работой на экране высвечиваются формулы тригонометрии по блокам, необходимые для преобразований тригонометрических выражений в самостоятельной работе и на уроке, а также при  решении заданий В7, В5 и С1.

1) основные тригонометрические формулы:

;  ; ; ;  ;

2) формулы сложения:

 ; ;

; ;

;  

3) формулы приведения – тождества, связывающие тригонометрические функции вида (вспомнить мнемоническое правило); 

4) формулы двойного аргумента

 ;  ;  ;

5) формулы половинного аргумента

; ; ; ;

6) формулы суммы и разности синусов (косинусов)

; ;

;  .

2.  Учащиеся получают карточки в трех  вариантах (третий вариант для сильных учащихся). То же самое задание написано с обратной стороны доски, где работают  два  ученика, третий на интерактивной доске пером,  а остальные  в своей карточке.

* 1 вариант:

№ 1. Если есть ошибки в основных тригонометрических формулах, то исправь их:

а) ;    б)  ;       в)   ;

№ 2. Допишите формулы сложения:

а)

б)

№ 3. Упростите, используя формулы приведения:

а)   Ответ:

б)   Ответ: (1)

в)    Ответ: (1)

№ 4. Дано:  ;                      Найти .

Ответ: -0,6;  - 0,75

* 2 вариант:

№ 1. Если есть ошибки в основных тригонометрических формулах, то исправь их:

а) ;    б)  ;       в)   ;

№ 2. Допишите формулы сложения:

а)

б)

№ 3. Упростите, используя формулы приведения:

а)          

б)         (1)

в)    (1)

№ 4. Дано:  ;                      Найти .

Ответ: 0,6;    4/3

***3 вариант (для сильных учащихся):

№ 1. Если есть ошибки в тригонометрических формулах, то исправь их:

а) ;    б) ;       в)   ;

№ 2. Допишите формулы сложения:

а)

б)

№ 3. Упростите, используя формулы приведения:

а)   Ответ: (0)

б)       Ответ:  (1)

в)        Ответ: (1)

№ 4. Найдите значение выражения  ,  если  , .      Ответ:  4 .

III  этап урока (8 минут)

Анализ самостоятельной работы. Самопроверка: 

По окончании работы учитель раздает карточки с формулами учащимся (тот же справочный материал с формулами, который был показан перед самостоятельной работой).

Учащиеся, которые выполняли работу у доски присаживаются, а учитель с учениками анализируют выполненные задания на доске, обязательно обсуждая задания, вызвавшие затруднения. Учитель вместе с детьми проводит  анализ ошибок допущенных учащимися, одновременно повторяя, проговаривая формулы тригонометрии по блокам и разыскав их в справочном материале.  Таким образом, учащиеся вспоминают, повторяют и закрепляют тригонометрические формулы. В тетрадях ученики выполняют самопроверку и выствляют себе баллы (0-9 баллов).

IV этап урока (22 минуты)

Тренировочные упражнения выполняются по уровням (учащиеся сами выбирают себе уровень для выполнения задания, соответственно получая разные баллы).  Когда учащиеся определились какой уровень будут выполнять, они разбиваются на группы по уровню сложности и в группе выбирается старший ученик. При решении каждого задания необходимо обратить внимание и проговорить формулу, которая необходима для решения задания. Вся работа проходит под контролем старшего в группе и, конечно, учителя. Если учащиеся затрудняются учитель комментирует задание сам.

1 уровень

Пример1.  (1 балл)

 Вычислить , если  и

Решение .Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Тогда .

При (2 четверть) , поэтому

Ответ: -0,96

Пример2. (1 балл)

Вычислить  ,  если  и .

Решение .Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим  и   :    , откуда

Тогда

При  ( 4 четверть) , поэтому

Ответ: 0,75.

Пример3. ( 1балл)

Комментарий: Для преобразования тригонометрических выражений часто используются формулы приведения.

Преобразовать , зная, что угол альфа острый.

        Решение. Если считать, что угол  принадлежит первой четвери, то угол  принадлежит IV четверти, в которой косинус положительный. Следовательно, .

2 уровень        

Комментарий: Для преобразования тригонометрических выражений часто используются свойства четности тригонометрических функций и формулы приведения.

Пример1 (2 балла)

Упростить выражение

        Решение. Воспользуемся формулами приведения и свойствами четности, тогда

         Ответ: 2

          Пример 2. (2 балла)

Вычислить:  

          Решение. Применим формулу разности квадратов, далее применим формулу разности синусов и суммы синусов, получим

поскольку синус- функция нечетная (минус выводится вперед), а косинус – функция четная  (минус опускается).

            Пример3. (2 балла)

Вычислить

           Решение. Применим в числителе формулу двойного угла для синуса, в знаменателе формулы приведения и формулу сложения, получим        

3 уровень

Пример 1. ( 3балла)

Вычислить  если

Решение: Мы не можем вычислить непосредственно sinx и cosx по известному значению тангенса этого угла, так как не знаем, в какой четверти лежит угол х, и поэтому не сумеем выбрать знаки у функций синус и косинус. Этой неопределенности  можно избежать, если сообразить, что числитель и знаменатель можно сделать однородными выражениями относительно sinx и cosx:

Теперь, разделив числитель и знаменатель на  и заметив, что  получаем

Ответ:

Комментарий: Для вычисления значения тригонометрической функции по известному значению тригонометрической функции другого аргумента нередко используют формулы двойного аргумента.

Пример 2. (3 балла)

Вычислить , если

Решение. Приведем дробь к общему знаменателю:

Здесь мы воспользовались формулами двойного аргумента.

Ответ:0,2.

Пример 3. (3 балла)

Вычислить если      

        Решение. Выразим  через  и  , значения которых заданы:

        Ответ: -8/9

Задание части С1.  По желанию 2 учащихся решают уравнение из части С (получив задание на карточке) один у доски, другой на месте, затем происходит обсуждение решения. При верном выполнении уравнения получают 8 баллов.  Обратить внимание учащихся, что в данном уравнении также необходимо знание формул двойных углов.

        С1. а) Решите уравнение;

                 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

                    [].

        Ответ: а) Z;   б) ;; .

IV этап урока (2  минуты)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию

    Выставление оценок.

Учитель еще раз обращает внимание, на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, подводит итоги урока, учащиеся подсчитывают баллы и выставляют отметки.

9-10 баллов – «3», 11-15 баллов – «4», 16 и выше баллов – «5».

Рефлексия (общение с учащимися по итогам урока)

- Я на уроке вспомнил…

- Я на  уроке понял…

- Я на уроке узнал новый метод…

-Мне нужно еще разобраться с…

В качестве домашнего задания учащиеся получают заранее заготовленные карточки.

Домашнее задание:

№ 1. Найдите значение выражения    , если  .

№ 2.  Упростите выражение    .

№ 3. Укажите наименьшее значение функции    .

№ 4. Решите уравнение    .

Домашнее задание для сильных учащихся:

№ 1. Вычислите , если

№ 2.  Решите уравнение

№ 3. Дано: , . Вычислите .

№ 4. . Найдите значение выражения , если , .

C1 а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответ: а) .         б) .

Используемая литература:

• Краевые контрольные работы для 10- 11 классов, Краснодар
• Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс, учебник А.Н. Колмогорова и др., Москва «Просвещение» 2010 г.
• Е.А.Семенко, С.Л.Крупецкий «Задания для подготовки к ЕГЭ по  математике. С1. Уравнения. С2. Углы и расстояния в пространстве.Повышенный уровень», «Просвещение-Юг», Краснодар, 2013
• Под редакцией Е.А.Семенко «Задания для подготовки к ЕГЭ-2012 по математике». Тематический сборник. «Просвещение-Юг», Краснодар, 2012
• Р.Д.Лукин, Т.к Лукина, М.С. Якунина «Устные упражнения по алгебре и началам анализа», Москва «Просвещение» 1989 г.
• А.В. Белошистая «Математика. Единый государственный экзамен» Издательство «Экзамен» - 2005г.
• Приложение к «Первому сентября» математика № 3, 2005 год, статья В.Карасева, Г.Левшиной, И.Данченкова «Решение задач по тригонометрии»