Опорный конспект по теме "Применение тригонометрических формул"
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)
В данной разработке приведены тригонометрические формулы и на примерах показано их применение для разных типов задач.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
опорный конспект с примерами | 56 КБ |
Предварительный просмотр:
Преобразование тригонометрических выражений.
I. Основные тригонометрические тождества II. Формулы суммы и разности аргументов
sin2x + cos2x = 1 sin (x + y) = sinxcosу + siny cosx
tgx = sinx , x ≠π + πn, n∈Z cos (x + y) = cosx cosy + sinx siny
cosx 2 tg (x +y) = tg x + tgy
ctgx = cosx , x ≠ πn, n∈Z 1+ tgx tgy
sinx
tgx ∙ ctgx = 1
1 + tg2 x = 1 III. Формулы двойного аргумента
cos2 x sin2x = 2sinxcosx
1 + ctg2 x = 1 cos2x = cos2x – sin2x
sin2x tg2x = 2tgx
1 – tg2x
V. Сумма и разность тригонометрических функций IV. Формулы понижения степени
sinx + siny = 2sin x+y cos x-y sin2x = 1 – cos2x
2 2 2
sinx - siny = 2sin x-y cos x+y cos2x = 1 + cos2x
2 2 2
cosx + cosy = 2cos x+y cos x-y VII. А sinx + B cosx = C sin (x +t),
- 2
cosx -cosy = -2sin x+y sin x-y где С = √А2 + В2,
2 2 t – вспомогательный аргумент
VI. Преобразование произведений
тригонометрических функций в сумму
sinx siny = cos(x-y) – cos (x+y)
2
cosx cosy = cos(x+y) + cos (x-y)
2
sinx cosy = sin(x+y) +sin (x-y)
2
Примеры.
I. 1) sint = 3 ; 0
5 2
sin2t + cos2t =1.
cos2t = 1 - sin2t.
cos2t = 1 - 3 2 = 16, так как 0
5 25 2, 5.
tgt = sint ; tgt = 3 : 4 = 3
cost 5 5 4.
tgt · ctgt = 1; ctgt = 1 ; ctgt = 4
tgt 3.
Ответ: cost = 4 ; tgt = 3 ; ctgt = 4
5 4 3.
II. 1) Вычислить
сos75° = cos (45° + 30°) = cos45°cos30° – sin45°sin30° = √2 . √3 - √2 . 1 = √ 6 - √2
2 2 2 2 4.
2) sin48°cos12° + cos48°sin12° = sin (48° + 12°) = sin60° = √3
2.
1
3) tg15° = tg(45° - 30°) = tg45° – tg30° = 1 - √3 = √3-1 =
1+ tg45° tg30° 1+ 1∙ 1 √3 +1
√3
= (√3-1)( √3-1) = 3 – 2 √3 + 1 = 4 - 2√3 = 2(2 -√3) = 2 - √3.
(√3+1)( √3-1) 3-1 2 2
III. 1) Сократить дробь.
1 + sin2x = sin2x + 2sinxcosx+cos2x = (sinx+cosx)2 = cosx + sinx
сos2x cos2x – sin2x (cosx – sinx) (cosx + sinx) cosx – sinx.
2) Вычислить:
cos2 π - sin2 π = cos 2 ∙ π = cos π = √2
8 8 8 4 2.
3) Найти tg2x, если cosx = 0,6; x∈ (3π/2 ; 2π)
tg2x = 2tgx tgx = sinx
1-tg2x; cosx.
sin2x + cos2x =1; sin2x = 1 – cos2x;
sin2x = 1 – 0,62 = 0,64. Так как x∈ (3π/2 ; 2π), то sinx <0, значит sinx = - 0,8
tgx = -0,8 = - 4 ; tg2x = 2 ∙ -4 = 24
0,6 3 3 7
1- 4 2 24
3 Ответ: 7
IV. 1) Найти cos x/2 ; если cosx = -5/13; x∈ ( π/2 ; π)
2
cos2x= 1 +cos2x , тогда cos2 (x/2) = 1 + cosx
2 2
сos2 (x/2) = 1 - 5
13 = 4 по условию π/2 < х < π ,
2 13 ;
значит π < х < π , т.е. cos x > 0, значит, cos (x/2) = 2
4 2 2 √13. Ответ: 2/√13.
V. 1) Решить уравнение: sin5x + sinx = 0.
2sin 3xcos2x = 0.
sin3x = 0 или cos2x = 0.
3x = πn, n∈Z 2x = π/2+πn, n∈Z.
x = πn/3, n∈Z. x = π/4+ πn/2 , n∈Z. Ответ: πn/3, n∈Z; π/4+ πn/2 , n∈Z.
VI. 1) Записать в виде суммы произведение
sin5x cos3x = sin(5x + 3x) + sin (5x – 3x) = sin8x + sin2x
2 2
VII. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 5sinx – 12cosx
y = 5sinx – 12cosx; A = 5; B = -12; C = √52+(-12)2 = 13
5sinx – 12cosx = 13sin (x + t)
Рассмотрим функцию у = 13sinφ, где φ = x + t.
-1 ≤ sin φ ≤ 1
-13 ≤ 13sin φ ≤13. у наиб.=13; у наим.= -13
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока алгебры в 10 классе по теме "Тригонометрические формулы"
Урок систематизации и обобщения материала по теме "Тригонометрические формулы" в 10 классе представлен в форме турнира. В урок включены занимательные упражнения, дифференцированные зад...
решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул
конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...
Конспект и презентация к уроку "Тригонометрические формулы"
Урок для 10 класса. На уроке используются игровые моменты.Цели: 1.Поготовить учеников к контрольной работе по теме "Тригонометрические формулы";2.Воспитание самостоятельности, интереса к предмету, при...
опорный конспект "Тригонометрические уравнения"
методическая разработка по алгебре 10 класса. Предназначена для изуения нового материала, содержит примеры решения простейших тригонометрических уравнений...
Опорный конспект "Тригонометрические уравнения"
Способы решения тригонометрических уравнений....
Методы решения тригонометрических уравнений. Опорный конспект
В данной разработке рассматриваются методы решения тригонометрических уравнений с примерами. Може использоваться для самостоятельного изучения материала...
Конспект открытого урока в 10 классе по теме "Тригонометрические формулы"
Урок по теме "Тригонометрические формулы" с презентацией...