опорный конспект "Тригонометрические уравнения"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Цели:

Ввести понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида:

sin x = a,   cos x = a,   tg x = a.

Научить учащихся «видеть различные типы тригонометрических уравнений.

Рассмотреть примеры решения простейших тригонометрических уравнений, однородных уравнений и уравнений, приводимых к ним, а также уравнений, решаемых методом группировки, и разложением на множители. 

Способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений.

В результате изучения темы учащиеся должны:

Уметь решать различные типы тригонометрических уравнений.

Арксинусом числа  а  называется такое число из отрезка , синус которого равен  а.

Пример 1    Найдём arcsin .

аrcsin = ,  так как sin  =  и  є .

Пример 2    Найдём arcsin  .

Число из промежутка , синус которого есть  , равно  .

Поэтому arcsin =

Арккосинусом числа  а  называется такое число из отрезка  [0; π], косинус которого равен  а.

Пример 3    Найдём arccos .

аrcсos  = , так как  cos = и  є [0; π].

Пример 4     Найдём arcсos .

arcсos = , так как cos =  и   є [0; π].

Арктангенсом числа  а  называется такое число из интервала , тангенс которого равен  а.

Пример 5      Найдём arctg 1.

arctg 1 = , так как tg = 1  и   є .

Пример 6     Найдём arctg (–1).

arctg (–1) = , так как tg = –1  и   є.

Арккотангенсом числа  а  называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен  а.

Пример 7    Найдём arcctg (–1).

arcctg (–1) = , так как ctg = –1  и  є (0; π).

            Выполнить самостоятельно.

Вычислите:

1) arcsin 0;        5) arccos ;        9) arctg 1;

2) arcsin ;        6) arcсos ;        10) arctg (–1);

3) arcsin 1;                          7) arcсos ;        11) arctg 0;

4) arcsin ;        8) arcсos 1;        12) arcctg (–1).

Имеют ли смысл выражения:

1) arcsin ;        5) arcсos π;

                                                                      _

2) arcsin 1,5;        6) arcsin (3 – √20);

                  _                                                 _

3) arcсos √5;        7) arcсos (– √3);

4) arcсos ;        8) arcsin .

Найдите значения выражений:

1) arcsin 0 + arcсos 0;                               4) arcsin  +  arcсos ;

2) arcsin + arcсos ;         5) arctg 1 – arctg √3;

3) arcsin (–1) + arcсos ;                   6) arctg (– √3) + arctg 0.

                   Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

    Примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

                                  Решите самостоятельно:

  _

√2 sin x + 1 = 0

1) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                             3) ±  + 2πn, nєZ,

2) (–1)n + 1 ∙  + πn, nєZ,                                         4) ±  + 2πn, nєZ.

                 _

2 sin x + √3 = 0

1) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                           3)  ±  + 2πn, nєZ,                                  

2) ±  + 2πn, nєZ,                                            4) (–1)n + 1 ∙  + 2πn, nєZ.                                        

                  _

2 cos x + √2 = 0

1) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                       3)         ±  + 2πn, nєZ,                                

2) ±  + 2πn, nєZ,                                             4) ±  + πn, nєZ.                                

2 cos x + 1 = 0

1) ±  + 2πn, nєZ,                                            3) ±  + 2πn, nєZ,                                                                          

2) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                      4) (–1)n ∙  + πn, nєZ.                                                                        

cos x – 1 = 0

1) ±  + πn, nєZ,                                                3) 2πn, nєZ,                                                                                                                                                  

2) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                        4) ±  +  2πn, nєZ.                                                                                                        

            _

tg x + √3 = 0 

1) ±  + 2πn, nєZ,                                              3)  + πn, nєZ,                                                                                              

2) (–1)n ∙  + πn, nєZ,                                        4)  + πn, nєZ.                                

cos 4x = 0

1)  + πn, nєZ,                                                   3)  +  , nєZ,                                                                                                                                                                                              

2)  +  πn, nєZ.                                                  4) ±  +  , nєZ.                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

          Примеры решения тригонометрических  уравнений. 

Ранее были представлены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a.

К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Тема завершена. Предлагается контрольная работа.  Успехов вам!!!

1. Найдите значение выражения:

а) arccos 1 + arcsin 0,

б) arccos – arcsin .

2. Решите уравнения:

а) 3sin2 x – 5 sinx – 2 = 0,                                   г) 2sinx + sin2x = 0,

б) 8cos2 x – 12sin x + 7 = 0,                                д) sin2x = 1,

в) 2sin2 x + sinx = 0,                                            е) 9sinx cosx – 7cos2 x = 2sin2 x.